2022-2023学年广西南宁市高一年级上册学期12月联考数学试题【含答案】

南宁市2022-2023学年高一上学期12月联考 数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{}
8U x N x =∈≤，集合{}1,3,7A =，{}2,3,8B =，则()()U U C A C B =
（ ） A ．{}1,2,7,8
B ．{}4,5,6
C ．{}0,4,5,6
D ．{}0,3,4,5,6
2．“0a b >>”是“22
2
a b ab +<”（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不
充分也不必要条件 3．若函数2
211f x x x x
⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）
A
B ．3
C ．
D
或
4．已知某扇形的周长是6cm ，面积是2
2cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．1或
5
5．有一组实验数据如表：
A ．12
y x =
B ．2log y x =
C ．123
x y =
⋅
D ．23y x =-
6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为
lg 4.8 1.5E M =+．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出
来的能量是2008年5月12日我国汶川里氏8.0级地震的（ ）倍．（精确到1） （参考数据：0.5
10 3.2=， 1.51031.6=， 2.510316.2=， 4.81063095.7=）
A ．16
B ．32
C ．63
D ．72
7．已知偶函数()f x 与奇函数()g x 的定义域都是[]2,2-，它们在区间[]0,2上的图象如右图所示，则使得关于x 的不等式()()0f x g x ⋅<成立的x 的取值范围为（ ）
A ．()
()2,10,1-- B ．()()1,00,1- C ．()()1,01,2- D ．()()2,11,2-- 8．已知函数()221f x x x a =-+-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,0- C ．()1,2 D ．()2,1--
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数为偶函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ） A ．()2log f x x =
B ．()2
1
1f x x =
-
C ．()22x f x x =+
D ．()2f x x x =+
10．已知函数()f x 在R 上单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的值可能是（ ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
11．已知0log 2020log 2020a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．1b a >>
B ．2
2a
b --<
C ．
22
2b a a b
+> D ．若0m >，则
b b m a a m
+<+ 12．给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A ．函数()()log 211a x x f =--的图象过定点()1,0
B ．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，0x ≤时()2f x x x =+，则()f x 的解析式为
()2f x x x =-
C ．若1log 12a
>，则a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．若命题“x R ∃∈，使得2
1k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是1k ≤
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：()12
0512
2log 54⎛⎫
--+= ⎪
⎝⎭
． 14．函数()(
)2
ln 4f x x
=-的单调增区间是．
15．函数()f x x =
16．已知定义在[]2,0-上的函数()()()log 10,1a f x x a a =-+≠≥的值域是[]1,0-．若函
()x g x a m =+()x R ∈的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知集合{
}
2
280A x x x =--≤，103x B x x ⎧
-⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
．
（1）求A
B ；
（2）若{}
1C x x m =-≤，且C A ⊆，求实数m 的取值范围． 18．（12分） （1）解方程：2
2
224x
x x +-+=；
（2）解不等式()()()333log 1log 3log 35x x x +++<+． 19．（12分）
已知函数()()220f x mx mx n m =-+<在区间[]0,3上的最大值为5，最小值为1． （1）求m ，n 的值；
（2）若正实数a ，b 满足2na mb -=，求11
4a b
+的最小值． 20．（12分）
已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-．
（1）求函数()f x 的定义域及值域；
（2）设函数()()4log 23g x a x a =+++⎡⎤⎣⎦，若对任意的1x ，215,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 21．（12分）
已知函数()21
21
x x f x -=+．
（1）判断函数()f x 的奇偶性并加以证明；
（2）解关于x 的不等式()
()
()2
210f ax f a R ++-∈≥．
22．（12分）
已知函数()()
4log 41x
f x =+，x R ∈．
（1）若函数()f x 的图象与函数()4log 2x h x a =+的图象有公共点，求a 的取值范围； （2）设函数()()
4
21f x x g x m =+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最
