高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质课件7 新人教B版选修11
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析问题与解决问题的能力.
重点:双曲线的渐近线、离心率. 难点:渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关系.
温故知新
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（ ０< 2a<|F1F2|）
双曲线的图象特点与 y
几何性质是怎样?
M
双曲线图象
F1 o F2 x
y
M F2
x
F1
类似于椭圆几何性质的研究.
课题：双曲线的简单几何性质（一）
第 5 课时 双曲线的简单几何性质
1.了解双曲线的简单几何性质,并能利用这些简单几 何性质求标准方程.
2.进一步掌握待定系数法的解题方法. 3.进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作
用,提高解方程组和计算的能力,能利用双曲线的定义、标 准方程、几何性质,解决与双曲线有关的实际问题,提高分
e c (e 1) a
ybx a
e c (e 1) a
ya x b
课堂小结
1.本堂课的主要内容为双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线方程、 离心率是双曲线的几何性质，渐近线是双曲线特有的几何性质
2、待定系数法求双曲线标准方程，由于双曲线焦点位置没有明确，若 不分情况讨论，将会造成解法的片面性
(4)等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
⑸在 a 、b 、c 、e 四个参数中,知二求二. ∵ e c , a2 b2 c2 a
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0)
x ≥a , 或 x ≤ a，y R
⑵ e 的范围:
c>a>0
a
e >1
⑶ e 的含义:
b c2 a2 ( c )2 1 e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且 e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
x(即 x a
y b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)的渐近线方程为y
a b
x(即 y a
x b
0)
巩固练习：填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32
程
2a
82
9x 2 y 2 81 6
2b
4
18
范围
|x|≥ 4 2 |x|≥3
顶点
4 2,0
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
y≥a , 或 y ≤ a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a）
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
焦点 a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c a b 2
2
2 (c最大，a、b无大小之分)
新授知识
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,
b
0)的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
1,即x2
a2
y
b a
x
ybx y
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0) 的渐近线为 y x
a
b B2
y b x a
(2) 利用渐近线可以较准确的画出 A1
双曲线的草图
A2
o a
x
B1
双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e
c
,叫做双曲线的离心率.
3、根根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：
①画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意 对角线的斜率的确定
②若给出双曲线的标准方程，将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得 到双曲线的渐近线方程
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)的渐近线方程为y
b a
(±3,0)
焦点
6,0
3 10,0
离心率 渐进线
e 3 2 2
y 2 x 4
e 10
y=±3x
x 2 y 2 4
4 4
|y|≥2 (0,±2)
0,2 2
e 2 y x
x 2 y 2 1 49 25
10 14
|y|≥5 (0,±5)
0, 74
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b 0) 的渐近线为
e 74 5
y5x 7
x a,或x a
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
重点:双曲线的渐近线、离心率. 难点:渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关系.
温故知新
双曲线定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（ ０< 2a<|F1F2|）
双曲线的图象特点与 y
几何性质是怎样?
M
双曲线图象
F1 o F2 x
y
M F2
x
F1
类似于椭圆几何性质的研究.
课题：双曲线的简单几何性质（一）
第 5 课时 双曲线的简单几何性质
1.了解双曲线的简单几何性质,并能利用这些简单几 何性质求标准方程.
2.进一步掌握待定系数法的解题方法. 3.进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作
用,提高解方程组和计算的能力,能利用双曲线的定义、标 准方程、几何性质,解决与双曲线有关的实际问题,提高分
e c (e 1) a
ybx a
e c (e 1) a
ya x b
课堂小结
1.本堂课的主要内容为双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线方程、 离心率是双曲线的几何性质，渐近线是双曲线特有的几何性质
2、待定系数法求双曲线标准方程，由于双曲线焦点位置没有明确，若 不分情况讨论，将会造成解法的片面性
(4)等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
⑸在 a 、b 、c 、e 四个参数中,知二求二. ∵ e c , a2 b2 c2 a
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0)
x ≥a , 或 x ≤ a，y R
⑵ e 的范围:
c>a>0
a
e >1
⑶ e 的含义:
b c2 a2 ( c )2 1 e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且 e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
x(即 x a
y b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)的渐近线方程为y
a b
x(即 y a
x b
0)
巩固练习：填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32
程
2a
82
9x 2 y 2 81 6
2b
4
18
范围
|x|≥ 4 2 |x|≥3
顶点
4 2,0
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
y≥a , 或 y ≤ a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a）
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
焦点 a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c a b 2
2
2 (c最大，a、b无大小之分)
新授知识
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,
b
0)的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
1,即x2
a2
y
b a
x
ybx y
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0) 的渐近线为 y x
a
b B2
y b x a
(2) 利用渐近线可以较准确的画出 A1
双曲线的草图
A2
o a
x
B1
双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e
c
,叫做双曲线的离心率.
3、根根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：
①画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意 对角线的斜率的确定
②若给出双曲线的标准方程，将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得 到双曲线的渐近线方程
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)的渐近线方程为y
b a
(±3,0)
焦点
6,0
3 10,0
离心率 渐进线
e 3 2 2
y 2 x 4
e 10
y=±3x
x 2 y 2 4
4 4
|y|≥2 (0,±2)
0,2 2
e 2 y x
x 2 y 2 1 49 25
10 14
|y|≥5 (0,±5)
0, 74
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b 0) 的渐近线为
e 74 5
y5x 7
x a,或x a
(-x,y)
(x,y)
-a o a
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线