2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷(文科)

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2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合{|23}A x x =-<<，{|11}B x x =-<，则(A B = )
A ．(2,3)-
B ．[1-，1)
C ．[1-，3)
D ．(2,1)-
2．（5分）设3122i
z i i
+=--，则z 的虚部是( ) A ．1-
B ．45
-
C ．2i -
D ．2-
3．（5分）已知sin20α>，则( ) A ．tan 0α>
B ．sin 0α>
C ．cos 0α>
D ．cos20α>
4．（5分）在数列{}n a 中，满足12a =，211(2,*)n n n a a a n n N -+=∈，n S 为{}n a 的前n 项和，若664a =，则7S 的值为( ) A ．126
B ．256
C ．255
D ．254
5．（5分）已知函数()f x 在区间[a ，]b 上的图象是连续不断的一条曲线，命题P ：总存在(,)c a b ∈，有f （c ）0=；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有f （a ）f （b ）0<，
则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图象如图，则
()()f x g x 的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（5分）已知双曲线22
221(0)x y b a a b
-=>>的中心为O ，其右顶点、右焦点分别是A 、F ，
若||
3||OF OA ，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．[3，)+∞
B ．(1,3)
C ．(2，3)
D ．(1，3]
8．（5分）某几何体截去两部分后的三视图如图所示，被截后的几何体的体积为( )
A ．
20
3
B ．
193
C ．3
D ．
233
9．（5分）已知函数sin ()x
f x x
=，在点(,0)π处的切线为L ，则切线L 的方程为( ) A ．0x y ππ+-=
B ．0x y ππ+-=
C ．0x y ππ--=
D ．20x y ππ--=
10．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732)≈，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )
A ．134
B ．67
C ．200
D ．250
11．（5分）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =-，则(1)0f x -<解集是( )
A ．(-∞，1)(2-⋃，3)
B ．(1-，0)(2⋃，3)
C．(2,3)D．(-∞，3)(0
-⋃，1)
12．（5分）在ABC
∆中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c
，且222
b c a
+=
，
2
bc=，则角C的大小是()
A．
6
π
或
2
3
π
B．
3
π
C．
2
3
π
D．
6
π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知
1
e，
2
e是互相垂直的单位向量，且
12
2
a e e
=-，
12
2
b e e
=+，则a与b的夹角的余弦值是．
14．（5分）设x、y满约束条件
20
1
70
x y
x
x y
-+
⎧
⎪
⎨
⎪+-
⎩
，则24
z x y
=-的最小值是．
15．（5分）已知ABC
∆中
5
6
A
π
=，则sin cos2
B B
+的最大值是．
16．（5分）已知直线y x a
=+与圆222
250(0)
x y ax a a
+-+-=>交于不同的两点A、B，若||23
AB，则a的取值范围是．
三、解答题：共70分解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤.17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.22题、23题为选考题，考生根据要求作答
17．（12分）已知等差数列{}
n
a中，首项
1
1
a=，公差d为整数，且满足
13
1
a a
+．
24
3
a a
+，
数列{}
n
b满足
1
1
n
n n
b
a a
+
=，其前n项和为
n
S．
（Ⅰ）求数列{}
n
a的通项公式；
（Ⅱ）若
1
S，
2
S，(*)
m
S m N
∈成等比数列，求m的值．
18．（12分）如图，在三棱锥PABC中，底面是边长为4的正三角形，PA⊥底面ABC，点E．F，
G分别为AC，PC，PB的中点，且异面直线AG和PC所成的角的大小为
3
π
．
()I求证：平面BEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥C ABF
-的体积．
19．（12分）郴州市某中学从甲，乙两个教师所教班的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[40，
50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．得到甲教师的频率
分布直方图，和乙教师的频数分布表：
()I在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；
（Ⅱ）从对乙教师的评分在[40，60)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[50，60)范围内的概率；
（Ⅲ）如果该校以学生对老师评分的中位数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为该年度该校优秀教师？（精确到0.1)
乙教师分数频数分布表
分数区间频
数
[40，50)3
[50，60)3
[60，70)15
[70，80)19
[80，90)35
[90，100]25
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(26．离心率为1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆C 的右焦点为F ，右顶点为A ，经过点F 的动直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为为1S 和2S ，求12||S S -的最大值． 21．（12分）已知函数2()(2)f x ax lnx a x =-+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间： （Ⅱ）若()0f x ，求a 的取值范围． [选修44：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线11的参数方程为1(2x t
