用法向量求异面直线间的距离
计算长方体中的异面直线距离的几种方法
计算长方体中的异面直线距离的几种方法
1.有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
2. 常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
（2）转化为求线面间的距离。
过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。
（3）转化为求平行平面间的距离。
过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。
（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
（5）若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离就是异面直线的距离。
（6）几何公式法：设有两条异面直线a, b，a, b的公垂线AB长为d。
在a上找另一点C，b上找另一点D，AC=m，BD=n，CD=l，异面直线AC和BD所成角为θ。
第二公式：设异面直线a、b分别位于二面角α-l-β的半平面上，a与l交点为M，b与l交点为N，且MN=t。
a与l的夹角为θ1，b与l 夹角为θ2，二面角大小为θ3，a、b所成角为θ，则a、b之间距离为。
（7）向量公式法：设两条异面直线的方向向量为S1和S2，MN是两条直线上任意一点的连线的方向向量，则异面直线的距离。
异面直线间的距离(多种方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
一下是一些常用的方法 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法其中定义法、垂直平面法和向量法是常用的方法，可多练这三种方法。
1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
高二数学用平面法向量求空间距离
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂
ห้องสมุดไป่ตู้
线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
a
O A
| PA | | n PA | | n || PA |
| n PA| |n|
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
z S
B
Ay
xC
D
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行
用向量求立体几何中的距离问题
用向量求立体几何中的距离问题立体几何中的距离主要包括：两条异面直线间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，两个平行平面间的距离。
其中重点是异面直线间的距离和点到平面的距离，后两种距离可以转化为这两种距离去解决。
下面通过例题来说明前两种距离的向量解法。
1用向量求两条异面直线间的距离。
例1. 如图所示：已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCDPD=AB=1E,F 分别是PB,PD 的中的，求异面直线AE 与CF 间的距离。
分析；先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连线段在公共法向量上的射影长。
设a,b 是异面直线，n 是a,b 的公共法向量，点E ∈a,F ∈b,则异面直线a 与b的距离为解：以D 为原点，DC,DA,DP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D —xyz ，则C(1,0,0),B(1,1,0),A(0,1,0),P(0 ,0,1),E(21,21,21),F(0,0,21). ∴AE =(21,21,21-),CF =(-1,0,21),EF =(-0,21,21-).设n =(x,y,z)是异面直线AE 与CF 的公共法向量。
则⊥,⋅=0,即-x+21z=0.021=+-z x ∴z=2x. ,⊥∴,0212121,0=+-=⋅z y x 即∴.3x y = 令x=1,则).2,3,1(=n 所以异面直线AE 与CF间的距离为d =714142=. 小结：用向量法解两异面直线间的距离，其步骤是：（1）先求两条异面直线的一个公共法向量；（2）再求两条异面直线上两点的连线段在公共法向量上的射影长。
2．用向量求点到平面的距离在法向量例2.四边形ABCD 是边长为4的正方形E 、F 分别为AD 中点，GC ⊥ 平面ABCD,GC=2，求B 到平面GEF 的距离。
分析：建立适当的坐标系，求出平面EFG 的法向量，则在法向量方向上投影向量的模即为点B 到平面EFG的距离，即d = 。
空间向量求异面直线的距离方法
空间向量求异面直线的距离方法1. 直接法！嘿，你看，就像你要直接找到两个异面直线之间最短的那条线一样，非常直白地去求啊。
比如正方体里的两条异面棱，你就直观地去找到它们之间最短距离的那个线段。
2. 转化法呀！哎呀，这就像你走不通一条路，那咱就换条路走嘛。
把异面直线的距离转化成别的容易求的距离呀。
比如在三棱锥里，把异面直线的距离转化成求某个面到另一条线的距离。
3. 向量法呗！哇塞，这可厉害啦。
利用向量来搞定异面直线的距离。
就像有了个神奇的工具！比如在一个复杂的几何体中，用向量来算算异面直线的距离，超酷的好不好！4. 定义法呢！这不就跟你找东西按照规定的方法去找一样嘛。
按照异面直线距离的定义去求解呀。
就像找一个特定的宝藏，按照线索去找。
比如在一个棱柱里，根据定义慢慢找异面直线的距离。
5. 等体积法呀！嘿呀，这就好像不同的方法可以解决同一个问题一样。
通过等体积来求出异面直线的距离哟。
比如在一个四面体中，通过等体积的巧妙变换来求出需要的距离。
6. 最值法啦！想想看呀，就跟我们追求最好的结果一样。
找到某个关联量的最值来得到异面直线的距离。
像在一个特殊的图形中，通过巧妙地找最值来求出异面直线的距离。
7. 射影法哟！哇，这就像影子一样，通过它来找到距离呢。
比如在一个有特点的几何体中，利用射影的原理来求异面直线的距离。
