2024年“极光杯”线上考试数学试题(含答案解析)

2024年“极光杯”线上测试（一）
数
学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．=
︒-)60cos(A ．
2
1B ．
2
3C ．2
1-
D ．2
3-
2．设集合}6,5,4,3,2{=A ，}12,2,1{++=a a B ，若}7|{<∈=*x x B A N ，则=B A A ．}
3,2{B ．}
4,3{C ．}
5,4{D ．}
6,5{3．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是
A ．)
101,0(B ．)101,101(-C ．)51,0(D ．)51
,51(-4．设平面向量a ，b 满足2||=a ，3||=b ，4||=+b a ，则=〉〈b a ,cos A ．31B ．41C ．31-
D ．4
1
-5．对于各数位均不为0的三位数abc ，若两位数ab 和bc 均为完全平方数，则称abc 具有“S 性质”，则具有“S 性质”的三位数的个数为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．设7.0log 2=a ，6.0log 3=b ，2.0log 3.0=c ，则
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．a
b c <<7．在二面角βα--l 中，点α∈A ，β∈B ，C ，l D ∈，l AB ⊥，且AB 与半平面α，
β所成的角相等，则“BD AC =”是“BDC ACD ∠=∠”的
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知凸四边形ABCD 内接于圆O ，CBD ABD ∠=∠2，
3
62=
CD AD ，则AC BD
的最大值为
A ．
2
6
B ．
3
32C ．
5
24D ．
5
33二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．设双曲线13:22=-y x C ，则
A ．C 的实轴长为2
B ．
C 的焦距为4
C ．C 的离心率为2
D ．C 的渐近线方程为03=±y x 10．设函数x x
x x f ln 32
)(--=，记)(x f 的极小值点为1x ，极大值点为2x ，则
A ．3
21=+x x B ．2
1x x <C ．2
ln 3)()(21-=+x f x f D ．)
()(21x f x f <11．已知随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，)43()32(<<<<<X P X P ．记X 的密度
函数为)(x f ，0>h ，则
A ．2
1)3(>
<X P B ．2
1)9(2<
<X P C ．)
3()33(f h h X P <+<<D ．)
3()33(f h
X h P ><<-12．已知实数x ，y 满足2||||||=+++y x y x ，则
A ．1
1≤≤y x +-B ．2
2≤≤y x --C ．2
122≤≤y x +D ．1
133≤≤y x +-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设22)i 21()i 2(+-+=z ，则=+|i 8|z ．
14．若某圆锥的侧面积为底面积的5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值
为．
15．设O 为坐标原点，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 为
椭圆上一点，直线1PA 的斜率为31
，PO 的斜率为2，则2PA 的斜率为．
16．在8)1(ax +的展开式中，若3x 的系数为56-，则=a ；若展开式中有且仅
有4x 项的系数最大，则a 的取值范围是．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
已知直线6π=x 和3
2π
=x 是函数)0,0)(sin()(π<<>+=ϕωϕωx x f 图像两条相邻的对称轴．
（1）求)(x f 的解析式和单调区间；
（2）保持)(x f 图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的)0(1
>a a
倍，得到函
数)(x g y =的图像．若)(x g 在区间),0(π恰有两个极值点，求a 的取值范围．
18．（12分）
为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为X 和Y ．在治疗过程中，用指标I 衡量患者是否受益：若σμσμ+-≤≤I ，则认为指标I 正常；若σμ+>I ，则认为指标I 偏高；若σμ-<I ，则认为指标I 偏低．若治疗后患者的指标I 正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为6.0．
（1）求)(Y E 和)(Y D ；
（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第i 位的患者治疗后指标I 的值为i x ，1=i ，2，…，50，定义函数：
⎪⎩
⎪
⎨⎧-<-+-+>=σ
μσμσμσ
μi i i i x x x x f ,1,
0,
1)(≤≤．
