《生活中的优化问题举例》名师教案

第一章导数及其应用
1.4生活中的优化问题举例（税长江）
一、教学目标
1．核心素养
通过生活中的优化问题举例的学习，提高数学地提出、分析和解决问题的能力，培养数学模的意识．
2．学习目标
能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等优化问题，并体会导数在解决实际问题的应用。

（1）1.4.1.1感受教材中的优化案例
（2）1.4.1.2提炼运用数学建模，解决生活中的优化问题的方法过程
（3）1.4.1.3实际运用，提升能力
3．学习重点：
利用导数解决实际生活中简单的最优化问题。

4．学习难点：
将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1
阅读教材P34－P36，思考：建立函数模型的基本步骤是什么？
任务2
收集资料，运用数学模型解决实际问题有哪些典型的案例？
2．预习自测
（1）某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为f(t)＝
t2 100，
则在时刻t＝10 min时的降雨强度为（）
A．1
5mm/min
B．1
4mm/min
C ．1
2mm /min D ．1mm /min 答案：A 解析：略
2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－1
3x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ） A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 答案：C 解析：略
3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为260()()x
v x x x
-=，060x <<，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（ ） A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 答案：C 解析：略 （二）课堂设计 1．知识回顾
（1）若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为单调递增函数；若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为单调递减函数．
（2）求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： ①求函数()y f x =在区间(,)a b 内的极值；
②将函数()y f x =各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值。

2．问题探究
问题探究一：生活中的优化案例 活动一：联系生活，引出问题
大家知道，市面上等量的小瓶装饮料比大瓶装饮料要贵一些，那么是否饮料瓶越大，饮料公司的利润越大呢？请大家阅读教材P 34—P 35并回答上述问题.
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 2．不少优化问题可以转化为求函数的最值问题，我们知道，导数是求函数最值的有力工具，从而导数是解决这类问题的基本方法之一. 活动二：整理信息，规划思路 利用导数解决优化问题的一般步骤是：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，建立适当的函数关系式()y f x =； （2）确定函数()y f x =在实际问题中的定义域； （3）利用导数求出函数()y f x =在实际问题中的最值.
（4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论． 问题探究二：提炼生活优化问题的一般方案
重点、难点知识★▲ 活动一：思考通性通法
活动二学以致用，付诸实践
例1：有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成 个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析过程】设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V (x )，则做成的长方体形无盖容器底面边
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
建立数学模型
长为a －2x ，高为x ，V (x )＝(a －2x )2x,0<x <a 2，即V (x )＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x <a
2.
故V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2.令V ′(x )＝0，得12x 2－8ax ＋a 2＝0.解得x 1＝16a ，x 2＝1
2a (舍去)． 当0<x <x 1时，V ′(x )>0；当x 1<x <a
2时，V ′(x )<0.
因此x 1是极大值点，且在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，a 2内，x 1是唯一的极值点，所以x ＝16a 是V (x )的最大值点．即
当截下的小正方形边长为1
6a 时，容积最大．
【思路点拨】1.解决生活中的优化问题应注意以下几点：
①当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式，从而得出需要的函数关系式；
②在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域，且所求题目结论一定要从实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去；
③在实际问题中，由()0f x '=常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值（极小值），那么不与端点处的函数值比较，也可判断该极值就是最大值（最小值）.
2.解决几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的自变量建立面积或体积的函数关系式，然后再利用导数求最值.