8. 公式法咯！简单直接啊，用专门的公式来算。
就好像有个现成的答案等你用一样。
比如在某些典型的模型中，用适用的公式快速求出异面直线的距离。
9. 拼凑法呀！哈哈，就像是把零碎的东西拼凑起来一样。
通过巧妙地拼凑来找到异面直线的距离呢。
比如在一个不规则的几何体中，一点点拼凑出求解异面直线距离的条件。
我的观点结论是：这些方法各有特点，我们要根据具体情况灵活运用，总能找到异面直线的距离呀！。
求异面直线的方法
七种求异面直线距离的方法陶双喜 湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。
求这种 距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考 例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）： 如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。
故 MN 的长即为异 面直线AC 和BC 1的距离。
显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大 解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与 平面ABG 的距离。
如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。
图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。
即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。
异面直线上两点间的距离公式的应用
异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。
一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。
高二数学用平面法向量求空间距离
⑤异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点 到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模 或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的 模。
结论1
点 P 到平面a的距离可以通过，
在平面a内任取一点 A，求向量PA在
平面a的法向量n上的投影来解决.
例3、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
练习: SA 平面ABCD，DAB ABC 90，
SA AB BC a，AD 2a, z 求A到平面SCD的距离。 S
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
②点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。
③直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
d AB cos AB, n
n
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
练习:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
A
B x
异面直线距离求解方法
浅议异面直线距离求解方法638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。
在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。
本文就人教版高中数学第二册（下B ）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。
归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。
题目：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离。
一、利用定义求异面直线的距离利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。
然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“作”、“证”、“求”的步骤求解。
解：如图，连结C A ''，则AC ∥面D C A ''，连结D B BD '',分别与C A AC '',交于O O ',连O D C D D A ''',,，过O 作OE ⊥D O '于E∵C A ''⊥，面D D B B '' ∴C A ''⊥OE又OE ⊥,D O ' ∴OE ⊥面D C A ''因此OE 即为直线'DA 与AC 的距离.在Rt △D O O '中，,O O OD D O OE '•='•可求得.33=OE 二、利用向量方法求异面直线的距离利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用d =解：如右图所示，建立空间直角坐标系.可知：)0,1,1(-=)1,1,0(--='A D设),,1(μλ=n 且0,0='•=•A D n n即.001=--=+-μλλ且∴),1,1,1(=n 又)0,0,1(=，∴33==d ，故异面直线'DA 与AC 的距离是33. 三、利用等体积法求异面直线的距离利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。
求异面直线之间距离的四个技巧
异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。
求异面直线之间的距离的方法
求异面直线之间的距离的方法宝子，今天咱来唠唠求异面直线之间距离的方法呀。
有一种方法呢，叫定义法。
啥是定义法呢？就是直接根据异面直线距离的定义来求呗。
异面直线的距离就是公垂线段的长度呀。
这就像是在两条异面直线之间找一座最短的桥，这座桥得和两条直线都垂直呢。
