徐荣聪厦门大学,高数第一章参考答案

第一章参考答案
习题1-1（P9）
1、（1）]5,2(；（2）]2,2[-；（3）]3
4
,32[；（4）),1()3,(+∞-⋃--∞；
2、（1）不同，定义域不同；（2）相同；（3）不同，定义域不同；（4）不同，定义域不同；
3、（1）}1,2{±≠-≥x x x 且；（2）Ｒ；（3）Ｒ；（4）]3,1[-；（5）),1(+∞-；（6）R ；
4、x x x f x x
x f x x x f f f -=++-=++=-==2
2
2
)1(,231)1(,23)(,0)1(,2)0(； 5、⎩
⎨
⎧>≤=--=-==1,41,)1(,1)2(,4)2(,1)0(x x x x f f f f ；
6、（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）偶函数；
7、略； 8、
3
2π； |
9、（1）31-=x y ；（2）1
1-+=x x y ；（3）21-=-x e y ；（4）y
y
y -=12log ；
10、（1）x y 3
sin =；（2）13-≤≤-u ，不能构成复合函数；（3）x y 2cos 2+=；
11、（1）x u u y tan ,2==；（2）2
,,x v v e u e y u =-==； （3）x v v u u y sin ,,arcsin ===；（4）2
,1,1,ln 3x t t v v u u y =+=+==；
12、略；
13、⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0
,10,00
,1)]([x x x x g f ，⎪⎩
⎪
⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g ；
习题1-2（P13） （1）0；（2）0；（3）2；（4）∞；（5）0；（6）2； 习题1-3（P17） .
1、（1）0；（2）8；（3）4-；（4）
2
1
；（5）0；（6）∞； 2、解：)(lim )(lim ,7)12(lim )(lim ,3lim )(lim 3
3
3
3
3
3
x f x f x x f x x f x x x x x x +-++--→→→→→→≠=+===显然
所以)(lim 3
x f x →不存在
3、证明：)(lim )(lim ,1lim lim ,1lim lim 00000
x f x f x x
x x x
x x
x x x x x x x +-++-
-
→→→→→→≠==-=-=显然
所以x
x x 0
lim
→不存在
习题1-4（P19）
（1）9；（2）0；（3）2；（4）0；（5）
49；（6）6；（7）2；（8）2
1
；（9）x 2；（10）3； （11）32
；（12）31；（13）0；（14）2-；（15）322；（16）2；（17）4
1；（18）6；
'
习题1-5（P24）
1、（1）3；（2）25；（3）
3
4
；（4）0；（5）2；（6）1； （7）x x x x x n n
n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim
2
sin 2lim ； （8）x
x x x x
x x
x x x x x x 203030sin cos cos 1lim sin sin cos sin lim sin sin tan lim ⋅-=-=-→→→ 2
1sin cos )2
()2(2sin 2lim sin cos 2sin 2lim 2222
22
0220=⋅⋅⋅⋅
=⋅=→→x
x
x x x x x x x x x x ；
2、（1）e 1；（2）4
e ；（3）e
1；
（4）21221)2
1()21(lim )21(lim 1)121(lim e t
t t x t x t
t t t x x =+⋅+=++=++
-⋅∞→-∞→∞→令 21
22
1)121()12
1(lim )121(lim e x
x
x x
x x x =++
⋅++=++-⋅+∞→∞→； （5）2
-e ；（6）e
1；
《
习题1-6（P28）
1、（1）无穷大；（2）无穷小；（3）无穷小；（4）无穷大；
2、当1→x 时函数无穷大，当∞→x 时函数无穷小；
3、（1）0；（2）0；
4、2
3
2
2x x x x --是比高阶的无穷小； 5、（1）同阶；（2）同阶；（3）等价；
6、（1）原式⎪⎩
⎪
⎨⎧<∞=>==→m
n m n m
n x x m n
x ,,1,0lim 0；（2）原式44lim 220==→x x x ；（3）原式2323lim 0-=-=→x x x ；
习题1-7（P33） 1、（1）1=x ，跳跃间断点；（2）2-=x ，无穷间断点；（3）0=x ，可去间断点； 、
（4）1=x 可去间断点，3=x ，无穷间断点； 2、不连续；
3、连续区间：),2()2,3()3,(+∞⋃-⋃--∞，21)(lim 0
=
→x f x ，58
)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2
x f x 4、函数在定义域]2,0[内连续；
5、（1）22
21e e +-；（2）22sin lim cos 2cos sin 2lim )cos(22sin lim 4
4
4
-=-=-=-→
→→x x x x x x x x x ππππ； 6、证明：设x e x f x
3)(-=，显然)(x f 在]1,0[上连续
因为0)3)(01()1()0(<--=⋅e f f ，由零点存在定理知，至少存在一点
)1,0(0∈x ，使0)(0=x f ，即0300=-x e x
所以方程x e x
3=在区间)1,0(内至少有一个实根。

7、证明：设b x a x x f --=sin )(，显然)(x f 在],0[b a +上连续
0)0(<-=b f ，0))sin(1()sin()(≥+-=-+-+=+b a a b b a a b a b a f （1）若0)(=+b a f ，则b a +是方程b x a x +=sin 的根
（2）若0)(>+b a f ，则0)()0(<+⋅b a f f ，由零点存在定理知，至少存在一
点),0(0b a x +∈，使0)(0=x f ，即0sin 00=--b x a x ， 所以b x a x +=sin 在区间),0(b a +上至少有一个实根
综合（1）、（2）得，方程b x a x +=sin 至少有一个正根，并且不超过b a +。