阶跃响应、冲激响应和卷积积分

清华大学电机系电路原理教学组
第9章阶跃响应、冲激响应
和卷积积分的应用
9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点
9.4 电路在任意激励作用下的零状态
响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变
9.2 阶跃响应9.3 冲激响应
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•阶跃响应和冲激响应 本章重点
•阶跃函数和冲激函数•卷积积分
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•电容电压和电感电流的跃变
清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数
一、单位阶跃函数（unit step function ）
1. 定义
t
ε(t )
10
()t ε用可描述开关的动作。

+–
u C U S ε(t )
R
C
def
0 (0)() 1 (0)
t t t ε<⎧=⎨
>⎩def S S 0 (0)() (0)
t U t U t ε<⎧=⎨
>⎩U S
S
+–
u C R C
开关在t =0 时闭合
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2. 延迟的单位阶跃函数
t
ε(t-t 0)
t 0
def
0000 ()() 1 ()
t t t t t t ε<⎧−=⎨
>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号
U S
S
+–
u C R
C
开关在t =t 0时闭合
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0()()()
f t t t t εε=−−t 0
t
-ε(t -t 0)
ε(t )0
f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。

例1⎩⎨
⎧><<<=)
, 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0
t
f (t )0
试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。

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()[()(1)](1)
f t t t t t εεε=−−+−1
1t
1t
1f (t )
例2试用阶跃函数表示图示的波形。

解f (t ) 分成两段表示。

1t
10
1
t
1
+
(0< t <1)
()[()(1)]
f t t t t εε=−−(1< t )()(1)
f t t ε=−则
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二、单位冲激函数（unit pulse function ）
1. 单位脉冲函数
1
()[()()]
p t t t εεΔΔ
=
−−0
lim ()()
p t t Δδ→=令1
ΔΔ
→→∞面积不变
Δ
1/Δ
t
p (t )
0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。

def
1 (0)()0 (0,)
t p t t t ΔΔ
Δ⎧<<⎪=⎨⎪<>⎩Δ/22/Δ清华大学电机系电路原理教学组
2. 单位冲激函数的定义
∫+−
=0
1
d )(δt t t
δ(t )
0符号
k δ(t )
脉冲强度为k 的冲激函数
t
k δ(t )0
()d k t t k
δ∞−∞
=∫
0 (0)
()0 (0)
t k t t δ<⎧=⎨
>⎩0 (0)
()0 (0)
t t t δ<⎧=⎨
>⎩()d 1
t t δ∞−∞
=∫
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S 0 (0) (0)
()
t U u t t E t τττ<⎧⎪⎪
=<<⎨⎪>⎪⎩S
u u C =t
u
C i C
C d d =u S
t
U
τ
例
讨论电路中u C ，i C 的变化情况
解
+-
C
+-
i C u S
u C 清华大学电机系电路原理教学组
τ[()()]
C CU
i t t εεττ
=
−−d C i t q CU
+∞−∞
==∫
τ当τ→0，u C →U ε(t )
i C →CU δ(t ) u C
t
U
i C
t
CU δ(t )
q 不变。

i C
t
τ
CU
τ
u C t
U
τ
，q 不变
当τ
清华大学电机系电路原理教学组则
i = CU S δ(t )
t = 0时合S
)
0()0(−+≠C C u u 0
)0(=−C u ξξd )(1)0()0(00∫+
−
+
=−+i C u u C C = U S 000()0 ()()d 1t t t t t t t δδ∞
−∞
−=≠⎧⎪⎨−=⎪⎩∫t
δ(t-t 0)
t 0
3. 延迟单位冲激函数δ(t-t 0)
S
+
–
u C
U S
C
i
特例
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4.δ函数的筛分性质
()()d f t t t δ∞−∞
∫
00()()d ()
f t t t t f t δ∞−∞
−=∫
同理有
f (0)δ(t )
(0)()d (0)
f t t f δ∞
−∞==∫条件：f (t )在t 0 处连续。

