2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.1 5.1.3(人教B版)

5.1.3数据的直观表示
(教师独具内容)
课程标准：能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.
教学重点：柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频率分布直方图、频数分布折线图、频率分布折线图的绘制及应用.
教学难点：频率分布直方图的绘制.
知识点一柱形图
(1)柱形图(也称为□01条形图)可以形象地□02比较各种数据之间的□03数量关系．
(2)一般地，柱形图中，一条轴上显示的是□04所关注的数据类型，另一条轴上对应的是□05数量、□06个数或者□07比例，柱形图中每一矩形都是□08等宽的．知识点二折线图
折线图可以形象地表示出数据的□01变化情况．
知识点三扇形图
(1)扇形图可以形象地表示出□01各部分数据在全部数据中所占的比例情况．
(2)扇形图中，每一个扇形的□02圆心角以及□03弧长，都与这一部分表示的数
据□04大小成正比．
知识点四茎叶图
一般来说，茎叶图中，所有的□01茎都竖直排列，□02叶沿水平方向排列．茎叶图也可以只表示一组数据．
知识点五频数分布直方图与频率分布直方图
(1)绘制频数分布直方图与频率分布直方图的步骤
①□01找出最值，计算极差；
②□02合理分组，确定区间；
③□03整理数据；
④□04作出有关图示．
注意：频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数
成正比；频率分布直方图的纵坐标是频率
组距
，每一组数对应的矩形高度与频率成正
比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1.
(2)频数分布折线图和频率分布折线图的作图方法是：把频数分布直方图与频率分布直方图中每个矩形上面一边的□05中点用线段连接起来，同时，为了方便看
图，这两种折线图都画成与横轴□06相交．
注意：这两种折线图与横轴的左右两个交点没有实际意义．
1．在制作茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是叶的部分，同一数据出现几次就记录几次．
2．几种表示频率分布的方法的优点与不足
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)柱形图可以形象地表示出数据的变化情况．()
(2)折线图可以形象地比较各种数据之间的数量关系．()
(3)扇形图中，每个扇形的弧长，与这一部分表示的数据大小无关．()
(4)茎叶图不可以表示一组数据．()
(5)频数分布直方图的纵轴表示频数．()
(6)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频率．()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√
2．做一做
(1)反映某种股票的涨跌情况，应选择()
A．柱形图B．折线图
C．扇形图D．三种图均可
(2)果园里有荔枝树150棵，龙眼树50棵，芒果树200棵，若要画出它们的扇形图，则芒果树所占扇形圆心角的度数为()
A．37.5°B．12.5°C．180°D．120°
(3)下面茎叶图表示某城市一台自动售货机在18天内的销售额情况(单位：元)，图中数字7的意义是表示这台自动售货机在该天的销售额为________元．()
A．7 B．37
C．27 D．2337
(4)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．
答案(1)B(2)C(3)C(4)12
题型一柱形图与扇形图
例1某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
[解](1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的18
50×100%＝36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1000(人)，
8
50×100%×1000＝160(人)，
所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.
(1)柱形图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成高度不同的小矩形，然后把这些小矩形按照一定的顺序排列起来．其特点是便于看出和比较各种数量的多少，即柱形图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
(2)扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各部分所占总数的百分数．
总之，用图表来表示数量关系更生动形象、具体，使人一目了然．
(1)如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形图的部分结果，根据扇形图的情况可以知道丙、丁两组人数和为()
A．250 B．150
C．400 D．300
(2)某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球等4项活动的参加人数做了统计，绘制了柱形图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．
答案(1)A(2)0.1
解析(1)甲组人数是120，占30%，则总人数为120
30%＝400；乙组人数是
400×7.5%＝30，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250.
(2)参加羽毛球活动的人数是4，则频率是4
40＝0.1.
题型二折线图
例2下表给出了2018年A，B两地的降水量(单位：mm)
根据统计表绘制折线图．
[解]建立直角坐标系，用横坐标上的点表示月份，用纵坐标上的点表示降水量，描出每个月份对应的点，然后用直线段顺次连接相邻的点，得到折线统计图如图表示．
在绘制折线图时，可以先整理和观察数据统计表，然后建立直角坐标系，描出与数据相对应的点，再顺次连接相邻的点，就得到折线图．特别注意，画折线图时，横轴、纵轴表示的实际含义要标明确．
如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线图，在这7天中，日温差最大的一天是()
A．4月1日B．4月2日
C．4月3日D．4月5日
答案 D
解析由折线图可以看出，该市日温差最大的一天是4月5日.
题型三茎叶图的绘制
例3某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
[解]甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段．因此乙同学总
体得分情况比甲同学好．
(1)画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位和百位数，两边的数分别表示两组数据的个位数．要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填．比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较．
(2)绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6,1.2,2.7,1.5,2.8,1.8,2.2,2.3,3.2,3.5，
2．5,2.6,1.2,2.7,1.5,2.9,3.0,3.1,2.3,2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2,1.7,1.9,0.8,0.9,2.4,1.2,2.6,1.3,1.4，
1．6,0.5,1.8,0.6,2.1,1.1,2.5,1.2,2.7,0.5
根据两组数据完成如图所示的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解由观测结果可绘制茎叶图如图所示：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有7
10的叶集中在茎2,3上，而
B药疗效的试验结果有7
10的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好.
题型四频率分布直方图的绘制
例4某校为了解高一年级学生的身高情况，随机抽取了100名高一年级学生进行测量，测得的身高数据(单位：cm)如下：
168165171167170165170152175174
165170168169171166164155164158
170155166158155160160164156162
160170168164174171165179163172
180174173159163172167160164169
151168158168176155165165169162
177158175165169151163166163167
178165158170169159155163153155
167163164158168167161162167168
161165174156167166162161164166试列出这组数据的频率分布表，作出这组数据的频率分布直方图．
[解]①求极差：从数据表中可看出最大值是180，最小值是151，故极差为180－151＝29.
②确定组距与组数．
取3为组距，则极差
组距
＝
29
3＝9
2
3，故可将数据分成10组．
③第一组起点定为150.5，组距为3，这样分出10个组．
[150.5,153.5)，[153.5,156.5)，[156.5,159.5)，[159.5,162.5)，[162.5,165.5)，[165.5,168.5)，[168.5,171.5)，[171.5,174.5)，[174.5,177.5)，[177.5,180.5]．
④列频率分布表．
⑤作频率分布直方图，如下图所示：
(1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
①若极差
组距
为整数，则
极差
组距
＝组数；
②若极差
组距
不为整数，则
极差
组距
的整数部分＋1＝组数．
(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来；组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若数据个数不超过100，按照数据的多少常分为5～12组．一般数据个数越多，所分组数越多．
美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65，
52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51，
54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70.
(1)将数据分为7组，列出频率分布表，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；
(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．
解(1)以4为组距，列频率分布表如下：
作出相应的频率分布直方图和频率分布折线图，如图所示：
(2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁及45岁以下和65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．
1．如图是P，Q两国2019年财政经费支出情况的扇形图，根据扇形图，下面对两国全年教育经费支出判断正确的是()
A．P国比Q国多B．Q国比P国多
C．P国与Q国一样多D．无法确定哪国多
答案 D
解析从扇形图中只能看出教育经费所占财政费支出Q国比P国多，但不能比较出教育经费支出数额的多少．
2．如图所示是某校高一年级学生到校方式的柱形图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的()
A．20% B．30%
C．50% D．60%
答案 B
解析某校高一年级学生总数为60＋90＋150＝300，骑自行车人数为90.骑
自行车人数占高一年级学生总数的百分比为90
300×100%＝30%.
3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃。

