勾股定理最短路径问题-解析版--初中数学专题训练

利用勾股定理求最短路径问题
【考法导图】
解题技巧：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。

1◎类型1台阶中的最值问题
1(2017秋·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是()
A.12
B.13
C.14
D.15
【答案】B
【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．
【详解】将台阶展开，如下图，
因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以AB2=AC2+BC2=169，
所以AB=13(cm)，
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
2(2023·全国·九年级专题练习)一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程为()
A.481
B.25
C.30
D.35
【答案】B
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长AB．
由勾股定理得：AB2=202+2+3
×3
2=252，
解得：AB=25．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
3(2020·山东淄博·统考一模)地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？()
A.50cm
B.100cm
C.150cm
D.200cm
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，
则斜边=102+102=102，
∴长方形地毯的长为：10×102=1002≈141.4cm，
故选C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
4(2023春·八年级课时练习)如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为()
A.5
B.3
C.13
D.25
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=25，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
2◎类型2正方体中的最值问题
1(2023·江苏常州·校考一模)如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是()
A.3
B.2
C.5
D.3
【答案】C
【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，将正方体展开，则AC=2，BC=1，∠ACB=90°，
∴由勾股定理得AB=AC2+BC2=5，
∴需要爬行的最短路程是5，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．
2(2023秋·陕西西安·八年级统考期末)如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为()
A.10
B.213
C.13
D.25
【答案】C
【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出BM的长即可；
【解答】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，M是EH的中点，
∴∠Q=90°，MQ=2，BQ=1+2=3，
由勾股定理得BM=22+32=13，
故选：C．
【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线．3(2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习)如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是()
A.10cm
B.4cm
C.17cm
D.5cm
【答案】C
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，
【详解】解：如图，
它运动的最短路程AB=(2+2)2+
2
2
2=17(cm)，
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．
4(2023春·北京大兴·八年级北京市第八中学大兴分校校考阶段练习)如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为()
A.23
B.13
C.14
D.17
【答案】B
【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；
∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，
∴AD=2，MD=3，
∴AM=22+32=13，
故选：B．
【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．
3◎类型3长方体中的最值问题
1(2023春·全国·八年级专题练习)如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为()
A.3米
B.4米
C.5米
D.6米
【答案】C
【分析】分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可．
【详解】解：由题意，有以下三个路径：
①如图，路径一：
则这只昆虫爬行的路程为22+(2+3)2=29(米)；
②如图，路径二：
则这只昆虫爬行的路程为32+(2+2)2=5(米)；
③如图，路径三：
则这只昆虫爬行的路程为22+(3+2)2=29(米)；
因为29>5，
所以这只昆虫爬行的最短路程为5米，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键．
2(2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习)如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是()
A.12cm
B.74cm
C.80cm
D.90cm
【答案】B
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可.
【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=(3+4)2+52=74 cm；
如图2所示，(3+5)2+42=45cm，
如图3所示，32+(5+4)2=310cm，
∵74<45<310，
∴蚂蚁所行的最短路线为74cm.
【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题.
3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A 出发，沿棱柱外表面到C′点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是()
A.229cm
B.14cm
C.(213+4)cm
D.10cm
【答案】D
【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．
【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：
如图1中，AC =AB2+BC 2=42+102=116=229，
如图2中，AC =AC2+CC 2=82+62=10，
∵10<229，
∴爬行的最短路径是10cm．
故选:D
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．
4(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是()
A.130
B.126
C.10
D.86
【答案】C
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是8和6，
则所走的最短线段是82+62=10；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是11和3，
所以走的最短线段是112+32=130；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和5，
所以走的最短线段是92+52=106；
∵10<106<130，
三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程=10，
故选：C ．
【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．
4◎类型4圆柱(锥)中的最值问题
1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，圆柱的底面半径为6π
cm ，AC 是底面圆的直径，点P 是BC 上一点，且PC =4cm ，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是()
A.45cm
B.213cm
C.56cm
D.10cm
【答案】B
【分析】把圆柱侧面展开后，连接AP ．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出AP 的长．
【详解】侧面展开图如图所示：
∵圆柱的底面半径为6
cm，
π
∴圆柱的底面周长为12cm，
∴AC′=6cm．
在Rt△ACP中，AP=42+62=213(cm)．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现
了转化思想．
2(2022春·全国·八年级假期作业)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底
4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．
A.15
B.20
C.18
D.30
【答案】A
【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：
则DB=AD=4cm，
由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，
∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，
∴DE=DH-EH=12-4=8cm，
∴BE=DE+DB=8+4=12cm，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC=BE2+CE2=122+92=15cm，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm，
故选;：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上
一种重要的转化思想．
3(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离()
A.261cm
B.234cm
C.413cm
D.10cm
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：BC=10cm，AB=1
2
×12=6cm，CE=2cm，
∴BE=BC-CE=8cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AC=AB2+BE2=62+82=10cm，
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键．
4(2019·全国·八年级专题练习)如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长12m，高5m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要()
A.12m
B.13m
C.17m
D.20m
【答案】B
【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，利用勾股定理求出AB的长即可得到答案．
【详解】解：将圆柱形油罐的侧面展开如图所示，
由题意可知，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m，
∴由勾股定理可得：AB=AC2+BC2=52+122=169=13m，
∴梯子最短需要13m．
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到Rt△ABC中，这样就可利用“勾股定理”求出AB的长度，从而得到梯子的最短长度．。