设函数f (t ) 在t = 0 处连续，则
清华大学电机系电路原理教学组三、ε(t )和δ(t )的关系0 (0)
()d 1 (0)
t t t t t δ−∞
<⎧=⎨
>⎩∫
=ε(t )
d ()
()d t t t
εδ=t
ε(t )
1t
δ(t )
(1)0
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阶跃响应（step response ）：阶跃函数激励下电路中产生的
零状态响应。

9.2 阶跃响应
单位阶跃响应（unit step response ）：单位阶跃函数激励下
电路中产生的零状态响应。

阶跃响应的求解：阶跃激励在某一特定时刻（例如作用于
零初始储能的电路，相当于从这一时刻开始，有一直流电压源（或电流源）作用于该电路。

求解该电路相当于求直流激励作用下的零状态响应。

清华大学电机系电路原理教学组 ()(1e
)()
t RC
C u t t ε−=− 1()e ()t
RC i t t R
ε−=
注意
e ()t R C
i t ε−=和
e (0)t RC
i
t −=>的区别。

t
R
1i
i C
+–
u C R u C (0-)=0
)
(t εu C
t
10
一、一阶电路的阶跃响应
以下图RC 电路为例。

t >0时，可用三要素法得到其解。

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t
若激励在t = t 0 时加入，则响应从t = t 0开始。

t -t 0
1e RC
C i R
ε−=
(t -t 0)
i C R
1t 0
注意1e RC
R
ε−t
(t -t 0)不要写为
f (t )f (t )ε(t )f (t )ε(t-t 0)
t 0
f (t-t 0)ε(t-t 0)
ε(t -t 0)
C
+–
u C R
t
t
f (t )ε(t )
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S [10()10(0.5)]V u t t εε=−−解
10k Ω10k Ω+
-
i C 1
100μF u C (0-)=0
10()V
t ε10(0.5)V
t ε−−10k Ω
10k Ω+
-i C 2
100μF
u C
(0-)=0
由叠加定理有
例求图示电路中电流i C (t )
10k Ω10k Ωu S
+-i C
100μF
u C (0-)=0
0.5
10
t /s
u S /V
等效
s
5.010********=×××==−−RC τ2(0.5)2e (0.5)
mA t C i t ε−−=−−21e () mA
t C i t ε−=22(0.5)e ()e (0.5) mA
t t C i t t εε−−−=−−5k Ω
+-
i C 2
100μF
u C (0-)=05()
t ε10k Ω
10k Ω
+-
i C 1
100μF
u C (0-)=0
10()
t ε由线性、齐次和时不变性质，得)
5.0(10−−t ε10k Ω
10k Ω+
-i C
100μF
u C (0-)=0
清华大学电机系电路原理教学组分段表示为
⎩⎨⎧><<=−s)0.5( mA 0.632e
-s)5.0(0 mA e )(5)
0.2(2t t t i t t --t /s
i/mA
01-0.632
0.5
波形
0.368
22(0.5)e ()e (0.5) mA t t C i t t εε−−−=−−222(0.5)
e [()(0.5)][e
e
](0.5)
t
t
t C i t t t εεε−−−−=−−+−−212(0.5)e [()(0.5)](e 1)e (0.5)t t t t t εεε−−−−=−−+−−22(0.5)
e [()(0.5)]0.632e
(0.5)mA
t t t t t εεε−−−=−−−−也可用时间分段形式表示
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二、二阶电路的阶跃响应
已知u C (0-)=0 ，i (0-)=0以u C 为变量微分方程为
2d d
()d d C C C u u
LC RC u t t t
ε++=R
L C
+-
u C
i +
-
()
t ε以RLC 串联电路为例讨论。