小值为2，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
南宁市2022-2023学年高一上学期12月联考 数学答案
一、单选题：
13．
2 14．(]2,0-（写()2,0-也对） 15．4
16．(],1-∞-（写1m -≤也行） 6．设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是1E 和2E ，由题意：1lg 4.8 1.59.0E =+⨯，
2lg 4.8 1.5E =+⨯8.0．于是()()1
122
lg
lg lg 4.8 1.59.0 4.8 1.58.0 1.5E E E =-=+⨯-+⨯=，所以
1.51
2
1032E E =≈．故选：B ． 7．如图所示：当01x <<时，()0f x >，()0g x >，()()0f x g x ⋅>；当12x <<时，
()0f x <，()0g x >，()()0f x g x ⋅<，故当0x >时，其解集为()1,2，∵()y x f =是
偶函数，()y x g =是奇函数，∴()()f x x g ⋅是奇函数，由奇函数的对称性可得：当0x <时，其解集为()1,0-，综上：不等式()()0f x g x ⋅<的解集是()
()1,01,2-．故选：C ．
8．由()0f x =得212a x x -=-，因为函数()221f x x x a =-+-有四个不同的零点，所以函数1y a =-与22y x x =-的图象有四个交点，画出函数22y x x =-的图象，如图
所示，观察图象可知，011a <-<，即12a <<，所以实数a 的取值范围是()1,2．故选：C
二、多选题：
9．AD 【解析】
对A ，()2log f x x =为偶函数且在()0,+∞上是增函数，故A 正确；对B ，()2
11f x x =
-为偶函数且在()0,+∞上是减函数，故B 错误；对C ，()22x f x x =+不为偶函数，故C 错误；对D ，()2f x x x =+为偶函数且在()0,+∞上是增函数，故D 正确．故选：AD 10．CD
【解析】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-．∵()11f =-，∴()()111f f -=-=．故由()12f x --≤1≤，得()()()121f f x f --≤≤．又()f x 在R 上单调递减，∴
121x --≤≤，∴13x ≤≤．故选CD ．
11．BCD
【解析】由0log 2020log 2020a b <<，得1a b >>，故A 错误，B
正确；因为
22b a a b +>=2>，故C 正确；若0m >，因为()()()()()
0b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故b b m a a m +<+．
12．BCD 【解析】
对A ．令211x -=，解得1x =，所以函数经过定点()1,1-，故A 错误；对B ．当0x >时，
0x -<，由条件可知()()()()11f x f x x x x x =-=--+=-，则()f x 的解析式为
()()()1,0
1,0
x x x f x x x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，即()2f x x =x -，故B 正确；对C ，当1a >，若
1log 1log 2a
a a >=，解得102a <<，所以a 的值不存在；当01a <<，若1log 1log 2a a a >=，解得12a >
，所以112a <<；综上可知a 的取值范围是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
，故C 正确；对D ，“x R ∃∈，
使得2
1k x >+成立”是假命题等价于“R x ∀∈，都有2
1k x +≤恒成立”是真命题．
因为
211x +≥，即21x +的最小值为1，要使21k x +≤恒成立，只需()
2min
1k x +≤，即
1k ≤．故D 正确．
三、填空题：
15
．令t =，则0t ≥且2
1x t =+，2
2
13
124
y t t t ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以当12t =时，
min 3
4
y =
． 16．(],1-∞-
【解析】函数()()log 1a f x x =-+（0a >且1a ≠在[]2,0-上的值域是[]1,0- 当1a >时，()()log 1a f x x =-+单调递减
∴()()
2log 300log 11a a f f -==⎧⎪⎨==-⎪⎩，无解
当01a <<时，()()log 1a f x x =-+单调递增，
∴()()2log 310log 10
a a f f -==-⎧⎪⎨==⎪⎩，解得13a =
∵()13x
x
g x a m m ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
的图象不经过第一象限，
∴()0
1003g m ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
≤解得1m -≤，故为(],1-∞-
解答题： 17．解：
（1）因为{}
24A x x =-≤≤， 由
103x x -<+得：()()130x x -+<（或：1030x x ->⎧⎨+<⎩或10
30x x -<⎧⎨+>⎩
） ∴31x -<<， ∴{}
31B x x =-<<， 所以{}21A
B x x =-<≤；
（2）因为{}
24A x x =-≤≤，{}
11C x m x m =-+≤≤， 当C A ⊆时，可得14
12
m m +⎧⎨--⎩≤≥（不等式组中每个不等式1分）
解得：13m -≤≤
故m 的取值范围为[]1,3-（或13m -≤≤或{}
13m m -≤≤均可）
18．解：
（1）原方程化为2
2
2422x
x x +-+=，（只要同底2或4等，可给1分）
等价于2
224x x x +-=+，即2
60x x --=，（只要能体现指数相等，可给1分） 解得：2x =-或3x =，所以原方程的解为2x =-或3x =。

（对一个给1分，全对给2分） （2）原不等式化为()()()33log 13log 35x x x ++<+，（移项不给分，能体现对数运算给1分）
又因为函数3log y x =是增函数，
原不等式等价于()()1013035
3503
133521
x x x x x x x x x x +>⇒>-⎧
⎪+>⇒>-⎪⎪
⎨+>⇒>-⎪⎪++<+⇒-<<⎪⎩，（能体现真数相等、一个定义域等，可给1分；全对给2分）
解得11x -<<，原不等式的解集为{}
11x x -<<。

