现代控制理论中的数学知识

Chapter0 数学知识
0.1复数的指数形式
如下图，复平面上的一个单位矢量，其长度为1，其方向与x 轴的夹角为θ，
该矢量可以用指数形式θj e 来表示。

由此可以得到Euler 公式： θθθsin cos e j j +=
实部和虚部分别为：θθ
sin cos ==y x
j
j j j j 2e e sin 2e e cos θ
θθθθθ---=
+=
著名的Euler 公式将“实函数”与“虚函数”联系起来。

例1：利用Euler 公式可以简便的得到三角函
数的“倍角公式” 22)sin (cos )(θθθj e j +=，
左边=θθθθ2sin 2cos )(22j e e j j +==，右边θθθθcos sin 2)sin (cos 22j +-=， 比较两边“实部”和“虚部”得 θθθθ
θθcos sin 22sin sin cos 2cos 22=-=
定义：双曲余弦函数 2cosh x x e e x -+≡，双曲正弦函数 2sinh x
x e e x --≡
得到关系式： jx x cos cosh =，jx j x sin sinh -= 0.2矩阵知识 0.2.1 矩阵形式
单位矩阵 ⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=10000001 I ， 纯量矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a a aI A 00000010000001 ； 对角矩阵 0=ij a ，j i ≠ ⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=n a a A 0000001 ；
上(下)三角矩阵:0=ij a ，j i j i <>,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n a a a A 000...111 上；⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n a a a A ...000111 下；
jy
θ
x
对(反)称矩阵:
ji
ij ji ij a a a a -==，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A ......1111 对称
；⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=nn n n a a a a A ......1111 反称； 任一矩阵都可分解为对称矩阵与反称矩阵之和：反称矩阵
对称矩阵
2
2T
T A A A A A -+
+= A 、B 可交换（BA AB =）的充要条件是AB 为反称矩阵。

矩阵指数 定义：...!1
(21)
220+++++=≡∑∞
==k k k k k k At
t A k t A At I k t A e
（1） ])[(11---=A sI L e At 频域求法或叫Laplace 变换法； （2） I e =0；（3） )(ττ+=⋅t A A At e e e ；（4） At At e e --=1)(； （5） 若矩阵B A 、满足交换律BA AB =，则有t B A Bt At e e e )(+=⋅； （6） kAt k At e e =)(；（7）
A e Ae e dt
d At At At
==； （8） 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有P e P e At APt
P
11
-=-；
（9） 传递性：对任意满足012t t t >>，有)()()(020112t t A t t A t t A e e e ---=⋅。

例2：当 ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=n A λλ 1
，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=2212
n A λλ…⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=k n k
k A λλ
1
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡∑∑∑∑∑∞
==∞==∞==∞
==∞
==k k k k n k k k
k k k k
k n k
k k k k
n k k k
k At
k t k t k t
k t k t A e 00101
010!!!!!λλλλλλ
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=t t n e e λλ 1， 若λλλλ====k ...21，即A 为纯量矩阵，t At e e ⋅=λ 例3：当 101010101A I I A n n +=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ ，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101 A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00100010102
212 A A ，…，
000000010101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== n
n
n A A ，特征值全部为0，故⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=010101 A 是n
次幂零矩阵。

0.2.2 矩阵操作
下列操作不改变矩阵秩数：① 交换行列次序；② 某行乘纯量倍加到其他行去；③ 某行乘（0≠）纯量倍；④矩阵转置。

代数余子式 将去掉矩阵A 的第i 行，第j 列后产生的)1(-n 阶子矩阵的行列式记作
),(j i ∆，则)(ij a A 的代数余子式可表为 ),()(j i A j i ij ∆-=+；
矩阵转置T A 满足ji t
ij a a =，n i ,...,2,1=；m j ,...,2,1=；称为转置矩阵。

T T T A B AB =)(；⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=T T T T
A B B AB B
)(；)(T T T T
C A C CA C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；T AC C CA C )(记为≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 这就是说：“行矩阵”的转置等于分别转置后的“列矩阵”；“列矩阵”的转置等于分别转置后的“行矩阵”；利用矩阵的转置运算可将“列矩阵”表达为“行矩阵”形式。

