2020-2021学年高中数学人教B版必修第三册课后习题：6.2.2导数与函数的极值、最值

第六章导数及其应用
6.2利用导数研究函数的性质
6.2.2导数与函数的极值、最值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
,记函数y=f'(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a<x<x1时,f'(x)>0;当x1<x<x2时,f'(x)<0;当x2<x<x4时,f'(x)≥0;当x4<x<b时,f'(x)<0.因此,函数f(x)分别在
x=x1,x=x4处取得极大值,选B.
2.(2020江西南昌高二期末)函数f(x)=a e x-sin x在x=0处有极值,则a的值为()
A.-1
B.0
C.1
D.e
,得f'(x)=a e x-cos x.∵f(x)在x=0处有极值,∴f'(0)=a-cos0=a-1=0,解得a=1.经检验,满足题意,故选C.
3.函数f(x)=x2·e x+1,x∈[-2,1]的最大值为()
A.4e-1
B.1
C.e2
D.3e2
f'(x)=(x2+2x)e x+1=x(x+2)e x+1,
∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.
又当x∈[-2,1]时,e x+1>0,
∴当-2<x<0时,f'(x)<0;
当0<x<1时,f'(x)>0.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,∴f(x)的最大值为e2.
4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是()
A.y=x 3+6x 2+9x
B.y=x 3-6x 2+9x
C.y=x 3-6x 2-9x
D.y=x 3+6x 2-9x
三次函数过原点,故可设为y=x 3+bx 2+cx ,
∴y'=3x 2+2bx+c.又x=1,3是y'=0的两个根,
∴{1+3=-2b
3,
1×3=c 3,
解得{b =-6,c =9.∴y=x 3-6x 2+9x. 又y'=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3),
∴当x=1时,f (x )极大值=4,
当x=3时,f (x )极小值=0,满足条件,故选B .
5.(2020山东省山东师范大学附中高三月考)函数f (x )=x+2cos x 在区间[0,π]上的最大值为( ) A.2
B.√3+π
6
C.√3+5π
6
D.π-2
(x )=1-2sin x ,x ∈[0,π].
令f'(x )>0,解得x<π
6或x>5π
6, 令f'(x )<0,解得π
6<x<5π6,
∴函数f (x )在0,π
6和5π6
,π上单调递增,在
π6,5π6
上单调递减,
∴f (x )的极大值为f
π6
=√3+π
6,f (x )的极小值为f 5π
6=5π
6
−√3,又f (0)=2,f (π)=π-2,
故所求最大值为√3+π
6.
6.已知曲线f (x )=x 3+ax 2+bx+1在点(1,f (1))处的切线斜率为3,且x=2
3
是y=f (x )的极值点,则a+b= .
f'(x )=3x 2+2ax+b ,
∴{f '(1)=3,f '(23
)=0,即{3+2a +b =3,
43+43
a +
b =0.
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
2
7.设a ∈R ,若函数y=e x +ax (x ∈R )有大于零的极值点,则a 的取值范围为 .
y=e x +ax ,∴y'=e x +a.令y'=e x +a=0,则e x =-a ,即x=ln(-a ),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.
-∞,-1)
8.函数f (x )=x 3-3x 2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .
(x )=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f'(x )=0,得x=3或x=-1.
又f (-4)=k-76,f (3)=k-27,f (-1)=k+5,f (4)=k-20,则f (x )max =k+5=10,得k=5,
∴f (x )min =k-76=-71.
71
9.已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x=±1处取得极值,且f (1)=-1. (1)试求常数a ,b ,c 的值;
(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
(x )=3ax 2+2bx+c ,
(1)(方法一)∵x=±1是函数的极值点,
∴x=±1是方程3ax 2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系,得{-2b
=0,①
c 3a =-1,②
又f (1)=-1,∴a+b+c=-1,③ 由①②③解得a=1
2,b=0,c=-32.
