2020年中考数学必考考点专题12二次函数(含解析)

专题12 二次函数
1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2
+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图像与性质
（1）对称轴：2b x a
=-
（2）顶点坐标：2
4(,)24b ac b a a
-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：
当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 y=ax 2
+bx+c(a ≠0).
已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2
()y a x h k =-+
224()24b ac b y a x a a
-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 12()()y a x x x x =--
专题知识回顾
已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号
（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2
+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2
+bx+c=0
24b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤 （1）配方为： 2
()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ） （2）对x 轴， 左加右减；对y 轴， 上加下减。

7.二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴12
2
x x x +=
【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y ＝﹣2x 2
﹣4x +5的最大值是 ． 【答案】7
【解析】y ＝﹣2x 2
﹣4x +5＝﹣2（x +1）2
+7， 即二次函数y ＝﹣x 2﹣4x +5的最大值是7， 故答案为：7．
【例题2】（2019广西贺州）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x -<<时，0y >，正确的是 （填写序
专题典型题考法及解析
号）．
【答案】①③④
【解析】根据图象可得：0a <，0c >， 对称轴：12b
x a
=-=， 2b a ∴=-， 0a <Q ， 0b ∴>，
0abc ∴<，故①正确；
把1x =-代入函数关系式2y ax bx c =++中得：y a b c =-+，
由抛物线的对称轴是直线1x =，且过点(3,0)，可得当1x =-时，0y =， 0a b c ∴-+=，故②错误； 2b a =-Q ，
(2)0a a c ∴--+=，
即：30a c +=，故③正确； 由图形可以直接看出④正确． 故答案为：①③④．
【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：
x （元） 15 20 30 … y （袋）
25
20
10
…
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：
（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元 【答案】见解析。

【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式即可； 利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y ＝kx +b 得
25152020k b
k b =+⎧⎨
=+⎩
，解得140k b =-= 故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：y ＝﹣x +40 （2）依题意，设利润为w 元，得
w ＝（x ﹣10）（﹣x +40）＝﹣x 2+50x +400
整理得w ＝﹣（x ﹣25）2
+225 ∵﹣1＜0
∴当x ＝2时，w 取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
一、选择题
1.（2019广西河池）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，则下列结论中，错误的是( )
A ．0ac <
B ．240b ac ->
C ．20a b -=
D ．0a b c -+=
【答案】C ．
【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
专题典型训练题
A .由抛物线的开口向下知0a <，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，可得0c >，因此0ac <，故本选项正确，不符合题意；
B .由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->，故本选项正确，不符合题意；
C .由对称轴为12b
x a
=-
=，得2a b =-，即20a b +=，故本选项错误，符合题意； D .由对称轴为1x =及抛物线过(3,0)，可得抛物线与x 轴的另外一个交点是(1,0)-，所以0a b c -+=，故
本选项正确，不符合题意．故选：C ．
2.（2019哈尔滨）将抛物线2
2x y =向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）
A ．3)2(22++=x y
B ．3)2(22
+-=x y C ．3)2(22--=x y D ．3)2(22
-+=x y 【答案】B
【解析】将抛物线y ＝2x 2
向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y ＝2（x ﹣2）2
+3，故选B ．
3.（2019湖北咸宁）已知点A （﹣1，m ），B （1，m ），C （2，m ﹣n ）（n ＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．y ＝x B ．y =−2
x
C ．y ＝x 2
D ．y ＝﹣x 2
【答案】D
【解析】∵A （﹣1，m ），B （1，m ）， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；
由于y ＝x ，y =−2x
的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误； ∵n ＞0， ∴m ﹣n ＜m ；
由B （1，m ），C （2，m ﹣n ）可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确。

