《微分几何》答案1B

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 民族学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字） 课程考核 参考答案及评分标准
考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1 试卷类型：B 考试时间：2006-12- 适用专业：民族学院数学与应用数学专业2004级1班 层次：本科
一、选择题（每小题2分共10分）
1 (A)；
2 (C)；
3 (B)；
4 (D)；
5 (C)。

二、填空题（每小题2分共10分）
1、已知r=(2x √2,2x √2,3x),0<x<1, 则其弧长总长= 5 ；
2、已知曲面r=(ucosv, usinv,6v),u>0, 0≤v<π/2, 则它的高斯曲率K= −36/(u 2+36)2 ；
3、Γ：r=(acost, asint, e t )的切向量是 (−a sint, acost, e t ) ；
4、曲面上切向du:dv 是主方向的条件，用dn 与dr 的关系表示为，沿方向du:dv 成立 dn=λdr ；
5、极小曲面的中曲率为 0 。

三、判断题（每小题2分共10分）
1 (√)；
2 (╳)；
3 (╳)；
4 (√)；
5 (√)。

四、计算题（每小题5分共40分）
1、计算z=xy 上的曲率线方程；
(提示：曲率线的方程为： dv 2 −dudv du 2 )
E F G =0
L M N
解：r=(x,y ,xy), r x =(1,0, y), r y =(0,1,x), r xx =(0,0,0), r yy =(0,0,0), r xy =(0,0,1), E=1+y 2 , F=xy, G=1+x 2 , L=0, M=1, N=0;
曲率线的方程为： dy 2 −dxdy dx 2
1+y 2 xy 1+x 2 =0, 即 (1+x 2)dy 2= (1+y 2) dx 2 , 即 dy 2 / (1+y 2) =dx 2 /(1+x 2) , 0 1 0
(2分)
解得 y+√(1+y 2)= c(x+√(1+x 2))±1 , c 为常数； (3分)
2、计算半径为a 球面上半径为b 的圆的测地曲率, (0<b<a)；
解：k g =k·sin θ=√(1/b 2−1/a 2) ；
3、已知曲面的第一基本形式为I=v(du 2+dv 2), v>0，求u-线的坐标曲线的测地曲率；
（提示：利用公式k gu =−(lnE)v /2√G ）
解：k gu =−(lnE)v /2√G=−(lnv)v /2√v = −1/2v 3/2；
4、求曲线Γ：r=(at 2, at 3, e t )在t=0的切线方向上的一个非零矢量；
解：r'=(2at, 3at 2, e t
)，r'(0)= (0, 0, 1)；
涪陵师范学院课程考核参考答案及评分标准微分几何2006-2007-1
5、求曲面族Γα：xcosα+ysinα−zsinα=1的包络面方程；
解：Γα的包络面方程为xcosα+ysinα−zsinα=1，且−xsinα+ycosα−zcosα=0,(2分)即x2+(y−z)2=1；(3分)
6、求曲线Γ：x=cost,y=sint, z=t的曲率；
解：r'=(−sint,cost,1); ds/dt=√2; r''=(−cost, −sint,0)=β; k=|dβ/ds|=| dβ/dt|/√2=1/√2;
7、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的第一基本量；
解：r u=(cosv,sinv,0), r v=( −usinv,ucosv,1), E=1,F=0,G=1+u2；
8、设曲面∑的I=u2(du2+dv2), u,v>0, 试计算∑的Gauss曲率K。

(提示：K= −(((√G)u/√E)u+((√E)v/√G)v)/ √EG) 解：K= −(((√G)u/√E)u+((√E)v/√G)v)/ √EG= −((√G)u/√E)u/ √EG = −((√G)u/√E)u/u=1/u3。

五、证明题（每小题6分共30分）
1、证明曲面∑：r=(a(u+v),b(u−v),cuv), abc≠0, 不可展；
证明：∑是直纹面：r=(au,bu,0)+ (a, −b,cu)v, 由于
a b 0
a −
b cu = −2abc≠0 , 故曲面∑不可展；
0 0 c
2、证明曲面∑：r={φ(t)cosθ, φ(t)sinθ, φ(t)}的参数网是正交网；
证明：r t=(φ' (t)cosθ, φ' (t)sinθ, φ' (t)), rθ=(−φ(t)sinθ,φ(t)cosθ, 0) , F=0, 故命题成立；
3、证明挠率=0的曲线是平面曲线；
证明：设曲线r=r(s)取弧长参数，其挠率τ=0，由Frenet公式得dγ/ds=0，于是γ=γ0为常矢量，α·γ0=0，(r-r0)·γ0=0，故该曲线是平面曲线；
4、证明球面∑：r=(acosucosv, acosusinv ,asinu)上曲线的测地曲率kg=dθ/ds-sinudv/ds,
其中θ表示曲线与经线，即u−线的夹角的；
（提示：kg=dθ/ds+√E·k gu du/ds+√G·k gv dv/ds, k gu=−(lnE)v/2√G, k gv=(lnG)u/2√E）
证明：r u=( −asinucosv, −asinusinv ,acosu), r v=(−acosusinv, acosucosv ,0), E=a2 , F=0, G= a2cos2u , (2分)故kg=dθ/ds+√G·(lnG)u/2√E·dv/ds = dθ/ds−sinu·dv/ds ；(3分)
5、求证旋转面∑：r={φ(t)cosθ, φ(t)sinθ, φ(t)}的子午线是测地线。

（提示：利用公式k gu=−(lnE)v/2√G）
证明：r t=(φ'(t)cosθ, φ'(t)sinθ, φ'(t)), rθ=(−φ(t)sinθ, φ(t)cosθ, 0), F=0, E=2φ'(t)2 , G=φ(t)2，(2分)
子午线的测地曲率k gt=−(lnE)θ/2√G = 0，命题得证。

(3分)
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