矩阵共轭 ][*
*ij a A =，矩阵元实部不变符号，虚部变符号；
共轭转置矩阵*
*)()(~T T A A A =≡，A A =~~，A B AB ~~~~~⋅=，B A B A ~~~~~~~~~+=+；
厄米（Hermite ）矩阵： 称满足关系式A A =~
为Hermite 矩阵，由定义可知Hermite 矩阵A 一定是方阵，且对角线上元素均为实数。

由定义可知，实对称矩阵是Hermite 矩阵；
矩阵的迹Tr ：nn nn n n a a a a a a Tr TrA ++=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛= (111111)
对于同阶方阵A 、B ， )()()(B Tr A Tr B A Tr +=+，)()(BA Tr AB Tr =； 矩阵“行”、“列”、“元”的提取：
①定义：第i 个元素为1，其他元素均为0的行向量i h ，⨯=i i p P h ，即用“1=i 的 行向量i h 左乘矩阵P ，可将矩阵P 的第i 行“提取”出来；
②定义：第j 个元素为1，其他元素均为0的列向量j l ，j j p Pl ⨯=，即用“1=j ” 的
列向量j l 右乘矩阵P ，可将矩阵P 的第j 列“提取”出来； ③i h 、j l 同时作用可提取P 矩阵的ij p 元：ij j i p Pl h =。

0.2.3 矩阵的代数运算 矩阵加法、减法对各矩阵元进行
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛±±±±=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=±nn nn n n n n nn n n nn n n b a b a b a b a b b b b a a a a B A (1111111111111111)
矩阵乘法 p
m p
n n
m C B A ⨯⨯⨯=⨯
结合律成立 )()(BC A C AB = 分配律成立 AC AB C B A +=+)(
交换律不成立 首先，AB 存在，BA 不一定存在，即p
n m
p m
p p
n A B B A ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯不成立。

即使
BA 存在，也不一定有BA −→←=?
AB ，故矩阵乘积不满足交换律。

矩阵除法 矩阵除法按“1-”幂进行定义
若 I AB =，则 1-=A B 称为A 的逆矩阵，当方阵A 存在逆1-A 时，就说A 是非奇异的。

当方阵A 存在逆1-A 时⇔0≠A 。

111)(---=A C AC
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⇒=⇒=-10000001 (111111111)
nn n n nn n n b b b b a a a a I AB B A 逆矩阵1-A 、矩阵的求逆
① 将欲求逆的矩阵A 与单位矩阵I 放在一起变形，当矩阵A 处变为单位矩阵I 时，
单位矩阵I 处就变为1-A 了，即 A I AI −−→−变形
或者 1
-=
↓↓=A X
I I AX
② A
A A b
ij ][1
=
-，b ij A ][称为伴随矩阵，A A det ≡为矩阵的行列式。

特别地 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛a c b d d c b a b
，⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
--
=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛e d b a h
g
b a h
g e d f d c a i g c a i g f d f e c b i h c b i h f e
i h
g
f e d c b a
b
③ “矩阵元” 矩阵的求逆运算
当矩阵的“矩阵元”仍为矩阵时，其矩阵求逆运算仍和“矩阵元”为“数”
时的情况相似，设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯⨯⨯⨯D C B A D C
B A
k k p k k p p
p 1
，这表明D A 、必定是方阵，有可能存在逆，而B C 、不一定是方阵，谈不上求逆。