(方法二)由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,① 3a-2b+c=0,②
又f (1)=-1,∴a+b+c=-1,③ 由①②③解得a=1
2,b=0,c=-3
2. (2)由(1),知f (x )=1
2
x 3-32x ,
∴f'(x )=32x 2-32=3
2(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时,f'(x )>0, 当-1<x<1时,f'(x )<0.
∴函数f (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,
在(-1,1)上是减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值,x=-1为极大值点;
当x=1时,函数取得极小值,x=1为极小值点. 10.设函数f (x )=ln(2x+3)+x 2. (1)讨论f (x )的单调性;
(2)求f (x )在区间[-34,1
4]上的最大值和最小值.
f (x )的定义域为(-3
2,+∞).
(1)f'(x )=22x+3+2x=4x 2+6x+2
2x+3
=
2(2x+1)(x+1)
2x+3
.
当-32
<x<-1时,f'(x )>0; 当-1<x<-1
2
时,f'(x )<0; 当x>-1
2时,f'(x )>0,
从而f (x )在区间(-3
2,-1),(-1
2,+∞)上单调递增,在区间(-1,-1
2)上单调递减. (2)由(1)知,f (x )在区间[-34,1
4]上的最小值为f (-1
2)=ln2+1
4.
又因为f (-3
4)-f (1
4)=ln 3
2+9
16-ln 7
2−1
16=ln 3
7+1
2=1
2(1-ln 49
9)<0,所以f (x )在区间[-34,1
4]上的最大值
为f (1
4)=1
16+ln 72
.
能力提升练
1.(多选)(2020建湖第二中学高二开学考试)关于函数f (x )=e x -2,下列结论不正确的是( ) A.f (x )没有零点 B.f (x )没有极值点 C.f (x )有极大值点
D.f (x )有极小值点
f (x )=0,解得x=ln2,所以f (x )有零点,所以A 选项不正确.f'(x )=e x >0,所以f (x )在R 上递增,没有极值点,所以B 选项正确,CD 选项不正确.故选ACD .
2.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx-a 2-7a 在x=1处取得极大值10,则a
的值为( ) A.-23
B.-2
C.-2或-23
D.不存在
f'(x )=3x 2+2ax+b ,且f (x )在x=1处取得极大值10,
∴f'(1)=3+2a+b=0,f (1)=1+a+b-a 2-7a=10, ∴a 2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.
当a=-2,b=1时,f'(x )=3x 2-4x+1=(3x-1)(x-1). 当1
3<x<1时,f'(x )<0,当x>1时,f'(x )>0,
∴f (x )在x=1处取得极小值,与题意不符.
当a=-6,b=9时,f'(x )=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3); 当x<1时,f'(x )>0,当1<x<3时,f'(x )<0,
∴f (x )在x=1处取得极大值,符合题意; ∴a
b =-6
9=-2
3.
3.(2020旬邑中学高二月考)函数f (x )=4x-ln x 的最小值为( ) A.1+2ln 2 B.1-2ln 2 C.1+ln 2
D.1-ln 2
(x )=4-1
x =4x -1
x ,x>0.
令f'(x )>0,得x>1
4;令f'(x )<0,得0<x<1
4.
所以当x=1
4时,函数有最小值为f 1
4=4×1
4-ln 1
4=1+ln4=1+2ln2.故选A .
4.(2019江苏南京高三期中)定义在0,π
2的函数f (x )=8sin x-tan x 的最大值为 .
f (x )=8sin x-tan x ,
那么
f'(x )=8cos x-1
cos 2x
=
8cos 3x -1
cos 2x
, 令f'(x )=0,得cos x=12
.∵x ∈0,π2
,∴x=π3
.
当x ∈0,π3
时,f'(x )>0,函数f (x )在区间0,π3
上是增函数; 当x ∈
π3,π2时,f'(x )<0,函数f (x )在区间π3,π2上是减函数.
∴当
x=π
3时,函数f (x )取得最大值为3√3.