二阶常系数非齐次微分方程。

上述微分方程等价于：
2d d 1 (0)d d C C C u u
LC
RC u t t t
++=>121212(1e e )() ()
p t p t C u A A t p p ε=++≠ 1212(1e e )() ( )
t t C u A A t t p p ααεα−−=++==−1,2[1e sin()]() (j )
t C u A t t p αωβεαω−=++=−±222
1,20
1()22R R p L L
LC ααω=−
±−=−±−特征根为按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不同形式，u C 解答可表示为过阻尼情况
临界阻尼情况
欠阻尼情况
0(0)
d d C C
t u u t
+
=⎧⎪
⎨⎪⎩
由起始值可确定二个待定系数。

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9.3 冲激响应
零状态
h (t )
()
t δ冲激响应（impulse response ）：电路在冲激激励作用下
的的零状态响应。

()0 (0)()d 1t t t t δδ∞
−∞
=≠⎧⎪⎨=⎪⎩∫方法一：分两个时间段来考虑（1）t 在0-～0+；（2）t > 0+。

分析冲激响应时，时间范围为0−到t 。

t
()
t δ0清华大学电机系电路原理教学组
（1）t 在0-～0+ 间
()
C i t δ=00
Δd 1
C q i t +
−==∫C
u C q u C C 1)0(Δ)0(=+=
−+（2）t > 0+零输入响应。

i C i S
R C +u C
−
()
t δ例1
(0)0C u −
=。

已知：求：i S (t )为单位冲激时电路的响应u C (t )和i C (t )。

定性分析
u C (0)=0，电容相当于短路
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1
)]0()0([=−−+C C u u C （2）t > 0+ RC 放电
e 1 RC t
C C
u −=
e 1 RC
t
C C RC
R u i −−=
−=C
C u u C C 1
1)0()0(=+
=−+C
u C 1)0(=
+i C
R
C
+u C
−
（1）t 在0-～0+ 间
解u C 不是冲激，仅是有限的跳变。

d ()d C C u u
C t t R δ+==1
=0000000d d d ()d d C
C u u C
t t t t
t R
δ+
++−
−−+=∫
∫∫
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t/s
u C /V
C
10
冲激响应为
1e ()t
RC C u t C
ε−=
1()e ()t
RC
C i t t RC
δε−=−
t/s
i C /A
RC
1−()
t δ0清华大学电机系电路原理教学组
d ()d i
Ri L t t
δ+=0000
0d d d ()d d i
Ri t L
t t t
t
δ+
+
+−
−−+=∫
∫∫1
d 0
0=∫
+
−
i L L
L i i L L 1
1)0()0(=
+=−
+
（1）t 在0-~0+间
定性分析
()
L u t δ=1
d Δ00
==∫+
−ξψL u L
i L i L L 1
)0(Δ)0(=+=
−+ψ例2
(0)0L i −
=。

已知求u S 为单位冲激时的电路响应i L (t )和u L (t )。

解=1
=0
i 不是冲激，
仅是有限的跳变R
L +-i L u S ()
t δ+-
u L 清华大学电机系电路原理教学组
（2）t > 0+ RL 放电
R
L =
τ 1e ()
t
L i t L
τε−= ()e ()t
L R u t t L
τδε−=−
t
i L
L
1L
i L 1
)0(=
+τ
t
L L
i e 1−=τ
t
L L L
R R i u
e −−=−=t
u L )
(δt L
R −0
L
i L R +-u L 冲激响应为
（1）t 在0-~0+间
S ()C u t i R R δ==
（2）t > 0+ RC 放电
RC
u C 1)0(=
+ 1e t
RC
C u RC
−=
001()
1
(0)(0)d C C t u u t C
R
RC
δ+
−
+−=+
=
∫
21e t
C RC
C u i R R C
−−=−=0
)0(=−
C u 例3已知：求：u S 为单位冲激时电路响应i C (t )和u C (t )。

i C R
C
+u C -
+
-i C
R
u S ()
t δ+u C -
解电容短路
1
e ()t R C C u t R C
ε−=
2()
1e ()
t R C
C t i t R
R C
δε−=
−
冲激响应为
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方法二: 利用阶跃响应求冲激响应。