t y t =-+⎧⎨
=-⎩
为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为2
3cos 4sin ρθθ
=+，两直
线1l 和2l 相交于点P ． （Ⅰ）求点P 的直角坐标：；
（Ⅱ）若Q 为圆2cos :(22sin x C y θ
θθ
=⎧⎨
=-+⎩为参数）上任意一点，试求||PQ 的范围． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|3||2|f x x x =--+ （Ⅰ）求函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若[2x ∃∈-，1]，使2()f x x a +成立，求a 的取值范围．
2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 【解答】解：{|23}{|11}{|11}[1A B x x x x x x =-<<-<=-<=-，1)．
故选：B ． 【解答】解：312(12)(2)522(2)(2)5
i i i i
z i i i i i i i i i +++=-=--=--=--=---+， 则z 的虚部为2-， 故选：D ．
【解答】解：sin22sin cos 0ααα=>，即sin cos 0αα>， sin α∴和cos α同号．
则sin tan 0cos α
αα
=
>． 故选：A ．
【解答】解：根据题意，数列{}n a 中，满足211n n n a a a -+=，则数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，
又由12a =，664a =， 则56
1
32a q a =
=，则2q =， 则7817(12)
2225412
a S -==-=-；
故选：D ．
【解答】解：根据零点存在定理，可得在区间[a ，]b 上的连续不断的函数()y f x =， 存在(,)c a b ∈，使f （c ）0=时，f （a ）f （b ）0<不一定成立； 若f （a ）f （b ）0<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上存在零点， 即存在(,)c a b ∈，使f （c ）0=． p ∴是q 的必要不充分条件．
故选：C ． 【解答】解：
()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，
()()f x g x ∴是奇函数，则图象关于原点对称，排除A ，B ，
当0x >时，()0f x >，()0g x >，则()()0f x g x >，排除D ， 故选：C ．
【解答】解：双曲线22
221(0)x y b a a b
-=>>的中心为O ，其右顶点、右焦点分别是A 、F ，
若||
3||OF OA ，
可得1
3e c a
>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得(1,3)e ∈．
故选：B ．
【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个棱长为2的正方体截去两个三棱锥，如图所示，
∴该几何体的体积11
1192222221123223
V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-
⨯⨯⨯=， 故选：B ．
【解答】解：函数sin ()x f x x =，2
cos sin ()x x x
f x x -'=， 1
()f ππ
'=-
，
可得：1
()y x ππ
=--，即0x y ππ+-=，
故选：B ．
【解答】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为12
3，
312，小正方形的面积2313()12S ==-
则
落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
3
132500(1500(10.866)5000.1345006711⨯=⨯≈-⨯=⨯=⨯，
【解答】解：
()f x 是奇函数，且0x >时，2()log (1)f x x =-；
∴设0x <，0x ->，则2()log (1)()f x x f x -=--=-；
2()log (1)f x x ∴=---；
∴①1x >时，2(1)log (2)f x x -=-；
解2log (2)0x -<得，23x <<； ②1x <时，2(1)log ()f x x -=--； 解2log ()0x --<得，1x <-；
(1)0f x ∴-<的解集是(-∞，1)(2-⋃，3)．
故选：A ．
【解答】解：由222b c a +=，得222b c a +-=，
则222cos 2b c a A bc +-===
， 则6
A π
=
，
由2bc =，得21sin sin 4B C A ==
即4sin()sin C A C π--=
即4sin()sin 4sin()sin 6C A C C C π
+=+=
即21
cos )sin 2sin cos 2
C C C C C C +=+=，
cos 2)sin 22sin 2C C C C -+=+
则sin 20C C +=，
2sin 2C C =，
则tan 2C = 即23
C π
=或
43
π
， 即6
C π
=
或
23
π，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
【解答】解：根据题意得，2
2
12121122(2)(2)2322020a b e e e e e e e e =-+=+-=+-=
∴a 与b 夹角为
2
π 故答案为：0．
【解答】解：由x 、y 满约束条件20170x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩
作出可行域如图，
联立170x x y =⎧⎨+-=⎩
，解得(1,6)A ，
化目标函数24z x y =-为124
z
y x =-， 由图可得，当直线124
z
y x =
-过点(1,6)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为22-． 故答案为：22-．
【解答】解：ABC ∆中，56
A π=， (0,)6
B π
∴∈，
2219
sin cos2sin 12sin 2(sin )48B B B B B ∴+=+-=--+，
又1
sin (0,)2
B ∈，
当1sin 4B =
时，sin cos2B B +取得最大值是98
．
故答案为：98
． 【解答】解：圆222250x y ax a +-+-=化为22()5x a y -+=，圆心为(,0)a
，半径r =，
||23AB ， 故弦心距22d =，
||
22a a +<1012a
<