根据I D C B A D C B A =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛''''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
I C B A A ='+' ① 0='+'D B B A ② 0='+'C D A C ③ I D D B C ='+' ④ 当存在1-A 时：由①得)(1C B I A A '-='-， 代入③得111)(----='CA D B CA C ；
再代回上式得])([1111------='CA D B CA B I A A
同理，由②D B A B '-='-1；代入④得 11)(---='B CA D D ； 再代回上式得 111)(----='D B CA B A B
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------------1111111111111
)()()(])([B CA D CA D B CA D B CA B A CA D B CA B I A D C B A 同理，当存在1-D 时，可求出：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------------])([)()()(11111111
11111
BD A C BD C I D A C BD C D BD A C BD C BD A D C B A 特例：a
D BD A A D B A 特例⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111
0; b
D CA D A D C A
特例⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----11111
00
④“矩阵元”矩阵行列式的求法（只有方阵才存在行列式）
)det(det det det k k k k p p CD B A D C B A ⨯⨯⨯-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；D A D C A D B A det det 0det 0det ⋅=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 矩阵行列式nn
n n
a a a a A ......det 1
111
=，当D A 、为同阶方阵时：D A AD det det )det(⋅=；
0.2.4 矩阵的微积分运算
矩阵微分 对各矩阵元进行 ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=nn n n nn n n a a a a dt da dt da dt da dt da dt dA (11111111)
矩阵积分 对各矩阵元进行 ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰
⎰⎰dt a dt a dt a
dt a dt a A dt a A nn n n
ij ij ......)()(1111
0.2.5 矩阵的一些性质
幂零矩阵 存在某正整数m ，满足0=m A ，称n 阶方阵A 为幂零矩阵，A 为幂零矩阵的充要条件是A 的所有特征值为零 A AX λ=，0=i λ n i ,,2,1 = 正交矩阵 若P 为正交矩阵I P P T =，则1-=P P T ；
正规矩阵 称满足A A A A ~~=的A 矩阵为正规矩阵。

Hermite 矩阵（A A =~
）、酉矩阵
U （I U U =~
）都是正规矩阵；
酉矩阵 方阵U 满足I U U =⋅~
，即矩阵转置取共轭后与自己相乘后等于单位矩阵，
∑==n
k ij
kj ki u u 1
*
δ时称为酉矩阵。

酉矩阵有如下特征：① 方阵U 为酉矩阵1~-=⇔U U ；② 方阵U 为酉矩阵U ~
⇔也是酉矩阵；③ 1U 、2U 为酉矩阵时，21U U 仍为酉矩阵；④ 酉矩阵U 行列式绝对值为1，即1det =U ；⑤ 实酉矩阵U =正交矩阵，因为
I U U U U U U T U T =⋅−−−→−⋅=⋅)()(~*为实矩阵正交矩阵，而正交矩阵的行列式值为
1det ±=U 。

特征值：0)(=-x I A λ，存在0≠x 解的充要条件是0)det(=-=-A I A I λλ，λ称为A 的特征值。

求A 的特征值λ就是解0=-A I λ，n 阶方阵A 有n 个特征值。

① 00det =⇒=λA ，即A 的行列式为零时，其特征值也为零0=λ； ② 若A 的特征值为λ，则1-A 的特征值为1-λ（互为倒数）； 矩阵对角化
① 对于方阵A ，存在非奇异矩阵P ，使AP P 1-化成三角矩阵，此时对角线上的元素即为A 的特征值；
②进一步，若A 的特征值全部相异，则存在非奇异矩阵P ，使AP P 1-化为对角矩阵，且对角线上的元素即为A 的特征值；
③ 对于方阵A ，存在非奇异矩阵P ，使AP P 1-成为Jordom 矩阵：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-)(0000
00)(111r kr k J J AP P λλ ，其中⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=i i
i ki J λλλ000000
)( 等价：若存在非奇异矩阵P 、Q ，使B PAQ =或者B AP P T =，或者B AP P =~
，则
称A 、B 等价B A ⇔；
相似：若对于方阵A 、B ，存在非奇异矩阵P ，使得B AP P =-1，则称A 、B 相似； 0.4 Taylor 级数
一个函数是否能由幂级数n n n x x a x f )()(00-=∑∞
=表示?如果能展开，如何确定
n a ？展开式是否唯一？
定理 1.如果函数)(x f 在)(0x U δ内具有任意阶导数，且在)(0x U δ内能展开成
)(0x x -的幂级数，即n n n x x a x f )()(00
-=∑∞
=，则其系数)(!
10)
(x f n a n n =
，,...2,1,0=n ，其展开式是唯一的。

证明：∵)(x f 在)(0x U δ内能展开成)(0x x -的幂级数,
...)(...)()()(0202010+-++-+-+=n n x x a x x a x x a a x f
逐项求导任意次：...)(...)(2)(10021+-++-+='-n n x x na x x a a x f
...)(23...)1(!)(01)(+-⋅++=+x x a n n a n x f n n n
令0x x =即得Taylor 系数：)(!10)
(x f n a n n =，n n n x x x f n x f )()(!
1)(000)(-=∑∞
=
Taylor 系数是唯一的，所以展开式也是唯一的。