零状态
h (t )
()
t δ零状态
s (t )
()t εd ()()d t t t
εδ=
)
(d d )(t s t
t h =1
1
()()()
f t εt εt ΔΔ
Δ
=
−
−1
()
s t Δ
1
()
s t ΔΔ
−01
()[()()]lim h t s t s t ΔΔΔ
→=−−)
(d d t s t =Δ
1
Δ
f (t )
t
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求冲激响应。

已知单位阶跃响应
(1e
)()
t RC
C u t ε−=−
1e
()
t RC
C i t R
ε−= d
[(1e )()]d t RC C u t t
ε−=
− 1e ()(1e )()t t
RC
RC t t RC
εδ−−=+−)(εe 1 t RC
RC
t
−=
)](εe 1[d d
t R
t i RC t
C −= 211e ()e ()
t t
RC RC t t R C R εδ−−=−+ 211()e ()t
RC t t R R C
δε−=
−0)0(=−C u 例
+
-i C
R
u S
()
t δ+u C -
解
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9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应
——卷积积分
一、卷积积分（convolution ）定义
设
f 1(t ) , f 2(t )在t < 0时均为零
τ
ττd )()()(*)(20
121−=∫t f f t f t f t 性质1
)
(*)()(*)(1221t f t f t f t f =应用：求任意波形激励下的零状态响应。

e (t )
r (t )零状态线性网络
()
t δh (t )
)
(*)()(t h t e t r =清华大学电机系电路原理教学组
τ
ττd )()()(*)(20121−=∫t f f t f t f t
)
d )(()(0
21ξξξ∫−−=t f t f ∫−=t
f t f 0
21d )()(ξξξ证明)
(*)(12t f t f =令ξ= t -ττ：0t ξ: t 0
性质2
()*()()*()()()d f t t t f t f t δδδτττ
∞
−∞
==−∫筛分性
=f ( t )
000()*()()*()()
f t t t t t f t f t t δδ−=−=−二、卷积积分的物理解释
t
)
(t e e (0)
将e (t )在作用时间0~ t 内划分为n 等分，
每个间隔为τΔ清华大学电机系电路原理教学组
单位脉冲函数的延时
t
)
(t e e (0)
Δτ2Δτk Δτ(k +1)Δτ
()(0)[ε()(Δ)](Δ)[(Δ)(2Δ)] e t e t t e t t εττετετ≈−−+−−−+"
1
(Δ)
[(Δ)((1)Δ)]ΔΔn
k e k t k t k τετετττ
==−−−+∑0(Δ)[(Δ)((1)Δ)]
n
k e k t k t k τετετ==−−−+∑清华大学电机系电路原理教学组
第1个矩形脉冲τ
τ
Δ)()0(Δ)()0(t h e t p e p →若单位脉冲函数p (t ) 的响应为h p (t )
第k 个矩形脉冲
τ
τττ
ττΔ)Δ()Δ(Δ)Δ()Δ(k t h k e k t p k e p −→−0
(Δ)(Δ)Δn
k e k p t k τττ
==−∑#
τ
ττΔ)Δ()Δ()(0
k t p k e t e n
k −≈∑=激励
#
响应τ
ττΔ)Δ()Δ()(0
k t h k e t r p n
k −≈∑=清华大学电机系电路原理教学组脉冲响应
∫−=t
t h e t r 0
d )()()(τ
ττ∑=∞
→−=0
Δ)Δ()Δ(lim )(k p k k t h k e t r τ
ττ响应
脉冲函数
τ
ττΔ)Δ()Δ(lim )(0
k t p k e t e k k −=∑=∞
→激励)
(δτ−t 冲激函数
)
(τ−t h 冲激响应
积分
τ
τττ→→∞→Δ ,Δ ,k d n 当卷积积分------叠加积分
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τ
ττd )()()(*)(20
121−=∫t f f t f t f t
被积函数
积分变量
参变量三、卷积积分的图解说明
f 2(-τ)
1
τ
)
(*)(21t f t f 求f 1(t )
2
1
t
f 2(t )
1
t
f 1(τ)
2
1
τ
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1
t ′
t ′
t ′
卷
移
乘积
f 2(τ)
1
τ
f 2(t -τ)
1
0t τ1f 1(τ) f 2(t -τ)
02
τ
f 2(-τ)
1
τ
f 1(τ)
2
1
τ
t
t f 1(t )* f 2(t )
t 1t
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t
t t t f t f −−−=e *)]1(ε)(ε[2)(*)(21由图解过程确定积分上下限
1τ
2
01e -(-τ)
t
1
)(0=<t f t t
t
t t f t −−−−==≤≤∫e 22d e 2)(100
)(ττt
t t t f t −−−−−−==≥∫e 2e 2d e 2)(1
)1(10
)(ττt
)(0
=<t f t t
t
t f t −−−==≤≤∫e 22d e 2)(1
00ττt
t t
t t f t −−−−−−==≥∫e 2e 2d e 2)(1
)1(1
ττ
t
t -1
t 0
102
τ
-1
1
e -τ
法二
e -(t -τ)
t
t t
t 法一清华大学电机系电路原理教学组
解先求该电路的冲激响应h (t )
u C (∞)=0
V
)(e 1000)(2t t h t ε−=∴s
5.010*******=××==−RC τ∫
+
−=
+00
S
d 1)0(t i C
u C 例1.
已知：R =500 k Ω, C =1 μF , u C
(0−)=0
求：u C (t )。