√3
5.若函数f (x )=x 3+x 2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a 的取值范围为 .
f'(x )=3x 2+2x-a ,
函数f (x )在区间(-1,1)上恰有一个极值点, 即f'(x )=0在(-1,1)内恰有一个根. 又函数f'(x )=3x 2+2x-a 的对称轴为x=-1
3,
∴应满足{
f '(-1)≤0,f '(1)>0,
∴{3-2-a ≤0,
3+2-a >0, ∴1≤a<5.
6.已知函数f (x )=a
2+2ln x ,若当a>0时,f (x )≥2恒成立,则实数a 的取值范围是 .
f (x )=a
2+2ln x ,得f'(x )=2(x 2-a )
3,又函数f (x )的定义域为(0,+∞),且a>0,
令f'(x )=0,得x=-√a (舍去)或x=√a .
当0<x<√a 时,f'(x )<0;当x>√a 时,f'(x )>0.
故x=√a 是函数f (x )的极小值点,也是最小值点,且f (√a )=ln a+1. 要使f (x )≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a ≥e .
+∞)
7.设f (x )=a ln x+1
2x +3
2x+1,其中a ∈R ,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值; (2)求函数f (x )的极值.
因为f (x )=a ln x+1
2x +3
2x+1,
故f'(x )=a x
−
12x 2
+32
.
由于曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12
+32
=0,解得a=-1.
(2)由(1),知f (x )=-ln x+1
2x +3
2x+1(x>0),
f'(x )=-1x −1
2x 2
+32
=
3x 2-2x -12x 2
=
(3x+1)(x -1)
2x 2
.令f'(x )=0,解得x 1=1,x 2=-1
3.
因为x 2=-1
3不在定义域内,舍去.
当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,故f (x )在(0,1)上为减函数;
当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(1,+∞)上为增函数.故f (x )在x=1处取得极小值,且f (1)=3. 8.(2020天津)已知函数f (x )=x 3+k ln x (k ∈R ),f'(x )为f (x )的导函数. (1)当k=6时,
①求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; ②求函数g (x )=f (x )-f'(x )+9
x 的单调区间和极值;
(2)当k ≥-3时,求证:对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)
2
>
f (x 1)-f (x 2)
x 1-x 2
.
当k=6时,f (x )=x 3+6ln x ,故f'(x )=3x 2+6
x .
可得f (1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.
②依题意,g (x )=x 3-3x 2+6ln x+3x ,x ∈(0,+∞).从而可得g'(x )=3x 2-6x+6x −3
x 2,整理可得
g'(x )=3(x -1)3(x+1)
x 2
.令g'(x )=0,解得x=1.
当x 变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:
所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.
f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+k
x
.
对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,
令x 1x 2
=t (t>1),则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]=(x 1-x 2)3x 12+k x 1
+3x 22
+k
x
2
-2x 13−x 23+k ln x
1
x 2
=x 13−x 23-3x 12x 2+3x 1x 22
+k
x 1
x 2
−
x 2x 1
-2k ln
x 1x 2
=x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1
t
-2ln t .
①
令h (x )=x-1
x
-2ln x ,x ∈[1,+∞).
当x>1时,h'(x )=1+1x 2−2
x =(1-1x )2
>0, 由此可得h (x )在[1,+∞)单调递增, 所以当t>1时,h (t )>h (1),即t-1t
-2ln t>0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t-1=(t-1)3>0,k ≥-3,
所以,x 23(t 3
-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t ≥(t 3-3t 2+3t-1)-3t-1t -2ln t =t 3-3t 2+6ln t+3
t -1.
② 由(1)②可知,当t>1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t+3t >1,故t 3-3t 2+6ln t+3t
-1>0. ③
由①②③可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]>0. 所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有
f '(x 1)+f '(x 2)
2
>
f (x 1)-f (x 2)
x 1-x 2
. 素养培优练
1.(2020全国Ⅰ)已知函数f (x )=e x +ax 2-x. (1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;
(2)当x ≥0时,f (x )≥1
2x 3+1,求a 的取值范围.