不过这方法有时候不太好找这个公垂线段，就像在一堆乱麻里找一根特定的线一样麻烦。
再来说说向量法吧。
向量可是个很神奇的东西呢。
我们可以先找到两条异面直线的方向向量，再找一个向量，这个向量能和这两个方向向量都垂直。
就像给这两条异面直线找一个共同的“好朋友”向量。
然后呢，在两条异面直线上分别找个点，构成一个向量。
用这个向量和那个共同的“好朋友”向量做点积，再除以“好朋友”向量的模长，就有可能得到距离啦。
这就像是通过这个特殊的向量关系来算出两条异面直线之间的“小秘密”距离。
还有一种等体积法呢。
想象一下，把两条异面直线放到一个几何体里，比如说三棱锥。
然后利用三棱锥的体积不变这个特性。
我们可以换不同的底面和高来表示这个三棱锥的体积。
当我们巧妙地选择底面和高的时候，就可以通过体积的等式来求出异面直线之间的距离啦。
这就像是给三棱锥玩了个变身游戏，从不同的角度算出体积，然后揪出异面直线的距离这个小调皮。
宝子呀，这些方法各有各的妙处，在不同的题目里就像不同的小工具。
有时候可能一个方法就轻松搞定，有时候可能得试试好几个方法才能找到最合适的那一个。
多做做题目，你就会对这些方法越来越熟悉啦，就像和它们成了好朋友一样，一看到求异面直线距离的题，就能马上想到用哪个小妙招啦。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间得距离求异面直线之间得距离就是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间得距离,或转化为分别过两异面直线得平行平面间得距离,或转为求一元二次函数得最值问题,或用等体积变换得方法来解。
常用方法有: 1、 定义法2、 垂直平面法(转化为线面距)3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就就是先作出这两条异面直线得公垂线,然后求出公垂线得长,即异面直线之间得距离。
例1 已知:边长a 为得两个正方形ABCD 与CDEF 成1200得二面角,求异面直线CD 与AE 间得距离。
思路分析:由四边形ABCD 与CDEF 就是正方形,得CD ⊥AD,CD ⊥DE,即CD ⊥平面ADE,过D 作DH ⊥AE 于H,可得DH ⊥AE,DH ⊥CD,所以DH 就是异面直线AE 、CD 得公垂线。
在⊿ADE 中,∠ADE=1200,AD=DE=a,DH=。
即异面直线CD 与AE间得距离为。
2 垂直平面法:转化为线面距离,若a 、b 就是两条异面直线,过b 上一点A 作a 得平行线a /,记a /与b 确定得平面α。
从而,异面直线a 、b 间得距离等于线面a 、α间得距离。
例1 如图,BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,与棱分别成α、β角,又它们与棱得交点间得距离为d,求两条异面直线BF 、AE 间得距离。
思路分析:BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,∠EAB=α,∠FAB=β,AB=d,在平面Q 内,过B 作BH ‖AE,将异面直线BF 、AE 间得距离转化为AE 与平面BCD 间得距离,即为A 到平面BCD 间得距离,又因二面角P-AB-Q 就是直二面角,过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C,即AC ⊥平面ABD,过A 作AD ⊥BD 交于D,连结CD 。
求两条异面直线之间距离的两个公式
求两条异面直线之间距离的两个公式在三维几何中，两条异面直线之间的距离是指两条直线之间的最短距离。
在解决实际问题时，我们经常需要计算两条直线之间的距离，因此找到计算直线之间距离的公式对于解决问题非常重要。
下面将介绍两个计算异面直线之间距离的公式：点法式和向量法式。
1.点法式：假设有两条直线L1和L2，分别由点A1(x1,y1,z1)和A2(x2,y2,z2)以及方向向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)所确定。
步骤如下：1)选择L1上的任意一点P1，使用向量v1连接P1和A1、可以得到向量P1A12)在同一平面上，选择L2上的任意一点P2，使用向量v2连接P2和A2、可以得到向量P2A23)计算向量P1A1和向量P2A2的叉积，得到向量N。
叉积公式为：N=P1A1×P2A24)计算向量N的长度，即向量N的模长。
向量N的模长为：，N，=√(a3^2+b3^2+c3^2)。
5)计算点P1到直线L2的距离。
距离公式为：d=，[P2P1×N]，/，N，其中[P2P1×N]表示向量P2P1和向量N的叉积。
2.向量法式：假设有两条直线L1和L2，分别由点A1(x1,y1,z1)和A2(x2,y2,z2)以及方向向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)所确定。
步骤如下：1)计算两条直线的方向向量叉积，得到向量N。
叉积公式为：N=v1×v22)计算向量N的长度，即向量N的模长。
向量N的模长为：，N，=√(a3^2+b3^2+c3^2)。
3)选择L1上的任意一点P1和L2上的任意一点P2，计算向量P2P14)计算向量P2P1与向量N的点积，得到距离d。
点积公式为：d=，P2P1·N，/，N，其中[P2P1·N]表示向量P2P1和向量N的点积。
这两个公式可以用于计算两条异面直线之间的最短距离。
如果结果为正值，则表示直线L1与直线L2不相交，并且距离为计算结果；如果结果为零，则表示直线L1与直线L2相交；如果结果为负值，则表示直线L1与直线L2相交，但距离为零。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量法求异面直线的距离公式是一种用向量的方法来计算异面直线之间的距离的公式。
在三维空间中，有时候我们需要求出两条不在同一平面上的直线之间的距离，这时就可以使用向量法来解决这个问题。
下面我们将详细介绍向量法求异面直线的距离公式的推导和应用。
我们假设有两条异面直线，分别用参数方程表示为：直线1：r1(t) = a1 + tb1其中a1,a2分别为直线1和直线2的某一点，b1,b2为方向向量，t,u为参数。
我们首先要确定这两条直线之间的距离，可以通过向量的投影来实现。