若在00=x 处展开，n n n x a x f ∑∞
==0)(，)0(!
1)
(n n f n a =
，称为Maclaurin 级数。

几个常用幂级数：
),(...!
1
...!2112+∞-∞∈++++
+=x x n x x e n x ...)!
12()1(...!51!31sin 1253++-+-+-=+n x x x x x n n
),(+∞-∞∈x
...)!
2()1(...!41!211cos 242+-+-+-=n x x x x n n ),(+∞-∞∈x ...!
)
1)...(1(...!
2)
1(1)1(2++--+
+-+
+=+n x n n x x x ααααααα R x ∈
...)1(...3121)1ln(132+-+-+-=+-n
x x x x x n
n ]1,1(-∈x (111)
32+-+-=+x x x x
)1,1(-∈x (165832111)
6
422++++=-x x x x )1,1(-∈x 0.5 Fourier 级数
最简单的波是谐波(正弦波),它是形如)sin(ϕω+t A 的波,其中A 是振幅,ω是
角频率,ϕ是初相位。

其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来。

这就是说,设)(t f 是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成
()∑∑∞
=∞
=++=++=1
01
0)sin cos ()sin(n n n n n n t n b t n a A t n A A t f ωωϕω
其中：t n b t n a t n A n n n n ωωϕωsin cos )sin(+=+是n 阶谐波,T
π
ω2=，称上式右端的级数是由)(t f 所确定的Fourier 级数。

三角函数的正交性
设c 是任意实数,]2,[π+c c 是长度为π2的区间,由于三角函数kx kx cos ,sin 是周期为π2的函数,经过简单计算,有 ⎰
⎰+==ππ220
0cos cos c c
kxdx kxdx ；⎰
⎰+==π
π
220
0sin sin c c
kxdx kxdx ...)2,1(=k
利用积化和差的三角公式容易证明
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫=======⎰⎰
⎰⎰⎰⎰+++,...)2,1(cos cos cos cos sin sin sin sin 0cos sin cos sin 20
2202202l lxdx kx lxdx kx lxdx kx lxdx kx lxdx kx lxdx kx kl
c c
kl
c c
c c
πδπδπ
ππ
ππ
π
，
ππ
π
21120
222==⎰⎰
+dx dx c c
考察三角函数系{};...sin ,cos ;...,2sin ,2cos ;sin ,cos ;1nx nx x x x x ，每一个函数在长为π
2的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等于零，而每个函数自身平方的积分非零。

称这个函数系在长为π2的区间上具有正交性。

Fourier 系数
设函数)(x f 已展开为全区间设的一致收敛的三角级数
∑∞
=++=1
0)sin cos (2)(k k k t k b t k a a t f ωω
现在利用三角函数系数的正交性来研究系数,...)2,1(,,0=k b a a k k 与)(x f 的关系。

将上述展开式沿区间],[ππ-积分，右边级数可以逐项积分得到
πππ
π
00
22
)(a a dx x f =⋅=
⎰-
，dx x f a ⎰-=πππ)(10
又设n 是任一正整数，对)(x f 的展开式两边乘以nx cos 沿],[ππ-积分，由假定，右边可以逐项积分，由此得到：
=⎰-
π
πdx nx x f cos )(
⎰∑⎰⎰⎰-
∞
==-
=-
=-
==++=π
ππππδπππ
ππ
n n
k k k
a nxdx a
dx nx kx b dx nx kx a dx nx a
kn
21
cos )cos sin cos cos (cos 2
因此得到Euler-Fourier 公式：,...)2,1,0(cos )(1
==
⎰-
k kxdx
x f a k π
ππ
同理，对)(x f 的展开式两边乘以nx sin 沿],[ππ-积分：
,...)2,1,0(sin )(1
==
⎰-
k kxdx x f b k π
ππ
称这级数是)(x f 关于三角函数系{
};...sin ,cos ;...,2sin ,2cos ;sin ,cos ;1nx nx x x x x
的Fourier 级数，而k k b a 、称为)(x f 的Fourier 系数，记为
()∑∞
=++1
0sin cos 2~)(k k k kx b kx a a x f
Fourier 级数的收敛判别法：设函数)(x f 在],[ππ-上可积和绝对可积，当x 是)
(x f 的（第一类）间断点时，∑∞
=++1
0)sin cos (2~
)(k k k kx b kx a a x f 收敛于()()[]002
1
-++x f x f Fourier 级数的复数形式
Fourier 级数的n 阶谐波可以用复数形式表示。

