天津市高考数学一轮复习 三视图及空间几何体的计算问

三视图及空间几何体的计算问题
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )．A．球B．三棱锥 C．正方体D．圆柱
例2.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )．
A．28＋6 5 B．30＋6 5
C．56＋12 5 D．60＋12 5
例3.已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC
是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥
的体积为( )．
A.
2
6
B.
3
6
C.
2
3
D.
2
2
例4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
演练方阵
A 档（巩固专练）
1．如图，多面体ABCD ­EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．
2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥
A ­BCD 正视图和俯视图如图，
则三棱锥A ­BCD 侧视图的面积为( )． A.613 B.1813 C.213 D.313
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A.5603
B.580
3 C ．200 D ．240 4．某四棱台的三视图如图所示， 则该四棱台的体积是( )． A ．
4 B ．143
C. 163
D ．6
5．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中， 体积最大的几何体的表面积为( )． A ．13 B ．7＋3 2 C.7
2
π D ．14
6．如图，在三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ­ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1­ABC 的体积为V 2，则V 1∶
V 2＝________.
7．一个半径为2的球体经过切割后，
剩余部分几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积为________．
8．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．
9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一
个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长
为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.
10．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，
直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个
不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是
平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与
平面ABCD垂直．
(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；
(2)若∠EAD＝∠EAB＝60 °，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．
B档（提升精练）
1 ．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）
A．棱柱B．棱台
C．圆柱D．圆台
2 ．已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的
图 2
1俯视图
侧视图
正视图
2
1
正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的 正视图的面积等于（ ） A ．
32 B ．1 C ．212
+ D ．2 3 ．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,
P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点
的距离的不同取值有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 4 ．某三棱锥的三视图如图2所示, 则该三棱锥的体积是（ ）
A ．
16 B ．13
C ．
2
3
D ．1
5．已知某几何体的三视 图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积是（ ）
（ ）
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3
6．某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的 体积为__________.
7．某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.
8. 如图，在三棱锥P ­ABC 中，△PAB 是等边三角形， ∠PAC ＝∠PBC ＝90°.(1)证明：AB ⊥PC ；
1D
1B
P g
D 1
C C
B
A
1A
1
俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 2 1 1 2
(2)若PC ＝4，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ­ABC 的体积．
9. 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，
PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12
PD .
(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；
(2)求棱锥Q ­ABCD 的体积与棱锥P ­DCQ 的体积的比值．
10.已知四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱
BC ，AD 的中点．
(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)已知二面角P ­BF ­C 的余弦值为6
6
， 求四棱锥P ­ABCD 的体积．
C 档（跨越导练）
1．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）．
A ．12
B ．
3
2
C ．
2
3
D ．6 2. 如图是一个简单的组合体的 直观图与三视图.下面是一个 棱长为4的正方体，正上面放
侧视图
直观图
一个球，且球的一部分嵌入正 方体中，则球的半径是( ) A.1
2 B.1 C.3
2
D.2 3．如图，动点P 在正方体1111
ABCD A B C D -
的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设
BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）
4. 已知某几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为
5.四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两
相互垂直，且其长分别为361、
、，若四面体 的四个顶点同在一个球面上，则这个球 的表面积为 。

6．（池州市七校元旦调研）若某几何体的三视图 （单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3
cm ．
7.一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三
角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .
主视图
俯视图 左视图
A
B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1 y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x O
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
8． 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，
ABCD PA 平面⊥，3,1===AB AD PA ，
点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

⑴求三棱锥PAB E -体积；
⑵当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由； ⑶求证：AF PE ⊥。

9. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,2,BC BB ==13
BCC π
∠= AB ⊥侧面11BB C C ， （1）求直线C 1B 与底面ABC 所成角正切值；
（2）在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置, 使得1EA EB ⊥(要求说明理由).
（3）在（2）的条件下,若2AB =，
求二面角11A EB A --的大小.
10．如图，在直角梯形ABCP 中，
AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12
AP ＝2， D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC ， PD ，CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，
使得PD ⊥平面ABCD .
(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ；(2)求二面角G-EF-D 的大小； (3)求三棱锥D-PAB 的体积．
成长足迹
A
B
C
D
P
E
F
课后检测
学习（课程）顾问签字： 负责人签字：
教学主管签字： 主管签字时间：
三视图及空间几何体的计算问题参考答案
典题探究
例1【答案】D 【解析】：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.
例2【答案】B 【解析】：该三棱锥的直观图，如图所示， 其中侧面PAC ⊥底面ABC ，PD ⊥AC ，AC ⊥BC ，可得BC ⊥平面PAC ，从而BC ⊥PC .故S △PAC ＝12×
5×4＝10；S △ABC ＝12×5×4＝10；PC ＝5，所以S △PBC ＝12×4×5＝10；由于PB ＝PD 2＋BD 2
＝
16＋25＝41，而AB ＝52
＋42
＝41，故△BAP 为等腰三角形，取底边AP 的中点E ，连接
BE ，则BE ⊥PA ，又AE ＝1
2PA ＝5，所以BE ＝41－5＝6，所以S △PAB ＝12
×25×6＝6 5.所
以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋65＝30＋6 5.
例3【答案】A 【解析】：在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝3
2，则
△ABD 的面积为1
2
×1×
AD 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
2＝
24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26
. 例4【答案】38【解析】利用三视图得几何体，再求表面积．由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.
演练方阵
A 档（巩固专练） 1. 【答案】D 【解析】：注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察
B ，D 选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D.
2. 【答案】B 【解析】：由正视图及俯视图可得，在三棱锥ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，该几何体的侧视图是腰长为
2×322
＋3
2
＝6
13
的等腰直角三角形，其面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫6132＝18
13.
3. 【答案】：C 【解析】：解析 由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱，梯形的面积为1
2
(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.
4. 【答案】：B 【解析】： 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为 2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V ＝13(12＋
1×22＋22
)×2＝143
，故选B.
5. 【答案】：D 【解析】：由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14.
6. 【答案】：1∶24【解析】：设三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh ＝1
24
V 2，即V 1∶V 2＝1∶24.
7. 【答案】：16π【解析】：该几何体是从一个球体中挖去1
4个球体后剩余的部分，所以该几
何体的表面积为34×(4π×22
)＋2×π×22
2
＝16π.
8. 【答案】：
2
6
【解析】：在Rt △ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，所以SA ＝4－1＝3.同理，SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因为△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，AD ＝BD ，故SC ⊥平面ABD ，且△ABD 为等腰三角形．因为∠ASC ＝30°，故AD ＝1
2SA
＝
32，则△ABD 的面积为12
×1×AD 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
2＝
24，则三棱锥S-ABC 的体积为13×24×2＝26
. 9.【解析】 ：由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD . (1)V ＝1
3
×(8×6)×4＝64.
(2)四棱锥EABCD 的两个侧面EAD ，EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h 1＝42
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫822＝42；另两个侧面EAB ，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h 2＝42
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫622＝5. 因
此S ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.
10. 【解析】 (1)证明 ∵EA ＝ED 且EE ′⊥平面ABCD ， ∴E ′D ＝E ′A ，∴点E ′在线段AD 的垂直平分线上． 同理，点F ′在线段BC 的垂直平分线上． 又四边形ABCD 是正方形，
∴线段BC 的垂直平分线也就是线段AD 的垂直平分线，即点E ′、F ′都在线段AD 的垂直平分线上．
∴直线E ′F ′垂直且平分线段AD .
(2)解 如图，连接EB 、EC ，由题意知多面体ABCDEF 可分割成正四棱锥EABCD 和正四面体
EBCF 两部分．设AD 的中点为M ，在Rt △MEE ′中，由于ME ′＝1，ME ＝3，∴EE ′＝ 2.
∴V EABCD ＝13·S 正方形ABCD ·EE ′＝13×22
×2＝423
.
又V EBCF ＝V CBEF ＝V CBEA ＝V EABC ＝13S △ABC ·EE ′＝13×12×22×2＝22
3，
∴多面体ABCDEF 的体积为V EABCD ＋V EBCF ＝2 2. B 档（提升精练） 1.【答案】：D 2.【答案】：B 3.【答案】：B 4. 【答案】：B
5. 【答案】：D
6. 【答案】：3
7. 【答案】： 3
8【解析】 ：(1)因为△PAB 是等边三角形，所以PB ＝PA . 因为∠PAC ＝∠PBC ＝90°，PC ＝PC ，所以Rt △PBC ≌Rt △PAC ，所以AC ＝BC .
如图，取AB 中点D ，连接PD 、CD ，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，又PD ∩
CD ＝D ，
所以AB ⊥平面PDC ，PC ⊂平面PDC ，所以AB ⊥PC . (2)作BE ⊥PC ，垂足为E ，连接AE .
因为Rt △PBC ≌Rt △PAC ，所以AE ⊥PC ，AE ＝BE . 由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故∠AEB ＝90°.
因为∠AEB ＝90°，∠PEB ＝90°，AE ＝BE ，AB ＝PB ，所以Rt △AEB ≌Rt △BEP ， 所以△AEB 、△PEB 、△CEB 都是等腰直角三角形． 由已知PC ＝4，得AE ＝BE ＝2，△AEB 的面积S ＝2.
因为PC ⊥平面AEB .所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S ·PC ＝83.
9【解析】 ：(1)证明 由条件知四边形PDAQ 为直角梯形．
因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝
2
2
PD ，则PQ ⊥QD . 又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .
(2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥QABCD 的高，所以棱锥QABCD 的体积V 1＝13a 3
.
由(1)知PQ 为棱锥PDCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为
22
a 2
， 所以棱锥PDCQ 的体积V 2＝13a 3
.故棱锥QABCD 的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值为1.
10【解析】 (1)证明 因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE =FD ，即BEDF 为平行四边形，
∴ED ∥FB ，∵FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ，∴DE ∥平面PFB .
(2)解 以D 为原点，直线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．如图，设
PD ＝a ，
可得如下点的坐标P (0,0，a )，F (1,0,0)，B (2,2,0)．
则有＝(1,0，－a )，＝(1,2,0)．
因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个 法向量为m ＝(0,0,1)．
设平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则可得即⎩⎪⎨
⎪⎧
x －az ＝0，
x ＋2y ＝0.
令x ＝1, 得z ＝1a ，y ＝－12，所以n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，－12，1a .
由已知二面角P-BF-C 的余弦值为6
6
，所以得cos 〈m ，n 〉＝
1
a
1×
54＋1a
2＝
66
， ∴a ＝2，∴V P －ABCD ＝13×2×2×2＝8
3.
C 档（跨越导练） 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】
23
5.【答案】16π
6.【答案】18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为18
7. 【答案】
32
8. 解：（1）ΘABCD PA 平面⊥，6
31312
1313
1=
⨯⨯⨯⨯=⋅==∴∆--PA S V V ABE ABE P PAB E （2）当点E 为BC 的中点时，PAC EF 平面||。