假设有一条从直线1上的某一点a1到直线2上的垂足点P的向量p，则有p = a2 - a1 + s(b1 x b2)（1）其中x表示向量叉乘，s为比例因子。
p为两条直线之间的距离向量，我们需要求出它的模长作为实际距离。
为了简化运算，可以令p与b1垂直，即p·b1 = 0，代入公式(1)中得到：(a2 - a1 + s(b1 x b2)) · b1 = 0将s代入公式(1)中，即可求出向量p。
我们求出p的模长即可得到两条异面直线之间的距离。
需要注意的是，如果两条直线平行，则它们之间的距离为0；如果两条直线相交，则直线之间的距禀为0。
向量法求异面直线的距离公式在实际工程和物理问题中有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的梁之间的距离；在机械设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的零件之间的距禀。
掌握向量法求异面直线的距离公式对于解决实际问题具有重要意义。
第二篇示例：向量法求解异面直线距离的问题是解析几何中的一个重要问题。
异面直线是指两条不在同一平面内的直线，它们之间的距离是在空间几何学中一个非常基础的问题。
在实际问题中，当我们需要求解两条异面直线之间的距离时，使用向量法可以简化计算，提高效率。
首先我们来了解一下向量的相关知识。
在空间直角坐标系中，我们可以用一个有方向和大小的有向线段来表示一个向量。
高二数学 向量法求异面直线 点面距离
高二数学 向量法求异面直线 点面距离
【教学内容】
掌握用向量法求空间两条直线间距离，点与平面距离，，通过向量运算求出它们的距离。
【教学重点、难点】
向量知识在求距离方面的运用。
【德育目标】
培养学生辩证观，简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化。
【教学过程】
一、用向量法求异面直线距离
利用教材P33向量在轴上的射影的概念，A ‘B ’是异面直线AA ‘、BB ’公垂线，e 是与A ‘B ’共线的一个向量，n 是与A ‘B ’共线的一个向量，（n 称为异面直线AA ‘、BB ’的公共法向量），则
例1、正方体中，棱长为1，求AB1与A1C1的距离
练习：正方体中，棱长为a,用向量法求异面直线距离 （1）AA1与DB1 （2）DB1与A1C1 （3）D1A 与OC
二、用向量法求点面距离
对于平面a 外一点P ，在平面a 内任取一点M ，设n 是a 的任意法向量，则MP 在n 上的射影即为点面距离
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，E 分CB 所比为2：1，求点E 到面BDC1距离 练习2：如图，ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离
作业：P51 4
||n n =
||''n AB e AB B A =∙=|
||||''|n B A =∴||
||n n d ∙=。
两异面直线的最短距离
两异面直线的最短距离引言在三维空间中，存在着无数的直线。
当两条直线不在同一个平面上时，它们被称为异面直线。
本文将探讨如何计算两异面直线的最短距离，为读者提供一个深入了解该问题的指南。
什么是异面直线？异面直线是空间中两条直线，它们位于不同的平面上，因此永远不会相交。
直观地理解，可以将两条异面直线想象为两个平行于彼此的铁轨。
无论如何，它们都不会交叉或相交。
因此，计算两异面直线的最短距离成为一个值得探究的问题。
两异面直线的最短距离的计算方法计算两异面直线的最短距离需要使用向量和向量的点积公式。
下面将分步介绍具体计算方法。
步骤一：确定两直线的方向向量首先，我们需要确定两条直线的方向向量。
方向向量是指直线上的两个点之间的差值向量。
假设我们有两条直线分别为直线1和直线2，它们的方向向量分别为?1和?2。
步骤二：计算两直线的垂直向量接下来，计算两条直线的垂直向量。
垂直向量是直线的方向向量的叉积。
即，? = ?1 × ?2。
步骤三：确定两直线上的一点从直线1上选择一个点?1，可以是直线上的任意一点。
这个点将被用来计算两直线间的垂直距离。
步骤四：计算两直线间的垂直距离（即最短距离）最后，使用以下公式来计算两直线之间的垂直距离： ? = |(? − ?1) · ? |其中，点积表示两个向量之间的乘积。
计算得到的垂直距离即为两异面直线的最短距离。
示例问题：计算两异面直线的最短距离为了更好地理解计算过程，我们举一个实际的示例问题。
问题描述：已知直线1过点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，直线2过点C(-2, 0, 1)和点D(3, 1, 13)，计算两异面直线的最短距离。
步骤一：确定两直线的方向向量直线1的方向向量?1 = ?? = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) 直线2的方向向量?2 = ?? = (3-(-2), 1-0, 13-1) = (5, 1, 12)步骤二：计算两直线的垂直向量直接计算两个方向向量的叉积：? = ?1 × ?2 = ( 3×12 - 1×5, 5×3 - 5×12, 3×5 - 3×1) = (36, -51, 12)步骤三：确定两直线上的一点我们可以选择直线1上的点A(1, 2, 3)。
用“向量法”求异面直线距离
用“向量法”求异面直线距离
马进才
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2015(000)002
【摘要】空间异面直线的距离问题是立体几何的重点和难点，同时也是历届高考试题的热点问题．本文介绍用向量法求解这类问题．
【总页数】3页(P11-13)
【作者】马进才
【作者单位】河北省邯郸市第一中学,056000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.求异面直线距离的方法小结
2.例析求异面直线距离的常用方法
3.求异面直线距离的几种方法
4.求异面直线距离的六种转化方法
5.从一道错解题谈求异面直线距离的正投影法
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又由AG∥BE, 所以AG与BD间的距离就是A点到面DBEF的距离 同理可求得AG与BD间的距离为2/3.