（对一个区间端点给1分，全对2分） 说明：慎重0分，只要能体现同底后指数相等、对数运算法则，无论对否都可以给分。

19．解：
（1）由()()220f x mx mx n m =-+<，可得其对称轴方程为1x =
所以由题意有()()()()max min
125
3961f x f m m n f x f m m n ⎧==-+=⎪⎨==-+=⎪⎩，
解得1m =-，4n =（每个结果1分）．
（2）由（1）得正数a ，b 满足42na mb a b -=+=，
因为(
)11111117117172541424242488b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++=+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2
5
a b ==时等号成立． 所以
114a b +的最小值为258
． 20．解：
（1）根据题意可得10
30x x +>⎧⎨
->⎩
解得13x -<<，
所以函数()f x 的定义域为()1,3-
()()()()2
444log 1log 3log 14f x x x x ⎡⎤=++-=--+⎣⎦
令()()2
14t x x =--+，由()1,3x ∈-，得()(]0,4t x ∈ 设()4log p t t =，由(]0,4t ∈，得()(],1p t ∈-∞
即函数()f x 的值域为(],1-∞
（2）若对任意的1x ，215,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()()12f x g x ≤恒成立，
则对任意的1x ，215,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()()12max f x g x ⎡⎤⎣⎦≤ 由（1）得()1f x 在区间15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()11f = 即()()242log 231g x a x a =+++⎡⎤⎣⎦≥，()2234a x a +++≥ 即对任意的215,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，()2210a x a ++-≥恒成立
设()()21h x a x a =++-，
由100258027h a h a ⎧⎛⎫
⇒≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⇒- ⎪⎪⎝⎭
⎩≥≥≥（对一个得1分）
∴0a ≥
所以实数a 的取值范围是[)0,+∞． 21．解：
（1）由210x
+≠得：x R ∈，即()f x 的定义域为R ；
（只要指出定义为R ，就给这1分．不指明定义为R ，这1分不给）
因为()()1
1211221211212
x
x
x x x
x f x f x ------====-+++（写出()2121x x
f x ----=+给1分，化简得1212
x
x
-+给1分） 所以()f x 为定义在R 上的奇函数
（2）()212122
1212121
x x x x x
f x -+-===-+++ 因为210x
y =+>恒成立，且在上R 单调递增，所以2
21
x y =+在R 上单调递减 所以()2
121
x f x =-
+在R 上单调递增 （或用定义证明：设12x x <，则()()()()
1221
121211212122021212121x x x x x
x x x f x f x ----=-=<++++
故()f x 在R 上单调递增）
（总之得到单调递增这一结论得1分，说清楚理由得1分）
由(
)
()
2
210f ax f ++-≥得(
)
()()
2
211f ax f f +--=-≥
原不等式等价于221ax +-≥，即210ax ++≥ （分类讨论）
①当0a =时，解不等式10+≥，得x x ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
≥；
②当0a >且840a ∆=-≤即2a ≥时，解不等式得{}
x x R ∈； ③当0a >且840a ∆=->即02a <<时，解不等式得
x x x ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
；
④当0a <时，显然0∆>，解不等式得x ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
．
分类讨论：1类给1分，若分类对了，解集错了，综合起来，酌情给不超过一半的分． 22．解：
（1）原题意等价于方程(
)
44log 41log 2x
x
a +=+有实根， 即方程(
)
44log 41log 2x
x
a =+-有实根，（等同于联立方程）
即44411
log log 222x x x
x a +⎛⎫
==+ ⎪⎝
⎭
（对数运算） 由x R ∈，得20x
>，1
222
x
x +
≥， 4411log 2log 222x x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭≥
所以12a ≥
，故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． （2）方法一： 由题意可得()()
4
2142f x x x x g x m m =+⋅-=+⋅，[]20,log 3x ∈，
由题意，存在实数m ，使422x
x
m +⋅≥在[]20,log 3x ∈成立，
224x x m ⋅-≥，故2
22
x x m -≥
恒成立， 函数222
x
x y =
-在[]20,log 3x ∈上单调递减，
所以当0x =时，2
22
x x y =-有最大值1， 故1m ≥
而当1m =，当0x =时，()2g x =，所以当1m =时，使得()g x 最小值为2． （2）方法二： 由题意可得()()
4
2142f x x x x g x m m =+⋅-=+⋅，[]20,log 3x ∈，
令2x
t =，则[]1,3t ∈，（换元并写出t 的范围）
设()2p t t mt =+，[]1,3t ∈，()p t 的最小值即为()g x 的最小值， ①当2m -≥时，12
m
-
≤， 所以()()min 112p t p m ==+=，解得1m =，满足2m -≥； ②当62m -<<-时，132
m <-< 所以()2
min
224m m p t p ⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
，解得m ∈∅
③当6m -≤时，32
m
-
≥， 所以()()min 3932p t p m ==+=，解得7
3
m =-
（舍）． 综上所述，存在1m =，使得()g x 最小值为2．。