下面叙述不正确的是()
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
答案 D
解析由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份有7月和8月，故D错误．
4．下图是12名同学某次测验的分数的茎叶图，由此可知，这些分数中最低分与最高分之和为________．
5
6
7
8 9⎪
⎪
⎪
⎪3
28
5577 3345 4
答案147
解析最低分为53分，最高分为94分，它们之和为147.
5．为了了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)，得到如下数据：
13598 1021109912111096100103
125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
105 124 87 131 97 102 123 104 104 128
109 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)列出频率分布表；
(2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图．
解(1)从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55，可将其分为11组，组距为5.列频率分布表如下：
续表
(2)画频率分布直方图、频率分布折线图，如图所示：
以下为“如何撰写一份出色的教案”
教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。

新的课程改革环境中,如何撰写教案,才能带动教师的积极性,发挥教案在常规教学中的应有的作用
首先，要打破传统教案的固定、僵化模式，允许教案因人、因课程、因教学内容而异，倡导书写个性化、创新性教案。

同时要改变教案检查的传统理念和标准，重新界定教案的功能和地位。

书写教案的终极目的不是为了迎合检查而是为了促进教师实现个性化的教学；不是苛求环节的完备与否而是充分张扬教师的个性；不是约束教学活动的范式而是促进教学生成的载体。

唯其如此，才能调动教师写教案的积极性，提高教学效率。

其次，倡导教案“留白”。

所谓的教案“留白”，就是指教案的开放性和灵活性。

具体来说就是教案的书写在内容上不要过于详尽，形式上不要过于琐碎，结构上不要过于封闭和程式化，而是要体现出内容上的概要性、形式上的模糊性和结构上的不确定性，以便能够适应新情境、容纳新内容、确立新策略，为教学中师生间的互动共振、互生新知、互建新情留有余地。

这样的教案能够在备课和课堂教学之间形成一种特殊的“张力”，有利于教师在教学中保持一种宽阔的思路和开放的观念，更容易纳入新的内容，适应新的情境，随时改变原有的设计，实现课堂教学的生态化。

教案在教学过程中的作用主要有四点：
一是每次教学的基本计划，明确本次教学的目标及教育资源的使用计划；
二是教学活动的依据，教学活动必须按教学准备有序有效实施；
三是教学研究的成果，教案是对教材、学生、教学方法相结合的研究成果；
四是教学实施的工具，教学过程中教案是参照系，可以提示教学内容、重点、难点、目标、思路，帮助教师有效完成每一次教学
教师写好教案应做到以下方面：
一、项目填写要齐全、教学环节要完备。

