辽宁省鞍山市第一中学2020-2021学年高三上学期11月月考数学(理)试题

辽宁省鞍山市第一中学2020-2021学年高三上学期11月月考
数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知(),U =-∞+∞，(],A a =-∞，(),1B =-∞，且()U C A B U =，则实数a 的
取值范围是（ ） A ．(),1-∞
B ．(],1-∞
C ．[
)1,+∞
D ．()1,+∞
2．已知()1,2a =，()1,1b =，则“5
3
λ>-
”是“a 与a b λ+”的夹角为锐角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件
D ．充要条件
3．下列命题中正确命题的个数是（ ） （1）侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； （2）三棱锥的三个侧面不可能都是直角三角形； （3）直角三角形的直观图可能是直角三角形； （4）圆台的任意两条母线延长后一定交于一点. A ．1
B ．2
C ．3.
D ．4
4．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则x y -的最小值为（ ）
A ．-3
B ．0
C ．2
D ．3
5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ） A ．0d <
B ．0d >
C ．160a <
D ．160a >
6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，E 是侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，则三棱锥11A C D E -的体积为（ ）
A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．1
7．已知ABC ∆中，BC 边上的中垂线分别交BC 、AC 于点D 、E ，若8AE BC ⋅=，
5AC =，则AB =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =- 的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ） A ．()1x y f x e =+ B ．()1x y f x e -=-- C ．()1x y f x e =-
D ．()1x y f x e =-+
9．已知2log 5a =，0.52b =，4log 15c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c a b >>
10．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则42
1b a b
++的最小值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．已知0＜β＜α2
π
＜，且1cos 7α=，()13cos 14
αβ-=，则cos β=（ ） A ．2398
-
B ．
12
C ．12
- D ．2398
12．已知()x
x
f x e e kx -=--，()2x x
g x e e -=+-，若()()0f g x =有唯一解，则k
的取值范围（ ） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞- C ．(],0-∞
D ．[]
2,1--
二、填空题
13．已知42a =，2log x a =，则x =______.
14．已知12,e e 是平面单位向量，且121
2
e e ⋅=
，若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =________.
15．如图，底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，E PD ∈，F PC ∈，且
:5:2PE ED =，若//BF 平面AEC ，则
PF
FC
=______.
16．已知递增数列{}n a 共有2019项，且各项均不为零，20191a =，若从数列{}n a 中任取两项i a ，j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 中的各项和
2019S =______.
三、解答题
17．函数()12f x x x =---.
（1）若等式()23f x x =-恒成立，求x 的取值范围. （2）若()2
f x x ax <-在[]1,2上无解，求实数a 的取值范围.
18．设函数()()2sin cos 0x x f x x ωωωω=
->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
π. （1）求ω的值；
（2）求()f x 在区间3,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调区间.
19．已知数列{}n a 满足11a =，*n N ∀∈，12111
12n n a a a a n
+++⋅⋅⋅+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()()1
1
121n n
n n n b a a ++-+=
⋅，记数列{}n
b 的前n 项和n
S ，求n S .
20．在ABC ∆中，E 是AC 的中点，D 是BC 的中点，3BE =，4AC =. （1）求22BA BC +的值；
（2）若90BAD ACB ∠+∠=︒，求ABC ∆的面积.