4.（2019年陕西省）已知抛物线2
(1)y x m x m =+++，当1x =时，0y >，且当2x <-时， y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）．
A ．1m >-
B ．3m <
C ．13m -<≤
D ．34m <≤ 【答案】C
【解析】根据“当1x =时，0y >”，得到一个关于m 不等式，在根据抛物线2
(1)y x m x m =+++，可知抛物线开口向上，再在根据“当2x <-时， y 的值随x 值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线2x =-的右侧或者是直线2x =-，从而列出第二个关于m 的不等式，两个不等式联立，即可解得答案． 因为抛物线2
(1)y x m x m =+++， 所以抛物线开口向上． 因为当1x =时，0y >， 所以2
1(1)10m m ++⨯+> ①，
因为当2x <-时， y 的值随x 值的增大而减小，
所以可知抛物线的对称轴在直线2x =-的右侧或者是直线2x =-， 所以1
221
m +-
≥⨯②， 联立不等式①，②，解得13m -<≤．
5.（2019广西梧州）已知0m >，关于x 的一元二次方程(1)(2)0x x m +--=的解为1x ，212()x x x <，则下列结论正确的是( ) A ．1212x x <-<< B ．1212x x -<<< C ．1212x x -<<< D ．1212x x <-<<
【答案】A
【解析】关于x 的一元二次方程(1)(2)0x x m +--=的解为1x ，2x ，可以看作二次函数(1)(2)m x x =+-与x 轴交点的横坐标，
Q 二次函数(1)(2)m x x =+-与x 轴交点坐标为(1,0)-，(2,0)，如图：
当0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >； 又12x x <Q
11x ∴=-，22x =； 1212x x ∴<-<<，
故选：A ．
6.（2019四川泸州）已知二次函数y ＝（x ﹣a ﹣1）（x ﹣a +1）﹣3a +7（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞﹣1 C ．﹣1＜a ≤2 D ．﹣1≤a ＜2
【答案】D
【解析】y ＝（x ﹣a ﹣1）（x ﹣a +1）﹣3a +7＝x 2
﹣2ax +a 2
﹣3a +6， ∵抛物线与x 轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a ）2
﹣4（a 2
﹣3a +6）＜0，解得a ＜2， ∵抛物线的对称轴为直线x =−
−2x
2
=a ，抛物线开口向上，
而当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小， ∴a ≥﹣1，
∴实数a 的取值范围是﹣1≤a ＜2．
7.（2019四川省雅安市）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2) 2
+1，下列说法中错误的是（ ） A ．y 的最小值为1
B ．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C ．当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．它的图像可以由y=x 2
的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【答案】C
【解析】根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2) 2
+1，得它的顶点是（2，1），对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图像开口向上，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，可由y=x 2
的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以C 是错误的，故选C ． 二、填空题
8.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数8)6(2
+--=x y 的最大值是 ．
【答案】8
【解析】∵a ＝﹣1＜0，∴y 有最大值， 当x ＝6时，y 有最大值8．故答案为8． 9. (2019黑龙江大庆)如图抛物线y ＝
2
14x p
(p>0),点F(0,p),直线l:y ＝－p,已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等,过点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,AA 1⊥l,BB 1⊥l,垂足分别为A 1,B 1,连接A 1F,B 1F,A 1O,B 1O,若A 1F ＝a,B 1F ＝b,则△A 1OB 1的面积＝______(只用a,b 表示).
【答案】
4
ab 【解析】先由边相等得到∠A 1FB 1＝90°,进而得到A 1B 1的长度,由等面积法得到点F 到A 1B 1的距离,进而得到△A 1OB 1的高,求出三角形面积.
设∠A ＝x,则∠B ＝180°－x,由题可知,AA 1＝AF,BB 1＝BF,所以∠AFA 1＝1802x -o ,∠BFB 1＝2x
,所以∠A 1FB 1＝
90°,所以△A 1FB 1是直角三角形,A 1B 1,所以点F 到A 1B 1
因为点F(0,p),直线l:y
＝－p,△A 1OB 1
,所以△A 1OB 1的面积＝12＝4ab
10.（2019江苏镇江）已知抛物线y ＝ax 2
＋4ax ＋4a ＋1（a ≠0）过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2
＋a ＋1的最小值是 ． 【答案】
7
4
． 【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB 的长不大于4，求出a 的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a 2
＋a ＋1的最小值． ∵y ＝ax 2
＋4ax ＋4a ＋1＝a (x ＋2)2＋1，
∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x ＝－2．
∵抛物线过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，
∴当y ＝3时，a (x ＋2)2
＋1＝3，(x ＋2)2
＝
2
a
，当a ＞0时，x ＝－2
∴A (－23)，B (－23)．
∴AB ＝ ∵线段AB 的长不大于4，
∴4． ∴a ≥
12
． ∵a 2
＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34
， ∴当a ＝
12，(a 2
＋a ＋1)min ＝(a ＋12)2＋34＝74
． 11.（2019江苏镇江）已知抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ，(,3)B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 ． 【答案】
74
【解析】Q 抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ，(,3)B n 两点，
∴
4222m n a
a
+=-=- Q 线段AB 的长不大于4，
413a ∴+…
12
a ∴…
21a a ∴++的最小值为：2117
()1224++=；
故答案为
7
4
． 12.（2019内蒙古赤峰）二次函数y ＝ax 2
+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＞0；②a ﹣b +c ＝0；③一元二次方程ax 2
+bx +c +1＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根；④当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【解析】由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），
①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
②当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3
∴④正确；
故答案为②③④．
三、解答题
13.（2019北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线21
y ax bx
a
=+-与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点
11
(,)
2
P
a
-，(2,2)
Q．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】见解析。