总结: 1.求异面直线间的距离的关键 关键是找到经过一条直线与另一直线平 关键 行的平面.把向量通过坐标形式正确表示出来. 2.求异面直线间的距离的难点 难点是求这个平面的法向量. 难点 3.求异面直线间的距离的重点 重点是转化为求点到面的距离. 重点 4.求异面直线间的距离易错的 易错的是找连接直线和平面的向量. 易错的 5.用法向量解题的立几题的优点 优点是不需大量的逻辑推理,完全依 优点 靠计算就可以解决问题.不需要确定垂足的位置. 6.用法向量解题的立几模型 模型一般是:正(长)方体、直棱柱、正棱锥 模型 等.
用法向量求异面直线间的距离
法向量的定义：
如果向量a⊥平面α，那么 向量a叫做平面α的法向量.
异面直线间的距离
如何求A1D和AC 间的距离? ↓ 即求线AC与面 A1C1D的距离 ↓ 即求点A(或C)到 面A1C1D的距离 D1 C1
A1
B1
D C A B
A
求点到平面的距离
设A是平面α外的一点,AB 是α的一条斜线,交平面α于点B, 而n是平面α的法向量,那么向量 BA在方向n上的正射影长就是 点A到平面α的距离h. α h n
r n r n
u u ur DB = 0 u u ur DF = 0
即
x+ y = 0 1 2 y + z = 0
令x=1,y=-1,z=1/2
取n=(1,-1,1/2) , n=(1,-1,1/2)
r u u uu r n D A1 r n = 1
则A1到平面DBEF的距离h=
uuu u r r AA • n 1 3 = r 3 n
第三步：由于线AC平行于面A1C1D，所以点A到平面A1C1D 的距离就是异面直线A1D与AC间的距离. 所以，所求的距离为
3 3
小结：
求两条异面直线间的距离步骤如下 1.先找到经过一条直线并且与另一条直线平行的平面α 2.求α平面的法向量 n 3.找到连接线与面向量 4.求这个向量在法向量 n 上的射影长,即为所求.
D1
C1
作业:
A1 B1
D C A B
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 求异面直线AA1和BD1间的距离.
r uuu r n • AC = 0 r r uuuu n • A D = 0 1
设法向量n=(x,y,z)
解得 -x+y=0, x+z=0. 即 y=x, z=-x 所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1) 取n=(1,1,-1)
第二步:求A到平面A1C1D的距离 由图知AA1是平面A1C1D的斜线，向量AA1=（0，0，1） 在向量n上的射影长为 h=
练习：
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, E、F、G分别为B1C1、 C1D1和A1D1的中点,求：（1）点A1到平面DBEF的距离. （ 2） z 并求直线AG与BD间的距离. C1 D1 F G E A1 B1
D C A x B
y
解:
建立如图的空间直角坐标系, 则由题知
DB=(1,1,0) ,DF=(0,1/2,1) ,DA1=(1,0,1) , 且AG∥BE 设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z) ,则有:
)θ B
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uuu r r BA• n uuu r uuu r r h = BA ⋅ cos BA, n = r n
注意! 点B必须在平面内
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, 求直线 A1D和AC间的距离.
z 解:建立空间直角坐标系 第一步:先求平面 A1C1D的法向量 n 由题知:AC=(-1,1,0), A1D=(1,0,1) D C A x B y A1 B1 D1 C1