． 故答案为：[1． 三、解答题：共70分解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤.17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.22题、23题为选考题，考生根据要求作答
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{}n a 中，首项11a =，公差d 为整数，
且满足131a a +．243a a +，可得21d ，且23d ，
即1322
d ，由d 为整数，可得1d =， 则11n a n n =+-=；
（Ⅱ）11111(1)1n n n b a a n n n n +===-++， 则11111111223111
n n S n n n n =-+-+⋯+-=-=+++， 1S ，2S ，(*)m S m N ∈成等比数列， 可得212m S S S =， 即14219
m m =+， 解得8m =．
【解答】证明：（Ⅰ）
AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥，
BE AC ∴⊥， 又PA 上平面ABC ，BE ⊂面ABC ，PA BE ∴⊥，
PA AC A =，BE ∴⊥面PAC ，
BE ⊂面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ．
解：（Ⅱ）取BC 的中点H ，连结CH ，AH ，
ABC ∆为正三角，PA ⊥底面ABC ，PB PC ∴=， H ，G 分别BC ，PB 的中点， 12AG PB ∴=，12GH PC =，GA GH =， 又异面直线AG 和PC 所成的角的大小为
3π， 3AGH π
∴∠=，
AGH ∴∆为正三角形，23AG GH AH ===，43PC ∴=， 又4AC =，42PA ∴=，
1116642342323
P ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯=， 12
EF PA =，∴三棱锥C ABF -的体积为863．
【解答】解：（Ⅰ）由甲教师分数的频率分布直方图，得： (0.0040.0220.0280.0220.018)101a +++++⨯=， 解得0.006a =．
对甲教师的评分低于70分的频率为：
(0.0040.0060.022)100.32++⨯=，
∴对甲教师的评分低于70的人数为：1000.3232⨯=． （Ⅱ）对乙教师的评分在[40，50)范围内的有3人，对乙教师的评分在[50，60)范围内的
有3人，
从这6人中随机选出2人的选法为：2615n C ==，
2人评分均在[50，60)范围内的选法为：2
33m C ==，
2∴人评分均在[50，60)范围内的概率31
155m p n ===．
（Ⅲ）由甲教师分数的频率分布直方图得： (0.040.060.022)100.320.5++⨯=<， 设甲教师评分的中位数为x ，则： 0.32(70)0.0280.5x +-⨯=，解得76.4x =． 由乙教师的频数分布表，得：
0.030.030.150.190.40.5+++=<， 设乙教师评分的中位数为t ，则：
0.4(80)0.0350.5t +-⨯=，解得82.9t =， ∴乙教师可评为该年度该校优秀教师．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得22222
461
412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得2a =
，b 1c
=， ∴椭圆C 的标准方程为22
143x y +=， （Ⅱ）直线l 方程为：1x my =+， 联立C 得22(34)690m y my ++-=， 设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，1(0y >，20)y <， 则122643m y y m +=-+，1229
43y y m =+，
当0m =时，显然12||0S S -=；
当0m ≠时
，
1212122116||66|||22()|||4
2234
43||23||||||
m S S y y y y m m m m m -=--=+===
++ 当且仅当4
3||||m m =，即m =时取等号，
综合得m =时，12||S S - 【解答】解：（Ⅰ）()f x 的定义域是(0,)+∞， (21)(1)()x ax f x x
+-'=， ①0a 时，()0f x '<，()f x 递减， ②0a >时，令()0f x '=，解得：1x a
=， 故()f x 在1(0,)a 递减，在1(a
，)+∞递增， 综上，0a 时，()f x 在(0,)+∞递减，
0a >时，()f x 在1(0,)a 递减，在1(a
，)+∞递增； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a 时，()f x 在(0,)+∞递减， 而f （1）220a =-<，()0f x 不恒成立，
0a >时，()f x 在1(0,)a 递减，在1(a
，)+∞递增； 故11()()1min f x f lna a a
==-+， 由题意，只需1()0f a
， 令1()1g x lnx x =-+，则211()0g x x x '=+>， 故()g x 在(0,)+∞递增， 而g （1）0=，故1x >时，()0g x >， 当1x <时，()0g x <，
故1a 时，1()()0min f x f a =， 故若()0f x ，则a 的范围是[1，)+∞．
[选修44：坐标系与参数方程]
【解答】解：（Ⅰ）直线11的参数方程为1(2x t t y t =-+⎧⎨=-⎩
为参数）， ∴直线1l 的直角坐标方程为220x y ++=，
直线2l 的极坐标方程为23cos 4sin ρθθ=+， ∴直线2l 的直角坐标方程为3420x y +-=，
联立方程组3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得22x y =-⎧⎨=⎩
， ∴点P 的直角坐标(2,2)-． （Ⅱ）圆2cos :(22sin x C y θθθ
=⎧⎨=-+⎩为参数）， ∴圆C 的普通方程为22(2)4x y ++=， ∴圆心(0,2)C -，其半径2r =，
||||2max PQ PC r ∴=+=，
||||2min PQ PC r =-=，
||PQ ∴
的范围是2
，2]．
[选修4-5：不等式选讲]
【解答】解：（Ⅰ）由题意得5,3()21,235,2x f x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-⎩
， 当23x -<<时，5215x -<-+<， 故()f x 的值域是[5-，5]； （Ⅱ）21x -， 2()f x x a ∴+化为221x x a -++， 故存在[2x ∈-，1]，使得221a x x --+成立， 令2()21g x x x =--+，[2x ∈-，1]， 得2()(1)2g x x =-++， 故1x =-时，()2max g x =， 故(a ∈-∞，2]．。