【解析】先求出A 点的坐标为10,a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，由平移规律求得点B 的坐标；由A 、B 两点的纵坐标相同，得A 、B 为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据a 的符号分类讨论分析解答即可.
（1）∵当x=0时，抛物线211y ax bx a a
=+-=-； ∴抛物线与y 轴交点A 点的坐标为10,a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ∴由点A 向右平移2个单位长度得点B 的坐标为12,a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭；即1(2,)B a -. （2）∵由A 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B 12,a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭两点的纵坐标相同，得A 、B 为对称点.∴抛物线对称轴方程为0212x +==；即
直线1x =.
（3）①当0a >时，10a
-<. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可
能同时经过点B 和点Q ，所以线段PQ 和抛物线没有交点.
②当0a <时，10a
->. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点，此时12a -≤，即12
a ≤-. 综上所述：当12
a ≤-时，抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点. 14.（2019辽宁本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y （元）与一次性批发量x （件）（x 为正整数）之间满足如图所示的函数关系.
（1）直接写出y 与x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【答案】见解析。

【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.
认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；根据利润=（售价-成本）×
件数，列出利润的表达式，求出最值．（1）当0＜x≤20且x为整数时，y=40；
当20＜x≤60且x为整数时，y=-1
2
x+50；
当x＞60且x为整数时，y=20；（2）设所获利润w（元），
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，∴w=(40-16)×20=480元，
当0＜x≤20且x为整数时，y=40，
∴当20＜x≤60且x为整数时，y=-1
2
x+50，
∴w=(y-16)x=(-1
2
x+50-16)x，
∴w=-1
2
x2+34x，
∴w=-1
2
（x-34）2+578，
∵-1
2
＜0，
∴当x=34时，w最大，最大值为578元．
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
15．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【答案】见解析。

【解析】根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，列二元一次方程组即可解题；根据题意，可设A种礼盒降价m元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+）盒，再列出关系式即可．
（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，
则有，解得
故该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒．
（2）设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒，利润为W 元，依题意
总利润W ＝（120﹣m ﹣72）（10+）+800
化简得W ＝
m 2+6m +1280＝﹣（m ﹣9）2+1307
∵a ＝＜0 ∴当m ＝9时，取得最大值为1307，
故当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
16. （2019广西省贵港市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为(4,3)A ，与y 轴相交于点(0,5)B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；
（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标．
【答案】见解析。

【解析】函数表达式为：2(4)3y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；(4,3)A 、
(0,5)B -，则点(2,1)M -，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
（1）函数表达式为：2(4)3y a x ==+，
将点B 坐标代入上式并解得：12
a =-，
故抛物线的表达式为：21452
y x x =-+-； （2）(4,3)A 、(0,5)B -，则点(2,1)M -， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-， 将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-；
（3）设点(4,)Q s 、点21(,45)2
P m m m -+-， ①当AM 是平行四边形的一条边时， 点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21(,45)2
P m m m -+-向左平移2个单位、向下平移4个单位得到(4,)Q s ， 即：24m -=，214542
m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，
故点P 、Q 的坐标分别为(6,1)、(4,3)-； ②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：424m +=+，2131452
m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，
故点P 、Q 的坐标分别为(2,1)、(4,1)； 故点P 、Q 的坐标分别为(6,1)或(2,1)、(4,3)-或(4,1)．。