问题探究三：实践运用 活动一：利润问题
例2．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32(x
∈N ＋)．
（1）写出该厂的日盈利额T (元)用日产量x (件)表示的函数关系式； （2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 【知识点】数学建模，导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析过程】（1）由于次品率p ＝
3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N ＋)．
（2）2
(32)(16)
25
(8)x x T x +-'=-+，由T ′＝0得x ＝16或x ＝－32(舍去)．
当0<x ≤16时，T ′≥0；当x ≥16时，T ′≤0；所以当x ＝16时，T 最大． 即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．
【思路点拨】利润最大问题包括销售利润问题、生产产品利润问题等，一般根据“利润=收入-成本”将利润表示成其它指标的函数关系式，然后再利用导数求最值. 活动二：费用最省问题
例3．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
【解析过程】（1）因为蓄水池侧面的总成本为1002200rh rh ππ⋅=元，底面的总成本2160r π元，
所以蓄水池的总成本为2
20016012000rh r πππ+=，所以2
30045r h r
-=，
从而()V r =23(3004)5
r h r r π
π=-，
由题知0h >，可得：r <，又0r >，故函数()V r 的定义域为. （2）因为3()(3004)5
V r r r π
=
-，故2()(30012)5
V r r π
'=
-.
令()0V r '=，可得125,5r r ==-（舍）.
当(0,5)r ∈时，()0V r '>，故()V r 在(0,5)上为增函数；
当r ∈时，()0V r '<，故()V r 在上为减函数.
由此可知，()V r 在5r =处取最大值，此时8h =，即当5r =，8h =时，该蓄水池的体积最大. 【思路点拨】用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省（往往要从几何体的面积、体积入手），将这一指标表示为关于自变量x 的函数，利用导数或其它方法求出最值. 3．课堂总结 【知识梳理】
（1）在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间。

实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段.
（2）在实际问题中，由()0
f x
'=常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值（极小值），那么不与端点处的函数值比较，也可判断该极值就是最大值（最小值）.
【重难点突破】
(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域；
(2)建立函数模型，重在读题，读题务必仔细，理解清楚各个变量关系后，再建立模型．
4．随堂检测
（1）某工厂要建造一个长方体形状的无盖箱子，其容积为3
48m，高为3m，如果箱底每2
1m的造价为15元，箱壁每2
1m的造价为12元，则箱子的最低总造价为（）
A．900元
B．840元
C．818元
D．816元
答案：D
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
2．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为（）
A．
3
3cm
B．103
3cm
C．163
3cm
D．203
3cm
答案：D
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
3．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系
式为p＝25－1
8q，则当利润最大时，产量q=____________.
答案：84 解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
4．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________________元． 答案：85 解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
5．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为___________海里/小时． 答案：20
解析：由已知求出1
40
a =，然后得出航速v 与费用y 的关系为y ＝av 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v .
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模 （三）课后作业 基础型 自主突破
1．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ） A ．3V B ．32V C ．34V D ．23V 答案：C
解析：设底面边长为x (x >0)，则底面积S ＝34x 2，∴h ＝V S ＝4V 3x 2 ，则S 表
＝x ·4V 3x 2×3＋34x 2
×2＝43V x ＋32x 2，
=S '表3x －43V x 2，令=0S '表，得x ＝34V ，因为S 表只有一个极值，故x ＝3
4V 为最小值点．
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，函数在某点取得极值的条件，数学建模
2．如右图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完.则函数h=f(x)的图象为（）
答案：C
解析：略
点拨：数学建模
3．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为（）
A．2πr2
B．πr2
C．4πr2
D．1
2πr
2
答案：A
解析：设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝4πr2r21－r41.
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总
收益r与年产量x的关系是
2
1
400,0400
2
80000,400
x x x
r
x
⎧
-≤≤
⎪
=⎨
⎪>
⎩
，则总利润最大时，年产量是（）
A．100
B．150
C．200
D．300
答案：D
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
5．用长度为l的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为（）
A．l2 2
B．l2 4
C．l2 8
D．l2 16
答案：D
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_________千米处．
答案：5
解析：略
点拨：数学建模
能力型师生共研
7．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋2
75x
3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，
生产100
件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．
答案：25
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝500 x
，
总利润y＝500x－2
75x
3－1200(x>0)，求导可知总利润的最大值在25
x 处取.
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
8．一张1.4 m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8 m，要使观察者观察的最清晰，他应与墙的距离为（）(视角最大时最清晰，视角是指观察图片上底的视线与观察图片下底的视线所夹的角).
