清华大学物理光学课件(第8节)

精密仪器与机械学系 精密仪器系
2013-5-20
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精密仪器与机械学系
四、单缝衍射
% ( x ) = E sin α , % E 0
y1
⎛ sin α ⎞ I = I0 ⎜ ⎟ ⎝ α ⎠
2
α
b
x1 a
e0 = ±
λ
a
⋅ f′
ka sin θ x πx a= α= 2 λf′
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精密仪器与机械学系 不同光源的单缝衍射：
点光源的单缝衍射
e0 = ±
λ
a
⋅ f′
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精密仪器与机械学系 线光源的单缝衍射
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精密仪器与机械学系 干涉与衍射的区别与联系
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精密仪器与机械学系
五、圆孔衍射
1、光强分布：圆孔半径为a，孔径函数变为
% ( x , y ) = ⎧1 E 1 1 ⎨ ⎩0
x12 + y12 ≤ a x12 + y12 > a
% ( ρ ,ψ ) = ⎧1 E 1 1 ⎨ ⎩0
ρ1 ≤ a ρ1 > a
极坐标
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精密仪器与机械学系 直角坐标变极坐标：
⎧ x1 = r1 cosψ 1 ⎨ ⎩ y1 = r1 sinψ 1
⎧ x = r cosψ ⎨ ⎩ y = r sinψ
dx1dy1 = r1dr1dψ 1
% ( x , y ) exp ⎡ −ik ⎛ x x + y y ⎞ ⎤ dx dy E ( x, y ) = C ∫∫ E 1 1 ⎢ ⎜ 1 ′ 1 ′ ⎟⎥ 1 1 f ⎠⎦ ⎝ f ⎣
极坐标夫朗和费衍射公式：
% ( r，ψ ) = C 2π dψ a exp ⎡−ik r ( r cosψ cosψ + r sinψ sinψ ) ⎤rdr E 1 1 ⎥1 1 ∫0 1 ∫0 ⎢ f ' 1 1 ⎣ ⎦
设
r
f'
=θ
：
0 0
% (θ，ψ )＝C 2π a exp [ −ikθ r cos(ψ −ψ ) ] ⋅ r dr dψ E 1 1 1 1 1 ∫ ∫
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精密仪器与机械学系
% (θ，ψ )＝C 2π a exp [ −ikθ r cos(ψ −ψ ) ] ⋅ r dr dψ E 1 1 1 1 1 ∫ ∫
0 0
∫
a 0
2π
0
exp [ −ikθ r1 cos(ψ1 −ψ )]dψ1 = 2π J0 ( kr1θ )
0 阶 Bessel 函数
% E (θ，ψ ) = ∫ r1 2π J 0 ( kr1θ ) dr1
a 0
= 2π ∫ ( kr1θ )J 0 ( kr1θ ) d ( kr1θ ) ⋅
设
1
( kθ )
2
kr1θ = x,
递推公式
当 r1 =a ，x
= kaθ
∫
t
0
xJ 0 ( x ) dx = tJ1 ( t )
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精密仪器与机械学系
∫ ( krθ )J ( krθ ) d ( krθ ) = ∫
a 0 1 0 1 1
kaθ
0
xJ0 ( x ) dx = kaθ J1 ( kaθ )
2 J1 ( kaθ ) % 得: E (θ ,ψ ) = π a C kaθ
2
圆孔衍射光强分布
⎛ 2 J1 ( kaθ ) ⎞ I (θ ) = I 0 ⎜ ⎟ ，θ = r f ' ⎝ kaθ ⎠
2
I 0 = (π a 2C )2
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精密仪器与机械学系
2. 衍射图样
令 z = kaθ = kar
f'
⎛ 2 J1 ( z ) ⎞ I ( z) = I0 ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠
2
J1 ( z ) 1 = 当 z = 0，lim z →0 z 2 I = I0
中心极大
1.0
0.8
0.6
当 z ≠ 0， J1 ( z ) = 0，I＝0 暗环
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0.4
0.2
0.0 -10
-5
0
5
10
10

精密仪器与机械学系 次级极大位置由二阶Bessel 函数的零点决定
Bessel函数表求极值点位置 z
0 1.22π 1.63π 2.23π 2.68π
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J2 ( z ) d ⎡ J1 ( z ) ⎤ =0 ⎢ ⎥=− dz ⎣ z ⎦ z
I ⎛ 2J1 (z) ⎞ =⎜ ⎟ I0 ⎝ z ⎠
1 0 0.0175 0 0.0042
2
极值 中央极大 第1极小 第1次极大 第2极小 第2次极大
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圆孔衍射强度分布

精密仪器与机械学系
⎛ 2 J1 ( z ) ⎞ I ( z) = I0 ⎜ ⎟ ⎝ z ⎠ 中央亮斑称为爱里斑
2
1.0
0.8
0.6
大部分能量集中于其中 半径：z=1.22π
0.4
0.2
0.0 -10 -5 0 5 10
r0 kaθ = ka = 1.22π f′
爱里斑半径：
2r0
0.61λ r0 = f′ a
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精密仪器与机械学系 分析I(p)表达式： ① 由于z = kaθ, λ, a 一定时，I(p)～θ 中心亮，明暗相间同心圆环 在θ=0（即几何像点）处强度最大， 随θ变化，会出现强度的极大、极小。 ② 极大、极小值分布不等间距, 第一极小位置：
z=1.22π或
0.61λ 1.22λ 中央光斑角半径 θ= = a D
③ 衍射效应与孔径线度成反比，与波长成正比 θ～λ/a
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