当a=1时,f (x )=e x +x 2-x ,f'(x )=e x +2x-1.
故当x ∈(-∞,0)时,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0. 所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f (x )≥1
2x 3+1等价于(1
2x 3-ax 2+x +1)e -x ≤1.
设函数g (x )=(1
2x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0), 则g'(x )=-1
2x 3-ax 2+x+1-3
2x 2+2ax-1e -x =-1
2x [x 2-(2a+3)x+4a+2]e -x =-12x (x-2a-1)(x-2)e -x .
①若2a+1≤0,即a ≤-1
2,则当x ∈(0,2)时,g'(x )>0.
所以g (x )在(0,2)上单调递增,而g (0)=1, 故当x ∈(0,2)时,g (x )>1,不合题意.
②若0<2a+1<2,即-12<a<1
2,则当x ∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x )<0;当x ∈(2a+1,2)时,g'(x )>0.所以
g (x )在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g (0)=1,
所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7-4a )e -2≤1,即a ≥7-e 2
4.
所以当7-e 24≤a<1
2时,g (x )≤1.
③若2a+1≥2,即a ≥1
2,则g (x )≤
12
x 3
+x+1e -x .
由于0∈
7-e 24,1
2
,
故由②可得1
2x 3+x+1e -x ≤1.故当a ≥1
2时,g (x )≤1. 综上,a 的取值范围是[
7-e 2
4
,+∞). 2.(2020云南保山高二月考)已知函数g (x )=x
,f (x )=g (x )-ax. (1)若函数f (x )在(1,+∞)上是减函数,求实数a 的最小值;
(2)若存在x 1,x 2∈[e,e 2],使f (x 1)≤f'(x 2)+a (a>0)成立,求实数a 的取值范围.
g (x ),f (x )的定义域均为(0,1)∪(1,+∞),且f (x )=x
-ax (a>0).
(1)函数g'(x )=
lnx -x ·1
x (lnx )
2
=
lnx -1(lnx )
2,
因为f (x )在(1,+∞)上为减函数,故f'(x )=lnx -1
(lnx )
2-a ≤0在(1,+∞)上恒成立.
所以当x ∈(1,+∞)时,f'(x )max ≤0. 又f'(x )=
lnx -1(lnx )
2-a=-1
lnx 2+
1lnx -a=-1lnx −12
2+14-a ,
故当
1lnx =12,即x=e 2时,f'(x )max =14
-a.
所以14
-a ≤0,于是a ≥14
,故a 的最小值为14
.
(2)命题“若存在x 1,x 2∈[e,e 2],使f (x 1)≤f'(x 2)+a 成立”等价于“当x ∈[e,e 2]时,有f (x )min ≤f'(x )max +a ”.由(1),知当x ∈[e,e 2]时,f'(x )max =1
4-a ,
∴f'(x )max +a=1
4.
问题等价于“当x ∈[e,e 2]时,有f (x )min ≤1
4”.
①当a ≥1
4时,由(1),f (x )在[e,e 2]上为减函数,
则
f (x )min =f (e 2)=
e
2
2
-a e 2≤14,故a ≥12−1
4e 2. ②当0<a<1
4时,由于f'(x )=-
1lnx −122+1
4
-a 在[e,e 2]上为增函数, 故f'(x )的值域为[f'(e),f'(e 2)],即[-a ,1
4
-a].
由f'(x )的单调性和值域知,存在唯一x 0∈(e,e 2),使f'(x 0)=0,且满足: 当x ∈(e,x 0)时,f'(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(x 0,e 2)时,f'(x )>0,f (x )为增函数;
所以,f (x )min =f (x 0)=x 0
lnx 0
-ax 0≤1
4,x 0∈(e,e 2).
所以,a ≥1lnx 0−14x 0
>1lne 2−14e >12−14=14,与0<a<14矛盾,不合题意.综上,得a ≥12−1
4e 2. 莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。