创界学校高三数学第四次模拟测试试题 文含解析 试题

智才艺州攀枝花市创界学校宁夏六盘山高级2021届高三数学第四次模
拟测试试题文〔含解析〕
本卷须知： 1
2．选择题答案使需要用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．做答时，必须将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或者非题号对应区域之答案一律无效．
一、选择题：〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕 1.集合2{|21},{|30}A x x B x x x =-<<=-≤，那么A B =〔〕
A.(0,1)
B.(2,3]-
C.[0,1)
D.(1,3]
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出集合B ，再进展交集运算即可. 【详解】集合{}2{|30}03B x x x x x =-≤=≤≤，所以{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<=
应选C.
【点睛】此题考察一元二次不等式的解法，集合的交集运算，属根底题. 2.“2,0x x R e x ∀∈->〞的否认是〔〕
A.0
2
00,0x x R e x ∃∈-> B.0
2
00,0x x R e x ∃∈-≤ C.0200,0x x R e x ∃∈-≥
D.0
200,0x x R e
x ∃∈-<
【答案】B 【解析】 【分析】
. 【详解】
2,0x x R e x ∀∈->〞的否认是:“02
00,0x x R e x ∃∈-≤〞
所以B 选项符合. 应选：B 【点睛】.
3.0a
>，2log (0)()1
(0)
x
x
x f x a x >⎧=⎨-≤⎩，且
(2)3f -=，那么1
(())4
f f =〔〕
A.3
B.3-
C.4-
D.34
-
【答案】A 【解析】 【分析】 求出
1
()4
f 的值，根据(2)3f -=，即得答案. 【详解】
211log 244f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，又
()23f -=，
()1234f f f ⎛
⎫
⎛⎫∴=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 应选：
A .
【点睛】此题考察分段函数求值，属于根底题. 4.等比数列{}n a 中，22a =，68a =，那么4a =〔〕
A.4
B.4±
C.4-
D.5
【答案】A 【解析】 【分析】
由等比数列知识可知4
6
2
4a q
a =
=，进而求出2q 的值，再由242a a q =⋅进展计算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
所以4
628
42
a q a =
==，所以22q =，
所以242224a a q =⋅=⋅=.
应选：A .
【点睛】此题考察等比数列通项公式的应用，侧重考察对根底知识的理解和掌握，考察计算才能，属于常考题.
5.由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大〞，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大〞是 A.类比推理 B.归纳推理
C.演绎推理
D.以上都不
是 【答案】A 【解析】
试题分析：从推理形式上看，由特殊到特殊的推理是类比推理，由局部到整体，个别到一般的推理是归纳推理，由一般到特殊的推理是演绎推理． 考点：逻辑推理.
6.以以下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影局局部别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域
的概率记为()P M ，那么〔〕
A.()()P A P M >
B.()()P A P M <
C.()()P
A P M =
D.()P
A 与()P M 的大小关系与半径长
度有关 【答案】C 【解析】 【分析】
利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影局部的面积，得到阴影局部A 的面积＝阴影局部M 的
面积，即可求解.
【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R R ， 阴影局部
A 的面积为212R ，空白局部的面积为2
21142
R R π-，
阴影局部M 的面积为：2
2
221111224
22R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影局部
A 的面积＝阴影局部M 的面积，所以P
A P M （）＝（），应选C. 【点睛】此题主要考察了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影局部的面积是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 7.某圆锥的侧面展开图是圆心角为23
π
，面积为3π的扇形，那么该圆锥的底面半径为〔〕 A.4 B.3
C.2
D.1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.
【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，那么
212323
l ππ⨯⨯=，解得3l =，
所以，圆锥的底面圆周长为2223
r l π
ππ=
=，解得1r =. 应选：D.
【点睛】此题考察圆锥底面半径的计算，考察了圆锥侧面积的计算，考察计算才能，属于根底题. 8.以下函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是〔〕
A.
cos 22y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B.
sin 22y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C.sin2cos2y x x =+
D.
sin cos y x x =+
【答案】A 【解析】 【分析】
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】解：y ＝cos 〔2x 2
π
+
〕＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确
y ＝sin 〔2x 2
π+
〕＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；
y ＝sin2x +cos2
x =〔2x 4
π+〕，函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；
y ＝sin x +cos
x =
〔x 4
π+
〕，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；
应选A ．
考点：三角函数的性质.
9.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如以下图，ABC 满足“勾三股四弦五〞，其中股4AB =，D 为弦BC 上一点〔不含端点〕，且ABD △满足勾股定理，那么cos ,AB AD <
>=〔〕
A.
3
5 B.
45
C.
34
D.
512
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高
AD
的长，再根据向量数量积公式转化，并计算
cos ,AB AD <>的值.
【详解】由题意可知
AD BC ⊥，所以根据等面积转化可知
435BA AC BC AD AD ⨯=⨯⇔⨯=⨯，解得：125
AD =
()
2
AB AD AD DB AD AD
⋅=+⋅=，2
3cos ,4
5
4AD AB AD AD
AB AD AB AD
AD
⋅<>=
=
=
=
. 应选：A
【点睛】此题考察向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考察转化与化归的思想，计算才能，属于根底题型. 10.在
ABC 中，设,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边长，且直线cos cos 0ax y A B +-=与
cos cos 0x B by A -+=垂直，那么ABC 一定是〔〕
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角
三角形 【答案】C 【解析】
【分析】 此题首先可以结合角
,,A B C 是ABC 的内角排除两条直线一条平行于x 轴、一条平行于y 轴的情况，
然后根据两直线垂直得出cos cos 0a B b A ，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即
可得出结果.
