高中数学选修1-1教案 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2双曲线的简单几何性质

2.2.2双曲线的简单几何性质
一、课前预习目标
理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．
二、预习内容
1、双曲线的简单几何性质及初步运用．
类比椭圆的几何性质．
2．双曲线的渐近线方程的导出和论证．
观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．
课内探究
一、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析
二、描述双曲线的渐进线的作用及特征
双曲线的范围在以直线
b
y x
a
=和
b
y x
a
=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势
看，双曲线
22
22
1
x y
a b
-=与直线
b
y x
a
=±具有怎样的关系呢？
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线
b
y x
a
=的关系。

双曲线在第一象限的部分可写成：
当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字
母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．
三、描述双曲线的离心率的作用及特征
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
四、例题
例．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．。