mA )(e 2S t i t ε−=∫
+−
=00d )(1
t t C
δV 1000103
==
−C
mA )(S t i δ=i C R
i S
C
+−
u C 四、应用举例清华大学电机系电路原理教学组
再由卷积积分计算当i S =2e −t ε(t ) mA 时的响应u C ( t ):
τ
ττd )()()(*)()(0
−==∫t h i t h t i t u t
S S C V
)()e e (20002t t t ε−−−=∫
−−−×=
t t d 0
)(2e 1000e 2τ
ττ∫−==−−t t t t 0
22)
1e (e 2000d e e 2000ττ清华大学电机系电路原理教学组
r (t )=i S *h (t )=h (t )*i S 此卷积积分需分段进行
)(0=<t r t 例2 已知线性网络冲激响应为h (t )，
求此网络激励为图示i S 时的零状态响应。

h(t)
2
3
t t
−e 20
t
i S
4
2i s (t )
零状态线性网络
h (t )
τ
i S
42−3
2
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∫−−=t
t t r 0
)(d 4e 2)(τ
τ)e 1(8t −−=0<t < 2
2 < t < 3
∫−−=2
0)(d 4e 2)(τ
τt t r )
1e (e 82−=−t 3 <t < 5
∫−−−=2
3
)(d 4e 2)(t t t r τ
τ)
e e (83)2(−−−−=t 0
42−3τ
246
t
02
t
t -3
4
2−3
τ
2
46
t
02
t
t -3
042−3
τ
24
6
t
2
t
t -3
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t > 5
r (t )=0
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<−<<−<<−=−−−−−
5) 0,( 0 )53( )e 8(e
3)t (2 )1e (e 8)20( )e 1(8)(3)
2(2
t t t t t r t t t
43
-2τ
思考
如何划分时间段？确定积分上下限。

204
2−3
τ
4
6
t
2
t
t -3
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9.5 电容电压和电感电流的跃变
在换路瞬间，若电容中流过冲激电流时，电容电压可能发生跃变，此时电容的瞬时充电（或放电）功率为无穷大。

在换路瞬间，若电感两端出现冲激电压时，电感中的电流可能发生跃变，此时电感的瞬时充
电（或放电）功率为无穷大。

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一、电容电压的跃变
例1理想电压源瞬间加在纯电容C 两端。