由Euler 公式
)(2
sin )(21cos θθθθθθi i i i e e i
e e --=+=-
得：()∑∑∞=-∞=⎪⎭
⎫
⎝⎛++-+=++1010222sin cos 2n t in n n t in n n n n n e ib a e ib a a t n b t n a a ωωωω
如果记(),...2,1,,00==+=-=-n c ib a c ib a c a n
n n n n n ，那么上面的Fourier 级数
就化成一个简洁的形式t in n n e c ω∑+∞
-∞
=21，这就是Fourier 级数的复数形式，n c 为复振幅，
n c 与n c -是一对共轭复数。

Fourier 级数可以逐项求积分和逐项求导。

Fourier 变换
定义：dx e x f f f F x i ωω-+∞∞
-⎰
=≡)()(ˆ)(是)(x f 的Fourier 变换。

黎曼引理：0])([lim )(ˆlim ==-+∞∞
-∞→∞→⎰dx e x f f x i ωωωω
⎰⎰⎰
∞
∞
--∞+∞-∞
+∞
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==
ωπ
ωωπωωωd e dt e t f d e f
x f x i t i x i )(21)(ˆ21
)( 称ωωπ
ωd e f x f x i ⎰
+∞
∞
-=
)(ˆ21)(是)(ˆωf 的Fourier 逆变换（积分公式）。

Fourier 变换的一些性质
性质一（线性）：)()()(22112211f F a f F a f a f a F +=+，其中21a a 、是两个任意给定的常数（学生自己证明！）。

性质二（平移）：对任何)(x f ，)()]([f F e s x f F is ω=-。

该性质表明)(x f 平移后的Fourier 变换等于未作平移的Fourier 变换乘s i e ω。

证明：)()()()]([)(f F e dx e x f e dx e x f s x f F is x i is s x i ωωωω===--+∞
∞
---+∞∞
-⎰
⎰
性质三（导数）：设)(0)(±∞→→x x f ，则)(f F i dx df F ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛，求导运算在Fourier
变换下成为乘积运算。

证明：⎰⎰∞∞
---∞∞-⋅==⎪⎭⎫
⎝⎛x i x i e x df dx e dx
x df dx df F ωω)()( )()()()(f F i dx e x f i de
x f e x f x i x
i x i ωωωωω=⋅=⋅-⋅=⎰
⎰
∞
∞
--∞
∞
--∞
∞
--
性质四：)())((f F d d
x ixf F ω
=
- 证明：)(])([)]([))((f F d d dx e x f d d dx e
x ixf x ixf F x
i x
i ω
ωωω=⋅=-=--+∞∞--+∞
∞
-⎰⎰
0.6 有理真分式的分解
在实数范围内，有理真分式
)
()
(x Q x P 总可以分解成部分分式（部分分式是指这样一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式）之和，且具有对应关系： ①若)(x Q 中有重根因式k a x )(-，可分解成下列k 个最简分式之和
)()()(1
2
1a x A a x A a x A k k k -+
+-+-- ， 其中k A A A 21、都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项
a
x A
-； ②若)(x Q 中有因式04)(22<-++q p q px x k ，可分解成下列k 个最简分式之和
q
px x N x M q px x N x M q px x N x M k
k k k ++++++++++++-21222211)()(
其中i i N M 、都是常数.特别地，如果1=k ，分解后只有一项q
px x N
Mx +++2
结论：有理真分式总能分解为若干部分分式之和，并可归纳为以下四种形式： （1）
a x A
- （2）n a x A )(- （3）
)04(22<-+++q p q px x N Mx
（4）
为常数、、其中系数N M A q p q px x N
Mx n
),04()(22<-+++
例5 把
2
)1(1
-x x 分解为最简分式之和。