A．2.4m
B．2.3m
C．3.5m
D．2.7m
答案：A
解析：如右图所示，设OD＝x，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，α为视角，
则α＝γ－β，tanγ＝3.2
x，tanβ＝
1.8
x，tanα＝tan(γ－β)＝
tanγ－tanβ
1＋tanγtanβ
＝
3.2
x－
1.8
x
1＋
3.2×1.8
x2
＝
1.4x
x2＋5.76
(x>0)，
由(tanα)′＝1.4(x2＋5.76)－2x×1.4x
(x2＋5.76)2
＝0，解得x＝2.4或x＝－2.4(舍去)
在x＝2.4附近，导数值由正到负，所以在x＝2.4时，tanα取得最大值，α也取得最大值．
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
9．如图所示，一窗户的上部是半径为x的半圆，下部是边长分别为2x与h的矩形，若窗户面积一定，则窗户周长最小时，x与h的比为________________．
答案：1:1
解析：设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，∴窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π
2x ＋2x ＋S x ，∴L ′＝π2＋2－S
x 2.由L ′＝0，得x ＝2S
π＋4，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫
0，2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫2S
π＋4，＋∞时，L ′>0，∴当x ＝
2S π＋4
时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π
4＝1.
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模，函数在某点取得极值的条件
10．某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x
10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)． （1）求f (x )的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． 答案：见解析
解析：（1）由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧
a ×102
＋10150×
10－b ln1＝19.2，a ×302
＋10150×
30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1
100，b ＝1，
则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x
10(x ≥10)．
（2）T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x 10(x ≥10)，则(1)(50)511
()505050x x x T x x x ---'=+-=-
， 令()0T x '=，则x ＝1(舍)或x ＝50，
当x ∈(10,50)时，()0T x '>，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，()0T x '<，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数，
∴当x ＝50时，T (x )取最大值．又T (50)＝－502100＋5150×50－ln 50
10＝24.4(万元)． 即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元．
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
探究型 多维突破
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程
费用为(2x 万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式；
（2）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 答案：见解析
解析：（1）设需要新建n 个桥墩，(1)1m n x m x
+=-，即n=
所以(2m m x x x
+-1)+2562256.m m x =++-
（2）由（1）知，2
1
3
2222561'()(512).22m m
f x mx x x
x
-=-
+=- 令'()0f x =，得3
2
512x =，所以x =64.
当0<x <64时'()f x <0，()f x 在区间（0，64）内为减函数； 当64640x <<时，'()f x >0.()f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以()f x 在x =64处取得最小值，此时，640119.64
m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小.
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
12．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2.5千米，以21,l l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2
a
y x b
=
+（其中a ，b 为常数）模型.
（1）求a ，b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 答案：见解析
解析：（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．
将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400a
b
a b
⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．
（2）①由（1）知，21000y x =
（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，3
2000
y x '=-
， 则l 的方程为()23
10002000y x t t t
-
=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫
B ⎪⎝⎭． 故()2
2
6224
33000341022t f t t t t ⨯⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
[]5,20t ∈． ②设()62
4410g t t t ⨯=+，则()6
5
16102g t t t
⨯'=-．令()0g t '=，解得102t = 当(5,102t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数； 当()102,20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．
从而，当102t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min 153f t =
所以，当t=l的长度最短，最短长度为
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
自助餐
1．某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是()
y f x
=，且(100)1
f'=-，这个数据说明在100天时（）
A．公司已经在亏损
B．公司的盈利在增加
C．公司的盈利在逐渐减少
D．公司有时盈利有时亏损
答案：C
解析：略
点拨：数学建模
2．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单
位：℃)为f(x)＝1
3x
3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）
A．8
B．20 3
C．－1
D．－8
答案：C
解析：略
点拨：导数的几何意义
3．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（）
A．1∶2
B．1∶π
C．2∶1
D．2∶π
答案：C.