21．已知数列{}n a 满足1133
n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =. （1）若{}n a 是等比数列，且1
1000
m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；
（2）若1a ，2a ，…，100a 成等差数列，求数列1a ，2a ，…，100a 的公差的取值范围.（参考数值：lg 20.3010=，lg30.4771=） 22．函数()ln b
f x x ax x =-+
满足0x ∀>，()10f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
. （1）若0x ∀>，()()10x f x -≤，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
根据集合的运算性质，得不等式求解即可． 【详解】
∵U ＝R ，集合(),1B =-∞,(],A a =-∞, ∴∁U A ＝（a ,+∞）， 又（∁U A ）∪B ＝R ，
∴实数a 的取值范围是（﹣∞，1）． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目． 2．B 【解析】 【分析】
由题意可得 a 与a +λb 的夹角为锐角的等价条件，再利用充要条件判断即可 【详解】
∵向量a =（1，2），b =（1，1），∴a +λb =（1+λ，2+λ）， 再根据a 与a +λb 的夹角为锐角可得 a •（a +λb ）＞0，且1212
λλ
++≠， 即 2a +λa b ⋅＞0，且λ≠0，即5+3λ＞0 且λ≠0， 解得 λ53-
＞，且 λ≠0，故“5
3
λ>-”是“a 与a λb +”的夹角为锐角的必要不充分条件 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查两个向量共线的性质，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 3．A 【分析】
利用正棱锥，圆台的性质判断（1），（4），利用直观图性质判断（3），利用特殊图形判断（2）
【详解】
若棱锥S ABC -的各棱分别为3,3,4SA SB AB BA AC SB ======，满足侧面都是等腰三角形，显然不是正棱锥，故（1）错误
三棱锥的三个侧面可能都是直角三角形；例如从正方体同一顶点出发的三条棱组成的三棱锥；故（2）错误
利用直观图画法知直角三角形的直观图不可能是直角三角形，（3）错误； 由圆台的定义知（4）正确 故选：A 【点睛】
本题考查正棱锥，圆台的定义性质，考查直观图的性质，考查推理能力，属于基础题． 4．A 【分析】
画出可行域，平移直线，数形结合得目标函数的最小值 【详解】
画出可行域如图阴影所示：
令z x y =-，则当直线过A 时，截距最大，z 取最小值，则x y -的最小值为-3 故选：A
【点睛】
本题考查了线性规划的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 5．C 【分析】
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项. 【详解】
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >， 得()112116
211011122021161111211022
a a a S S a a a a a +⨯-=++++=
==<，可得160a <，
故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6．A 【分析】
连接1,BC 作1EF BC ⊥，证明EF ⊥平面11,ABC D 则EF 为点E 到平面11ABC D 的距离，再计算体积即可 【详解】
连接1,BC 作1EF BC ⊥，因为11C D ⊥平面1,BC 则11C D ⊥,EF 又1111C D BC C ⋂=，故
EF ⊥平面11,ABC D 则EF 为点E 到平面11ABC D 的距离，因为
11
1311223BB C S
BC h h EF h =
=⨯⨯∴===
又11AC D ∆为直角三角形，则1122
S =
⨯=
，故
111111
326
A C D E E C D A V V --==⨯=
故选：A
【点睛】
本题考查线面垂直的应用，考查等体积转化 ，考查计算能力，是中档题 7．B 【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，设B （﹣a ，0），C （a ，0），E （0，b ），∠ACB ＝α，由|AC |＝5，求出点A 的坐标，再利用AE •BC =8，求出|AB |． 【详解】
建立平面直角坐标系如图所示，
设B （﹣a ，0），C （a ，0），E （0，b ），∠ACB ＝α， 由|AC |＝5，得A （a -5cos α，5sin α），
∴AE =（5cos α-a ，b ﹣5sin α），BC =（2a ，0）， ∴AE •BC =2a （5cos α-a ）+0＝10a cos α-2a 2＝8， ∴a 2﹣5a cos α＝-4，
又AB =（-2a+5cos α，﹣5sin α），
∴222|255|AB a cos sin αα-++＝（）（﹣）
＝4a 2﹣20a cos α+25 ＝4（a 2﹣5a cos α）+25 ＝9，∴AB ＝3． 故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形边长的求法，考查平面向量的坐标表示与数量积运算问题等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，是中档题． 8．A 【解析】
试题分析：根据题意有0
0()0x f x e
-=，所以00()x f x e =，而
000000()1()110x x x x f x e f x e e e ----+=-+=-⋅+=，所以有0x -是函数()1x y f x e =+的
零点，故选A ．