解：根据真分式的性质可设
)
1()1()1(12
2-+-+=-x C
x B x A x x （1） 方法1：（1）式两端去分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A （2）
因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有
1020==-+-=+A C B A C A 解得111-===C B A 、、
方法2：此题定C B A 、、还有另法：在恒等式（2）中，代入适当的x 值，即可求出待定常数。

在（2）中令1=x ，得1=B ；令0=x ，得1=A ； 再令2=x ，得1-=C 方法3：（1）两边同乘x 再令0→x 可求得A ，1)1(1
lim
2
0=-=→x A x
（1）两边同乘2)1(-x 再令1→x 可求得B ，11
lim
1==→x
B x
（1）两边同乘2)1(-x 、求导、再令1→x 可求得C ，11
lim 2
1-=-=→x C x
所以 )
1(1
)1(11)1(12
2---+=-x x x x x , 0412<->∈q p k N k ，， 例6 把)
3)(2(3
6532--+=+-+x x x x x x 分解为最简分式之和。

解：令
3
2)3)(2(36532
-+-=--+=+-+x B
x A x x x x x x ，A 、B 为待定常数（1） 方法1：（1）式两端去分母后，得 )2()3(3-+-=+x B x A x (2)
比较两端系数有 3231=--=+B A B A ；，解得 5-=A ，6=B 方法2：在（2）中令2=x 得5-=A ；令3=x 得6=B 方法3：（1）两边同乘2-x 再令2→x 可求得A ，53
3
lim 2-=-+=→x x A x
（1）两边同乘3-x 再令3→x 可求得B ，62
3
lim 3=-+=→x x B x
所以
3
6
256532-+--=+-+x x x x x
例7 把)
22)(2(22
+++x x x x 分解为最简分式之和．
解：因为分母中222++x x 为二次质因式，故应分解为
2
22)22)(2(222+++++=+++x x C
Bx x A x x x x （1）
方法1：（1）式两端去分母得 )2)(()22(22+++++=x C Bx x x A x （2）
比较两端对应项的系数不难求得2=A ，1-=B ，2-=C
方法2：在式（2）中令2-=x 得2=A ；令0=x 得2-=C ；令1=x 得1-=B
方法3：式（1）两边同乘2+x 再令2-→x 可求得A ，22
2lim 222=++=-→x x x A x
式（1）两边同乘222++x x 再两边取极限0→x 可求得2-=C 式（1）两边同乘222++x x 再两边取极限1→x 可求得1-=B
所以 2
22
22)22)(2(222+++-+=+++x x x x x x x x
0.3 变换表
常用函数的拉氏变换和Z 变换表
序号 拉氏变换()E s 时间函数()e t
Z 变换()E s
1 1
)(t δ
1
2 Ts
e --11
∑∞
=-=0)()(n T nT t t δδ
1
-z z 3 s
1 )(1t
1
-z z 4 2
1s t
2
)1(-z Tz 5 31s
2
2
t 3
2
)
1(2)
1(-+z z z T
6 1
1+n s
!n t n
)(!)1(lim 0aT n n n a e
z z a n -→-∂∂- 7
a
s +1
at
e
-
aT
e
z z
-- 8
2
)(1
a s +
at
te
2
)
(aT aT
e z Tze ---
9 )
(a s s a + at
e
--1 )
)(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 )
)((b s a s a b ++- bt
at
e
e
---
bT
aT e
z z
e z z ----- 11 2
2ωω
+s
t ωsin
2
sin 2cos 1
z T
z z T ωω-+ 12 2
2ω+s s
t ωcos
2(cos )2cos 1
z z T z z T ωω--+ 13 2
2)(ωω
++a s
t e
at
ωsin -
22sin 2cos aT aT aT
ze T
z ze T e
ωω----+ 14 2
2)(ω
+++a s a s t e
at
ωcos -
222cos 2cos aT aT aT
z ze T z ze T e ωω-----+ 15
a
T s ln )/1(1- T t a /
a
z z -。