则电容电压可以表示为
S
u C C
+
−
U S
+−
i C u C ,i C
t
o
U S
u C
i C S ()()
C u t U t ε=电容中电流为
S d ()()d C
C u i t C
CU t t
δ==清华大学电机系电路原理教学组
例2电路如图所示。

S
+R 1
u C 2C 1
+−
−
U S
+−C 2u C 1i C 1i C 2
A R 2
以u C 1为变量，可列些出方程如下：
21S 2
111
112
2211111S )d )
d(d d (
)d d d d (R t u U C t u C R u u R t
u
C t u C R u u U C C C C C C C C −−++=−++=由上述方程可知，电容电压u C 1应为有限值。

再根据KVL ，
u C 2也应为有限值。

清华大学电机系电路原理教学组
节点A 的KCL 方程：
在0−~0＋区间对上式积分，并整理得
11221122(0)(0)(0)(0)0 (1)C C C C C u C u C u C u ++−−−+=−+=式(1)表明节点A 满足电荷守恒。

其中u C 1(0+)、u C 2(0+)待求。

1122
1212
d d d d C C C C u u u u
C C R t R t +=+再根据KVL ，有
12S (0)(0) (2)
C C u u U +++=当u C 1(0－)＝0、u C 2(0－)＝0时，联立求解式（1）和式（2）可求得21S 12(0)C C u U C C ++＝1
2S
12
(0)C C u U C C ++＝清华大学电机系电路原理教学组
由此可用三要素法得到此一阶电路的解：12
1212
()
R R C C R R τ=
++1
1S
12
()C R u U R R ∞+＝
2
2S
12
()C R u U R R ∞+＝
其时间常数为换路后达稳态时有
所以电容电压分别为
121
1S S 121212
()[(
)e ]()t C R C R u t U U t R R C C R R τε−=+−+++212
2S S
121212()[(
)e ]()t
C R C R u t U U t R R C C R R τε−=+−+++
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对电容电压的全时间域表达式求导，可得电容电流为
122111
21S S 1212121212()
()()[()e ]()()t
C C C C R C R R i t U t U t C C C C R R R R C C τδε−+=
−−++++121221
22S S 1212121212()
()()[()e ]()()
t
C C C C R C R R i t U t U t C C C C R R R R C C τδε−+=
−−++++小结：
y 一般情况下，当换路后电路中出现由理想电压源和电容（或全部由电容）构成的回路时，则电容电压可能发生跃变。

y 分析方法是：首先根据KVL ，列写换路后瞬间电容电压与电压源电压的约束方程；然后再根据节点电荷守恒写出有关电压的方程；最后根据上述所列方程便可求出待求电压的值，从而可知电容电压是否跃变。

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二、电感电流的跃变
电感电流可能发生跃变的情况，与电容的情况是对偶的。

结论如下：
y 一般情况下，当换路后电路中出现由理想电流源和电感
（或全部由电感）构成的割集时，则电感电流可能发生跃变。

y 分析方法是：首先根据KCL ，列写换路后瞬间电感电流与电流源电流的约束方程；然后再根据回路磁链守恒写出有关电流的方程；最后根据上述所列方程便可求出待求电流的值，从而可知电感电流是否跃变。

例电路如图所示。

t =0时开关S 断开。

求i L 1,i L 2。

+u S −
R 1
S
R 2
L 1L 2
i L 1
i L 2
A 开关S 断开后，出现了由两个电感L 1和L 2构成的节点A 。

首先对节点A 应用KCL ，有
12(0)(0)L L i i ++=再根据回路磁链守恒，有
11221122(0)(0)(0)(0)
L L L L L i L i L i L i ++−−+=+12112212
1
(0)(0)[(0)(0)]L L L L i i L i L i L L ++−−=
++＝联立解上述两个方程，得
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