考点：函数的零点的定义． 9．B 【分析】
根据对数与指数函数的单调性比较大小即可． 【详解】
因为24log 5=log 25a =>4log 15c =，排除C,D ；
()()
3
3
222
2
443
158=2
log 15log 2
2
c b >∴=>=
>=故选：B 【点睛】
本题考查了大小比较，考查了指数、对数函数的性质，考查分析解决问题的能力，属于基础题． 10．D 【分析】
将所求变形为积是定值的形式，利用基本不等式求最小值 【详解】
(
)242442=1+15
2121a b b b a
a a
b a b b b b
+++=++≥=+++当且仅当12,33
a b == 等号成立 故选：D 【点睛】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．B 【解析】 【分析】
利用同角三角函数的基本关系求得sin α、sin （α﹣β）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值． 【详解】 ∵cos α1
7
=
，cos （α﹣β）1314=，且0＜β＜α2π＜，
∴0＜α﹣β2
π
＜
，
∴可得，sin
α7==
，sin （α﹣β）
14
==， ∴cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos α•cos （α﹣β）+sin α•sin （α﹣β
）1131
7142
=⨯+=． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于基础题． 12．A 【分析】
将()()
0f g x =分层利用内外层函数的奇偶性与单调性求解 【详解】
令()()0
t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，易知()2x x g x e e -=+-为偶函数，且()00g =，若函数有唯一解，故()0f t =有唯一解0t =，由()'x x f x e e k -=+-则当()'02x x f x e e k k -=+-≥∴≤，，函数()x x f x e e kx -=--单调递增，有唯一解0t =
故选：A
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性，考查函数与方程的根，熟练运用内层函数的单调性确定方程根是关键，是中档题
13
【分析】
利用指数互化及对数运算性质求解
【详解】
42a =则42log 2log a ==x =
【点睛】
本题考查指对互化及对数运算性质，是基础题，注意对数运算性质的合理运用．
14【分析】
根据数量积得出1e ，2e 夹角为60︒，结合题意可得12,,30b e b e ==︒，运用数量积的定义判断求解即可．
【详解】
∵1e ，2e 是平面单位向量，且1212
e e ⋅=
， ∴1e ，2e 夹角为60︒，
∵向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，
∴b 与1e ，2e 夹角相等，且为锐角，
∴b 应该在1e ，2e 夹角的平分线上， 即
12,,30b e b e ==︒，1cos301b ⨯⨯︒=， ∴23b =，
.
【点睛】
本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可，属于中档题.
15．32
【分析】
取棱PC 上的点F ，使PF FC =32，取棱PD 上的点M 使PM ME =32
，连接BD ．设BD ∩AC ＝O ．结合平行四边形的性质及三角形中位线定理及面面平行的判定定理可得平面BMF ∥平面AEC ，进而由面面平行的性质得到BF ∥平面AEC ．
【详解】
存在点F 满足
PF FC =32使BF ∥平面AEC 理由如下：
取棱PC 上的点F ，使PF FC =32，取棱PD 上的点M 使PM ME =32
，则E 为MD 中点， 连接BD ．设BD ∩AC ＝O ．
连接BM ，OE ．
∵PF FC =32=PM ME
,F 为PC 的中点，E 是MD 的中点， ∴MF ∥EC ，BM ∥OE ．
∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，
∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC ．
∵MF∩BM＝M，
∴平面BMF∥平面AEC．又BF⊂平面BMF，
∴BF∥平面AEC．
故答案为：3 2
【点睛】
本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，关键是证得平面BMF∥平面AEC．16．1010
【分析】
递增数列{a n}共有2019项，且各项均不为零，a2019＝1，可得0＜a1＜a2＜…＜a2019＜a2019＝1，因此0＜a2019﹣a2018＜a2019﹣a2017＜…＜a2019﹣a1＜1，根据上述每项均在数列{a n}中，可得a2019﹣a2018＝a1，a2019﹣a2017＝a2，…，a2019﹣a1＝a2018，进而得出答案．
【详解】
∵递增数列{a n}共有2019项，且各项均不为零，a2019＝1，
∴0＜a1＜a2＜…＜a2018＜a2019＝1，
∴0＜a2019﹣a2018＜a2019﹣a2017＜…＜a2019﹣a1＜1，
且上述每项均在数列{a n}中，
∴a2019﹣a2018＝a1，
a2019﹣a2017＝a2，
…，
a2019﹣a1＝a2018．
即a2018+a1＝a2017+a2＝…＝a1+a2018＝a2019＝1．
数列{a n }的各项和2S 2019＝2019+1．
S 2019＝1010．
故答案为：1010．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（1）3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）[)2,+∞
【分析】
（1）分类讨论去绝对值解不等式求解即可；
（2）去绝对值转化为二次不等式有解问题，即可得解.