（i ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由．①|)(||)(||)(|5021x f x f x f A +++= ；②2
]
1)()[(]1)()[(]1)()[(50502211++++++=
x f x f x f x f x f x f B ；
（ii ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（i ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策．
19．（12分）
如图，五面体CDEF AB -的底面CDEF 是矩形，∥AB 底面CDEF ，AB 到底面CDEF 的距离为1，2=======EB DE BD AB FA CF AC ．
（1）证明：平面⊥ABCD 平面ABEF ；
（2）设平面 ACF 平面l BDE =．
（i ）证明：∥l 底面CDEF ；
（ii ）求l 到底面CDEF 的距离．
20．（12分）
已知等比数列}{n a 的公比1>q ，1a ，2a ，13-a 成公差为d 的等差数列．（1）求d q +的最小值；
（2）当11a 取最小值时，求集合}|{*∈=N n n a a A 中所有元素之和．
21．（12分）
设O 为坐标原点，A 为抛物线x y 42=上异于O 的一点，)4,1(-B ，)0,4(-C ．（1）求||AB 的最小值；（2）求ACB ∠tan 的取值范围；（3）证明：ACO ACB ∠∠≥．
22．（12分）
设函数x x
x f e
)(=
，x x x g cos sin e e )(+=．（1）求曲线)(x f y =平行于直线2+=x y 的切线；（2）讨论)(x g 的单调性．
2024年“极光杯”线上测试（一）
数学参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．D 4．B 5．C
6．A
7．A
8．D
二、选择题
9．AD
10．ACD
11．BD
12．ABD
三、填空题
13．1014．215．2
1-
16．1-；)4
5,54(510,210( --
四、解答题
17．解：
（1）由题设条件知)(x f 的最小正周期π=π
-π=π
=
)632(
22ω
T ，所以2=ω．又因为1)3sin()6(±=+π=πϕf ，π<<ϕ0，所以6
π
=ϕ，)62sin()(π+=x x f ．
令2
26222π
+π≤π+≤π-πk x k ，得)(x f 的单调递增区间为)6,3[Z ∈π+ππ-πk k k ，
令2
326222π
+
π≤π+≤π+πk x k ，得)(x f 的单调递减区间为)](32,6[Z ∈π+ππ+πk k k ．（2）由题可知)62sin()(π+=ax x g ，所以当),0(π∈x 时，)6
2,6(62π
+ππ∈π+a ax ．
若)(x g 在区间),0(π恰有两个极值点，则x y sin =在区间)6
2,6(π
+ππa 恰有两个极值
点，因此
523π
≤
π+π<πa ，
（2）由题可知34tan =
∠OCB ，21,0(1
|
|tan 2∈+=∠t t ACO ．当0>t 时，ACO OCB ACB ∠-∠=∠，所以ACO ACO
ACB ∠+∠-=
∠tan 43tan 34tan ．该式是关于ACO ∠tan 的减函数，所以34tan 2
1
<∠≤ACB ；
当0<t 时，ACO OCB ACB ∠+∠=∠，所以ACO ACO
ACB ∠-∠+=
∠tan 43tan 34tan ．该式是关于ACO ∠tan 的增函数，所以211tan 3
4
≤∠<ACB ；
综上，ACB ∠tan 的取值范围是]211,34(3
4
,21[ ．
（3）由（2）知，ACB ACO ∠≤≤∠tan 2
1
tan ，且︒<∠<900ACO ，
所以ACB ACO ∠≤∠．
22．解：
（1）x
x
x f e 1)(-=
'，则曲线)(x f y =在点))(,(t f t 处切线l
的斜率为t t e 1-．若l 平行于直线2+=x y ，则1e
1=-t t
，即1e =+t t ．
设t t t +=e )(ϕ，01e )(>+='t t ϕ，所以)(t ϕ在),(+∞-∞单调递增．而1)0(=ϕ，所以方程1)(=t ϕ有唯一解0=t ．
故曲线)(x f y =平行于直线2+=x y 的切线只有一条，即在)0,0(处的切线x y =．（2）因为)2()(π+=x g x g ，所以)(x g 的一个周期是π2．
)](sin )(cos [e e )e sin e cos (sin e cos e )(cos sin cos sin sin cos cos sin x f x f x
x x x x g x x x x x x x x -=-=-='++，
而0e cos sin >+x x ，因此)(x g '的正负与)(sin )(cos x f x f -的正负一致．由（1）知当1≤x 时，0)(≥'x f ，则)(x f 单调递增，
所以)(sin )(cos x f x f >等价于x x sin cos >，)(sin )(cos x f x f <等价于x x sin cos <．
由x y sin =和x y cos =的图像知，当))(4
2,432(Z ∈π+ππ
-π∈k k k x 时，x x sin cos >；
当)452,4
2(Z ∈π
+ππ+π∈k k k x 时，x x sin cos <．
故)(x g 在区间))(42,432(Z ∈π+ππ-πk k k 单调递增，在)452,42(Z ∈π
+ππ+πk k k 单
调递减．。