高中数学选择性必修二 第五章 --复习与小结 -A基础练(含答案)

第五章 复习与小结 -A 基础练
一、 选择题
1．（2021·福建莆田一中高二期末）设曲线1
1
x y x +=-在点(32)，
处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．
12
C ．12
-
D ．2-
【答案】D
【详解】3
2221(1)221
,|(1)(1)(31)2
x x x y y x x =--+=
=-=-=----'',直线10ax y ++=的斜率为-a.所以a=-2, 故选D
2．（2021·湖北黄石高二期末）若f(x)=2
1ln(2)2
x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[-1，+∞] B ．（-1，+∞）
C ．（-∞，-1]
D ．（-∞，-1）
【答案】C
【解析】由题意可知()02
b
f x x x +
'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．
3．（2021·广东湛江高二期末）设a R ∈，若函数3ax
y e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．1
3
a >-
D ．13
a <-
【答案】B
【解析】设3ax y e x =+，则()3ax
f x ae =+'，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点．
即()30ax f x ae =+='有正根，当有()30ax
f x ae =+='成立时，显然有0a <，
此时13
ln()x a a
=
-．由0x >，得参数a 的范围为3a <-．故选B ．
4．（2021·陕西宝鸡高二期末）已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )
【答案】A
【解析】因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，所以()f x x ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
′＝
2'()()xf x f x x -≤22()f x x -≤0， 则函数
()f x x 在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a <b ，则()()f a f b a b
≥，即af (b )≤bf (a )
5．（多选题）（2020·江苏南通市高二期中）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，
其中某语言通讯的传递可以用函数()cos5cos9cos 59x x f x x
=++近似模拟其信号，则下列结论中正确
的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x 的图象关于点π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C ．对任意x ∈R ，都有()()πf x f x '-=' D ．函数()f x '的最小值为-3
【答案】BCD
【详解】A.因为cos5cos9cos ,,59x x y x y y ==
=的周期分别是222,,59
ππ
π，其最小公倍数为2π，所
以函数函数()f x 的最小正周期为2π，故错误；
B.因为 ()()
()()
592222cos cos cos 059
f ππ
ππ--++-==-，故正确；
C. ()()sin sin 5sin 9f x x x f x x π=--'-='-，故正确；
D. ()
59sin sin 2sin 3
222
f ππππ=---=-',故正确；故选：BCD
6．（多选题）（2021·山东泰安一中高二期末）已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中正确的是（ ）
A ．∃0x R ∈, f(0x )=0
B ．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C ．若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, 0x ）单调递减
D ．若0x 是f （x ）的极值点，则 f '(0x )=0 【答案】ABD
【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x 轴，即一定∃x 0∈R ，f(x 0)＝0，选项A 中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x ＋m)3＋n(x ＋m)＋h 的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y ＝x 3＋nx 的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B 中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x 1，x 2，则极小值点x 2＞x 1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C 中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D 中的结论正确. 二、 填空题
7．（2018·全国高考）曲线()1e x
y ax =+在点()01，
处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3-
【详解】解：()y 1x
x
ae ax e =++'则()f 012a =+=-'，所以3a =-故答案为-3.
8．（2021·湖南郴州市高二期末）已知函数32
1()23
f x x x =+-在区间(2,3)a a -+上存在最小值，则a 的取值范围为_______． 【答案】12a -≤<
【详解】()()2
22f x x x x x '=+=+，()0f x '=时，2x =-或0x =，
当2x <-或0x >时，()0f x '>，当20x -<<时，()0f x '<，
所以函数的单调递增区间是(),2-∞-和()0,∞+，函数的单调递减区间是()2,0-， 所以函数的极大值点是2-，极小值点是0，且()02f =-，
那么当
3
21223
x x +-=-，解得：0x =或3x =- 所以函数在区间()2,3a a -+上存在最小值，
则320
30a a -≤-<⎧⎨
+>⎩
，解得：12a -≤<.
9．（2020·江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知3(
0)2
P ，，A ，B 是圆C ：2
21()362x y +-=上
的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 【答案】105
【详解】
PA PB PC AB =∴⊥
设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231
||=236,||144
AB d PC -=
+= 所以2221
2361)(36)(1)2
PAB
S
d d d d ≤⋅-+=-+令2
2
2
(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '
≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB
S
取最大值
为105
10．（2021·福州三中高二期末）设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整
数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是________．
【答案】3,12e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
【详解】设()()21x
g x e
x =-，()1y a x =-，
由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当1
2
x >-时，()0g x '>.
所以，函数()y g x =的最小值为1
2122g e -⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒
过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()3
1g a a e -=-≥--，解得3
12a e
≤<，故选D. 三、 解答题
11．（2021·北京大兴高二期末）已知函数()e cos x f x x x =-．
（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 在区间π
[0,]2
上的最大值和最小值．
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式
00y f f x 中即可；（2）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()
h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（1）因为()e cos x
f x x x =-，所以()()()e
cos sin 1,00x
f x x x f -''=-=.
又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为1y =. （2）设()()e
cos sin 1x
h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.
当π0,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减.
所以对任意π0,
2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上单调递减.
因此()f x 在区间π0,2⎡
⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ
⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
12．（2021·天津静海中学高二期末）设函数()3
2
.f x x ax bx c =+++
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；
（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）求证：230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
【解析】试题分析：（1）求函数f （x ）的导数，根据()0f c =，()0f b '=求切线方程； （2）根据导函数判断函数f （x ）的单调性，由函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（1）由()3
2
f x x ax bx c =+++，得()2
32f x x ax b =++'．
因为()0f c =，()0f b '=，
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为y bx c =+．
（2）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2
384f x x x '=++．
令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23
x =-
． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：
所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭，
32,03x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，使得()()()1230f x f x f x ===．
由()f x 的单调性知，当且仅当320,
27c ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，函数()32
44f x x x x c =+++有三个不同零点． （3）当24120a b ∆=-<时，()2
320f x x ax b =++>'，(),x ∈-∞+∞， 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()2
32f x x ax b =++'只有一个零点，记作0x ．
当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．
当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()2
32442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以
230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．
因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．。