【详解】
（1）2x >时，()1f x =，23231x x -=->，不合题意； 1x <时，()1f x =-，23321x x -=-<-，不合题意；
12x ≤≤时，()23f x x =-，则230x -≥，解得32x ≥，∴322
x ≤≤， 综上3,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）由已知[]
1,2x ∈时()2f x x ax ≥-恒成立，即()2230x a x -++≤恒成立， 令()()2
23g x x a x =-++，则有()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得2a ≥. 综上[)2,a ∈+∞.
【点睛】
本题考查绝对值不等式，考查二次函数有解问题，考查转化化归能力，是中档题 18．（1）1ω=
（2）()f x 的增区间为173,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为17,12ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）化简函数为()cos 26x f x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
利用周期公式求解 （2）利用()cos2f x x =的单调区间列不等式求解即可
【详解】
（1）(
)12sin 2cos 2226f x x x x πωωω⎛⎫=
-=+ ⎪⎝⎭，由已知144T π=，又22T πω=，∴1ω=；
（2）令2226
k x k π
πππ≤+≤+，k Z ∈，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，k Z ∈， ∴()f x 的减区间为5,1212k k π
πππ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，k Z ∈， 同理，增区间为7,1212k k ππππ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，k Z ∈， ∵3,
2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 的增区间为173,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为17,12ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】 本题考查三角恒等变换，考查余弦函数的单调性，考查计算能力，是中档题
19．（1）n a n =
（2）()1
111n n S n +-=++
【分析】
（1）由1211112n n a a a a n ++
+⋅⋅⋅+=-，得()121111221n n a a a a n n -++⋅⋅⋅+=-≥-.两式作差得()112n n n a a n
n a +-≥=，构造等差数列求解 （2）变形n
b =()()1111n n n n +---+利用累加法求和
【详解】 （1）∵1211112n n a a a a n ++
+⋅⋅⋅+=-，∴()121111221
n n a a a a n n -++⋅⋅⋅+=-≥-. ∴()112n n n a a n n a +-≥=，则()121n n a a n n n +=≥+，令1n =，22a =，则2121a a =.
∴11n n a a n n +=+，∴111
n a a n ==，∴n a n =. （2）∵()()()()()1112111121n n n n n b a a n n n n ++++=+--=⋅⋅+()()1111n n n n
+--=-+， ∴()()()111111*********
n n n n S n n n +
+⎛⎫----⎛⎫⎛⎫=++-++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
. 【点睛】 本题考查由递推关系求通项公式，考查构造法及变形能力，准确将n b 变形裂项相消求和是关键，是中档题
20．（1）26
（2） 【分析】
（1）利用中线长度及余弦定理解方程求解
（2）记BAD θ∠=，CAD ϕ∠=，利用正弦定理得B C =或90B C +=︒，求得面积
【详解】
由题()222242cos ,BE BA BC BE BA BC BA BC ABC =+∴=++⋅∠ 又由余弦定理得222162cos AC AB BC BA BC ABC ==+-⋅∠，两式相加得
2226BA BC +=；
（2）记BAD θ∠=，CAD ϕ∠=，∵90C θ+=︒，∴90B ϕ+=︒，
sin
sin BD AD B θ=，sin
sin CD AD C
ϕ=，BD CD =，∴sin 2sin 2
B C =， ∴B C =或90B C +=︒.