理由如下：Θ点F E ,分别为CD 、PD 的中点，∴PC EF ||。

ΘPAC PC 平面⊂，PAC EF 平面⊄PAC EF 平面||∴
（3）ΘABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面⊂ PA CD ⊥∴ 是矩矩形ABCD Θ，AD CD ⊥∴
E
O
G F A 1
B 1
C 1
C
B A
A AD PA =⋂Θ，PAD CD 平面⊥∴ PAD AF 平面⊂Θ DC AF ⊥∴
AD PA =Θ，点F 是PD 的中点 PD AF ⊥∴ 又D PD CD =I PDC AF 平面⊥∴ PDC ，PE 平面⊂Θ AF PE ⊥∴
9.【解析】：解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ABC ⊥平面 1C B ∴在平面ABC
上的射影为CB . 1C BC ∴∠为直线1C B 与底面ABC 所成角. 112,1CC BB BC ===Q ，1tan 2C BC ∴∠= 即直线1C B 与底面ABC 所成角正切值为2.
（2）当E 为中点时，1EA EB ⊥. 1111,1CE EC BC B C ====Q
1145BEC B EC ∴∠=∠=o 190BEB ∴∠=o ，即1B E BE ⊥
又11AB BB C C ⊥Q 平面，111EB BB C C ⊂Q 平面1AB EB ∴⊥
BE AB B =Q I 1EB ABE ∴⊥平面，ABE EA 平面⊂，1EA EB ⊥ （3）取1EB 的中点G ，1A E 的中点F ，则FG ∥11A B ，且111
2
FG A B =
， 1111A B EB FG EB ⊥∴⊥Q
连结11,A B AB ，设11A B AB O =I ，连结,,OF OG FG ， 则OG ∥AE ，且12OG AE =
11AE EB OG EB ⊥∴⊥Q
OGF ∴∠为二面角11A EB A --的平面角
.
111111,,22222
OG AE FG A B OF BE =
=====Q ， 45
OGF ∴∠=o
∴二面角11A EB A --的大小为45°
10. (1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD .又在直角梯形ABCD 中，
AB ＝BC ＝12
AP ＝AD ，AD ⊥AB ，∴四边形ABCD 为正方形．
∴CD ⊥AD ，又PD ∩AD ＝D ，∴CD ⊥平面PAD . 又∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAD . (2)解 如图，以D 为原点，分别以DC ，DA ，DP
为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D-xyz .D (0,0,0)，
B (2,2,0)，
C (2,0,0)，P (0,0,2)，则G (2,1,0)，E (1,0,1)，F (0,0,1)，
故＝(－1,0,0)，＝(1,1，－1)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
∴即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＝0，x ＋y －z ＝0.得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝z .
取n ＝(0,1,1) 平面PCD 的一个法向量＝(0,2,0)，
∴cos 〈，n 〉＝DA →
·n |DA →||n |＝222
＝2
2.
结合图知二面角GEFD 的大小为45°. (3)解 三棱锥DPAB 的体积
V DPAB ＝V PDAB ＝13S △ABD ·PD ＝13×12×2×2×2＝43
.。