02-405二维随机变量函数的期望

且被积函数交换,不变. 故


+∞
1 −+


, = � � 2
4


7

+∞
1 −+


, = � � 2
4


+∞
=�

+∞

−− � −
定理: 设= (,)是(分区域)连续的函数,设(,)是
二维离
连
散
续
型
随机变量,联合密
分
度
布
律
为
,
= , = = ,,∈ ℕ+, ⋯ ,
+∞
+∞
若���(,(
),)
,绝对收敛,
−∞ −∞

令= ,,则
+∞
+∞
,) ,


= , = � � �(,)(

−∞

−∞
4
5
二、应用举例
例: 两元件并联构成系统,设元件寿命(单位:万小时)

).求系统的平均寿命.
6
1 −+
2
联合密度函数为(,)=�4

, > ,>
,
, 其他
1 −+
2
(,
平均寿命为
4
+∞ +∞ )
({,})= � �



(, )
,





−∞
−∞
因积分区域关于= 对称,
二维随机变量函数的期望内容提要教学要求是分区域连续的函数设是二维离连散续型随机变量联合密分度布律为求系统的平均寿命
概率论与数理统计（理工）
二维随机变量函数的期望
杨亮
四川大学数学学院
1
二维随机变量及其函数的期望
内容提要
二维随机变量函数的期望
教学要求
熟练掌握二维随机变量函数的期望的计算方法。
2
3
一、二维随机变量的函数

= ()− () =
从而系统的平均寿命为万小时.
8
谢谢观看!
10



(
与

独
立
同
服
从
于指
数分布
解: 因
∼

(

),


∼

(

),且相互独立





联合密度函数为(,)= ()
1 −+
2
= �4

, > ,>
,
, 其他
系统寿命为{,}.平均寿命为 ({,}).