若90B C +
=︒，则90A =︒，故221626AB
AB ++=∴ AB
=
S = 若B C =，则4,AB BC ==11cos 16A =
，∴sin A =S = 综上所述，面积为. 【点睛】
本题考查正余弦定理及应用，考查向量的三角形中线与向量模长的计算，考查面积公式考查，
计算能力，是中档题
21．（1）m 的最小值为8，3710q -=.
（2）2,2199⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析】
（1）利用等比数列性质令n =1,确定
133q ≤≤，结合等比数列通项公式及对数运算得m 的范围得解
（2）利用等差数列通项公式列,n d 的不等式组，利用分离参数转化为恒成立问题求解公差的取值范围
【详解】
（1）设公比为q ，则1n n a q
-=.由已知121133a a a ≤≤，则133q ≤≤. ∴111000m m a q -==，则113
q ≤<.∵lg30.4771=， ∴100011log 10001log q m q =-=-3331117.291lg lg3lg 3
q =-≥-=+≈， ∴m 的最小值为8，∴711000q =，3710q -=. （2）设公差为d ，则()()1113113
n d nd n d +-≤+≤+-⎡⎤⎣⎦. ∴()212n d +≥-且()232n d -≥-.
1n =时，223
d -≤≤. 299n ≤≤时，则有221d n ≥-+且223d n ≥--，∴2199
d ≥-. 综上所述，2,2199d ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查等差与等比数列的通项公式，考查基本量的运算，熟练转化为恒成立问题是关键，是中档题
22．（1）1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【分析】
（1）由()10f x f x ⎛⎫+=
⎪⎝⎭得b a =，求导，构造新函数，讨论a 确定导函数的符号进而确定函数的最值
（2）利用（1）的讨论判断函数()f x 的单调性确定零点个数进而求得a 的取值范围
【详解】
（1）∵()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()10b a x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，∴b a =. ()()222
'10a ax x a a x x x x f x -+-=--=>，令()2ax x a g x =-+-， 0a ≤时，()()
210g x x x x a =-+≥>，则()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增， ∴()01,x ∃∈+∞，()()010f x f >=，则()()0010x f x ->不合题意；
12a ≥时，()()()2
12121024a a a x a a g x +-⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，则()'0f x ≤，()f x 在()0,∞+上单调递减，1x <时，()0f x >，1x >时，()0f x <，∴()()10x f x -≤，符合题意； 102a <<时，令()0g x =，设根为1x 、2x ，则12102x x a
+=>，1210x x ⋅=>， 不妨设12x x <，则有1201x x <<<，当21x x <<时，()0g x >，则()'0f x >， ()f x 在()21,x 上单调递增，()021,x x ∃∈，()()010f x f >=，则()()0010x f x ->，不合题意. 综上所述，1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭.
（2）0a ≤时，由（1）()f x 在()0,∞+上单调递增，至多一零点，不合题意； 12
a ≥时，由（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，至多一零点，不合题意； 102a <<
时，由（1）()f x 在()10,x 上递减，()12,x x 上递增，()2,x +∞上递减，此时至多三零点，()f x 在()21,x 上递增，()()210f x f >=，
令t x e =，则()t t a t ae f e
x =-+，当0t >时，1t e >， 令()()20x v x e x x =->，则()()'20x v x e x x =->，()()''20x v x e x =->， 当0ln 2x <<时，()''0v x <；当ln 2x >，()''0v x >，
∴()'v x 在()0,ln 2上单调递减，()ln 2,+∞上单调递增，
∴()()''ln 222ln 20v x v ≥=->，∴()v x 在()0,∞+上单调递增，
∴()()010v x v >=>，∴2x e x >，∴2t e t >， 又102a <<，∴21t t a t ae at t e
-+<-++，
当12t a
+>时，210at t -++<
，∴当'x >时，()'0f x <， ∴()01,'x x ∃∈，()00f x =，又()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，()10f =，∴存在三个零点， 综上所述，10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
【点睛】 本题考查函数的单调性与导数，考查函数零点，考查分类讨论与转化能力，是难题。