解析：设圆柱高为x，底面半径为r，则r=，圆柱体积V=π·x=(x3-12x2+36x)(0<x<6)，V′=(x-2)(x-6)，当x=2时，V最大.此时底面周长为4，底面周长∶高=4∶2=2∶1
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值.
4．设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为（）
A．3 V
B．3V
π
C．3
4V
D．3V
2π
答案：D
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值
5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2=2x3-x2(x>0)，为使利润最大，则应生产（）
A．6千台
B．7千台
C．8千台
D．9千台
答案：A
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
6．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为（）
A．32米，16米
B．30米，15米
C．40米，20米
D．36米，18米
答案：A
解析略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
7．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为_____________．
答案：3.2%
解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0.因此，当x＝0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当此轮船行使每千米的费用总和最小时，该轮船的航行速度为_______________千米/时.
答案：20千米/时
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_____________．
答案：3
解析：略
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
10．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
（1）求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
答案：见解析
解析：（1）P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．
（2）P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)·(x＋9)．
因为x >0，所以P ′(x )＝0时，x ＝12.
所以当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时P ′(x )<0，所以x ＝12时，P (x )有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
（3）MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305.所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N *，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少.
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
11．为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗，从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a 万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②当x ＝a
2时，y ＝a 3，并且技术改造投入比率(0,]2()
x
t a x ∈-，t 为常数且t ∈(0,2]．
（1）求y ＝f (x )的表达式及定义域；
（2）为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y 的最大值及相应的x 值． 答案：见解析
解析：（1）设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2
，当x ＝a 2时，y ＝a 3，即a 3
＝k a 24·
a 2，所以k ＝8.
所以f (x )＝8(a －x )x 2. 因为02()
x
t a x <
≤-，所以函数的定义域是0<x ≤2at 2t ＋1.
（2）f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)或x ＝2a
3. 当0<x <2a 3时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，2a
3)上是增函数；
当x >2a 3时，f ′(x )<0，所以f (x )在(2a 3，＋∞)上是减函数．所以x ＝2a
3为极大值点． 当
2at 2t ＋1
≥2a 3，即1≤t ≤2时，y max ＝f (2a 3)＝32
27a 3； 当2at 2t ＋1<2a 3，即0<t <1时，32
max 3
232()21(21)at a t y f t t ==++. 综上，当1≤t ≤2时，投入2a 3万元，y 的最大值为32
27a 3； 当0<t <1时，投入2at 2t ＋1万元，y 的最大值为32
332(21)a t t +.
点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模
12．两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造
垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065. （1）将y 表示成x 的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.
答案：见解析
解析：（1）如图，由题意知AC ⊥BC,22400BC x =-,22
4(020)400k
y x x x =+<<- 其中当102x =时，0.065y =，所以9k =. 所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x
=+<<-
（2）假设存在这样的点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小.
由于22
49
400y x x
=+-，所以42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=--, 令'0y =，得422188(400)x x =-，所以2160x =，得410x =. 当0410x <<时, 422188(400)x x <-，即'0y <，所以函数为单调减函数， 当41020x <<时, 422188(400)x x >-，即'0y >所以函数为单调增函数. 所以当410x =时，即当C 点到城A 的距离为10km 时， 函数22
49(020)400y x x x =
+<<-有最小值.故该点到城A 的距离为410 点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模 数学视野
16、17世纪许多科学问题亟待解决，这些问题也就成为了促使微积分产生的重要因素.这些问题归结起来主要有以下四类：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 可以看出，微积分的产生和发展与力学、物理学和几何学的发展紧密相联，微积分的许多基本概念都有实际背景，并受实际需要的推动.
微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展.如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具.
微积分产生的时代背景与发展充分说明，数学来源于实践又反过来作用于实践；数学中普遍存在着对立统一、运动变化、相互联系、相互转化；数学可提供自然现象、社会系统的数学模型；数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分.。