教案项目包括题目、教具、教法、教学重点、教学难点、教学目标、任课班级、授课时间等，一般都有固定表格，填写要规范，如有变动必须马上注明。

教学重点、教学难点、教学
目标是在对学生教材与培养目标科学分析的基础上形成的，概括必须准确、科学，教学环节是教学全过程的总和，一般包括导入语（由旧课导入新课）、教学主要内容、板书设计、重点提问（互动环节）、课后思考（或作业），教学环节完备、教学过程才能完整。

二、重点、难点要突出。

重点、难点和教学目标不能仅停留在表格中，必须在教学实施过程中予以体现，教学内容的组织必须紧紧围绕这一课的重点、难点和目标展开，对重点给与重视，对难点分析明白，这一切都在于服务实现这一课的具体教学目标，而这一具体目标是一门课程总目标的一个子目标，因而要做到每一课教案和全部课程目标体系上的有机统一。

三、教学材料处理要灵活。

教案不能写成教材的缩写，不能写成教材的提纲，也不能完全脱离教材自搞一套。

因为教材是死的，教学是鲜活的；教材只是提供了教学参考材料，不能代替全部教学，更不能代替教师备课和教学中的创造性劳动。

所以教案中对教学材料的处理要紧紧围绕教学目标形成有机整体，一要完整，二要逻辑严密，三要通过创新形成特色。

四、案例教学材料要绝对“新鲜”。

经济全球化和信息化发展使世界变小了，市场变大了，技术更新快了。

教材即使最新出版，由于其组稿、编辑、出版、发行等环节，有些内容很快落后于经济社会发展与技术应用的实践。

高职教育是培养实用技能人才的教育，教育内容很大程度上决定着人才培养质量，如何解决这一问题呢？靠教师的创造性劳动，即在备课过程中树立最新的实践性教育理念，用最新鲜的材料去充实教学内容，用最新、最能说明问题的案例去阐发理论，才能提高教育教学水平。

所以高职教育教学管理中，科学规定教师一课时的备课工作量是2—3小时，一个高校教师每周课时量规定在十课时左右。

这是提高教学质量和实现技能人才培养目标的前提条件和具体保证。

五、板书设计要力求创新。

教师的教学活动是极富个性特点的创造性劳动，其个性特征最突出地体现在每次课的板书设计中。

所以教师备课时要在充分研读教材的基础上，为每一节课设计出具有如下特点的板书方案：一是严密的逻辑性，板书顺序是逻辑推理的高度概括再现；二是概括性，高度凝练概括本课的教学主要内容；三是符合审美要求，板书设计要符合审美规律，
给人以明确清晰、美观大方的良好审美感受；四是结构的完整性，即对一个知识点的全面完整表述；五是创新性，每个人即使在讲同一内容时由于文化背景、思维方式、表达方式、习惯等因素的差异作用，板书都体现出自己的特点，即个性化。

因此板书设计可以借鉴、参考，但决不能照搬照抄。

自己的特点，即个性化。

因此板书设计可以借鉴、参考，但决不能照搬照抄。

六、要不断充实完善。

教案撰写不是一次性劳动，初稿完成后，需要不断充实完善。

一是因为初稿往往有顾此失彼之处；二是教材研究与教学实施常有灵感产生，出现新的闪光点及时补充进去；三是需要用新材料与新信息对教案进行补充；四是备课不是一次性劳动，一节课的备课也不是一次有效，过期作废，需要从局部与整体的联系角度补充不足；五是集中备课或教研组活动中从课程之间的衔接上或交叉中获得提示、补充。

充实完善不是推翻重来，可以利用备注栏，也可以形成一页纸粘在一角，对照研读。

七、教案以手写为主，条理清晰，字迹工整。

教案撰写是创造性劳动，是对教师研究能力、写作能力、概括分析能力的有效训练，也是对教师书写水平、概括能力、材料组织等综合素质的反映，所以教案是教师创造性劳动的结晶，也是检验教师质量的一个重要依据。

手写教案对教师要求更高，更能真实检查教师备课质量、更具有可比性，因此客观上要求教师要写一手好字。

出色的手写教案也能为学生提供一个学习的鲜活样本。

八、关于电子课件。

电子课件是计算机辅助教学手段的应用，是信息化时代教育教学手段不断改进的成果，对传统教学手段是一种改进和有益补充，但高职教育实践证明，电子课件是使用计算机辅助教学时的一个工具条件，它直观、容量大，许多用讲授法难于实现的教学目标可以通过计算机辅助手段的展示、演示、模拟得以实现，还可以节约教学过程中教师的一些板书时间，可以大大提高教学效率。

但是教育教学是一种特殊的实践活动，一种创造性的劳动，电子课件的过度使用易于禁锢教师思维，限制了教师临场发挥和创造能力的提高。