福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二上学期期中
考试数学试卷
一、单选题
1．已知直线
1l ：330x y -+=与2l ：30x y C -+=，则C =（）
A ．13
B ．13或−7
C ．7
D ．7或13
-2．方程222220x y ax y a a ++-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（
）
A ．1a
B ．1a <
C ．1a >
D ．01
a <<3．已知空间向量()()1,1,2,1,2,1a
b =-=- ，则向量a
在向量b 上的投影向量是（
）
A ．()1,1,1-
B ．555,,663⎛⎫
- ⎝⎭
C ．555,,636⎛⎫- ⎪
⎝⎭D ．111,,424⎛⎫- ⎪
⎝⎭
410=的化简结果是（
）
A ．22
1
53
x y +=B ．22
1
35
x y +=C ．22
1
259x y +=D ．22
1
925
x y +=5．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为11B C ，BC 的中点，则异面直线AQ 与BP 所成角的余弦值是（）
A ．
1
5
B ．
25
C ．
110
D 6．在三棱锥S ABC -中，点
E ，
F 分别是,SA BC 的中点，点
G 在棱EF 上，且满足1
3
EG EF =，若,,SA a SB b SC c === ，则AG =
（
）
A ．111326a b c -+
B ．211366
a b c -++
C ．111632
a b c
-+ D ．111362
a b c --+
7．设m ∈R ，22:260M x y x y +--= ．若动直线1:20l x my m +--=与M 交于点A ，C ，动直线2210:mx y l m --+=与M 交于点B ，D ，则AC BD +的最大值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．8．设椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，
且满足0FA FB ⋅=
，3FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（
）
A ．⎫
⎪⎪⎣⎭
B ．⎣
⎦C ．1⎤
⎥⎣⎦
D ．)
1,1
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A ．直线()32R y ax a a =-+∈必过定点()3,2
B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2
C 10y ++=的倾斜角为60°
D ．过点()1,2-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20
x y +=10．已知圆221:230O x y x +--=和圆22
2:210O x y y +--=交于,A B 两点，则（
）
A ．两圆的圆心距122O O =
B ．直线AB 的方程为10x y -+=
C ．AB =
D ．圆
1O 上的点到直线AB 的最大距离为211．如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱ABF DCE -组合而成，AB AF ⊥，4AB AD AF ===，G 是 CD
上的动点.则（）
A ．G 为 CD
的中点时，平面EFBC ⊥平面BCG B ．G 为 CD
的中点时，//BF 平面ADG C ．P 是ED 所在直线的动点，则FP PG -
的最大值为2+D ．存在点G ，使得直线CF 与平面BCG 所成的角为60︒
三、填空题
12．已知直线l 1：10ax y ++=与l 2：210x by --=相交于点(1,1)M ，则a b +=
．
13．已知直线220kx y -+=与椭圆221(0)9x y
m m
+=>恒有公共点，则实数m 的取值范围
为.
14．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线
段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为
．
四、解答题
15．已知(1,4,2),(2,2,4)a b =-=-
．(1)若()(3)ka b a b +⊥-
，求实数k 的值；(2)若12
c b =
，求cos ,a c 〈〉 的值．
16．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为()2,0F -，点F 到短袖的一个端点的距离
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅>-
，求k 的取值范围.
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，1AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.
(1)求点B 到平面MNC 的距离；
(2)求直线MB 与平面BNC 所成角的余弦值.
18．在平面直角坐标系中，圆M 为过点(()()1,,2,2,4,0A B C 的圆．(1)求圆M 的标准方程：
(2)过点()1,0D 作直线1l ，交圆M 于P Q ､两点，P Q ､不在x 轴上．
①过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的取值范围：
②设直线,OP CQ 相交于点G ，试讨论点G 是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理由．
19．在ABC V 中，90ABC ∠=︒，6AB =，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，2AD DB =.平面α过直线AB ，且与ABC V 所在的平面垂直.(1)求直线CD 与平面α所成角的大小；
(2)设点E α∈，且30ECD ∠=︒，记E 的轨迹为曲线Γ.（i ）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii ）不与直线AB 重合的直线l 过点D 且交Γ于P ，Q 两点，试问：在平面α内是否存在定点T ，使得无论l 绕点D 如何转动，总有PTC QTC ∠=∠？若存在，指出点T 的位置；若不存在，说明理由.。