【详解】当cos 0A =，cos 0B =时，两直线方程为0x =、0y =，互相垂直，
因为角
,,A B C 是ABC 的内角，所以cos A 与cos B 不可能同时为0，故排除这种情况，
因为直线cos cos 0ax y A B +-=与cos cos 0x B by A -+=垂直， 所以cos cos 0a B
b A ，
即sin cos cos sin 0A B A B -=，()sin 0A B -=，A B =，
故
ABC 一定是等腰三角形，
应选：C.
【点睛】此题考察两直线垂直的相关性质，假设两直线0Ax By C ++=与0Dx Ey F ++=垂直，那
么满足一条直线平行于x 轴、一条直线平行于y 轴或者0A D B E ，考察计算才能，考察化归与
转化思想，是中档题.
11.12,F F 是双曲线C 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，126
F PF π
∠=
，且2121()0
F F F P F P +⋅=，那么双曲线C 的离心率为〔〕
1
B.
1
2
1
【答案】D 【解析】
【分析】
设N 为1PF 的中点，由2121()0
F F F P F P +⋅=，可得12F F P 为等腰三角形，由双曲线的定义可得
122PF a c =+，在直角三角2PNF
中，122
cos 2PN a c F PF PF c +∠=
=
=可求出答案. 【详解】如图，设N 为1PF 的中点，那么21222F F F P F N +=, 由2121()0F F F P F P +⋅=，即210
F N F P ⋅=,所以21F N F P ⊥
所以
12F F P 为等腰三角形，1222F F F P c ==
由双曲线的定义有：122PF F P a -=，所以122PF a c =+
那么
PN a c =+
在直角三角2PNF 中，126
F PF π
∠=
，所以12
2
cos 2PN a c F PF PF c +∠=
=
=
所以
1a c +=
e =应选：D
【点睛】此题考察向量在平面解析几何中的应用，求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理，属于中档题. 12.函数()(),x x f x x e e -=-且313
(log )(log )2(1),+≤f x f x f 那么x 的取值范围是〔〕
A.1[
,1]3
B.[1,3]
C.1[
,3]3
D.1
(,
][3,)3
-∞+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数，不等式等价于
()()3log 1f x f ≤，再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式.
【详解】由题意可知x ∈R ，
()()()x x f x x e e f x --=--=
()f x ∴是偶函数，
且当0x
>时，()()()0x x x x
f x e e x e e --'=-++>，
∴在区间()0,∞+上，函数()f x 单调递增，
133
log log x x =-，()()133
3log log log f x f x f x ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭
∴原不等式等价于()()32log 21f x f ≤⇔()()3log 1f x f ≤，
即
3log 1x ≤，即31log 1x -≤≤，
解得：
133x ≤≤，即不等式的解集是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 应选：C
【点睛】此题考察函数的奇偶性和单调性，以及利用函数性质解抽象不等式，对数不等式，重点考察转化与化归的思想，计算才能，属于中档题型.
二、填空题：〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕 13.假设复数()211z m m i =--+是纯虚数，那么实数m =____________．
【答案】1 【解析】 【分析】
根据复数z 为纯虚数得出复数z 的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数m 的值.
【详解】由于复数()2
11z m m i =--+为纯虚数，那么21010m m ⎧-=⎨+≠⎩
，解得1m =.
故答案为：1.
【点睛】此题考察利用复数的概念求参数，考察计算才能，属于根底题. 14.等差数列{}n a 中，14730a a a ++=，36924a a a ++=，那么其前9项和9S =____________．
【答案】81 【解析】 【分析】
由等差数列的性质：假设m n p q +=
+，那么m n p q a a a a +=+可得14743a a a a ++=，即可求
出4a 的值，同理可求得6a ，根据求和公式及等差的性质可得，194699()9()
22
a a a a S ++=
=，代入
数据即可求解.
【详解】在等差数列中1474330a a a a ++==，所以410a =，同理3696324a a a a ++==，所
以6
8a =，所以194699()9()9(108)
81222
a a a a S ++⨯+=
===. 故答案为81.
【点睛】此题主要考察等差数列的性质及前n 项和的计算，注意灵敏应用此性质，可大大降低计算难度，
属根底题. 15.曲线
()cos x f x e x x =+在点(0,(0))f 处的切线方程为____________． 【答案】
21y x =+
【解析】 【分析】
求出导函数，得(0)2f '=，即切线斜率，然后可得切线方程． 【详解】由()cos x f x e x x =+，那么(0)1f =
由题意
()cos sin 1x x f x e x e x '=-+，那么(0)2f '=
所以曲线
()cos x f x e x x =+在点(0,(0))f 处的切线的斜率为(0)2k f '==
所以所求切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+
故答案为：
21y x =+
【点睛】此题考察导数的几何意义，函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是
()000()()y f x f x x x '-=-．属于根底题.
16.正三棱柱111ABC A B C -
的所有棱长都相等，M 是棱11A B 的中点，那么异面直线AM 与BC 所成
角的余弦值为__________．
【答案】
10
【解析】 【分析】
将正三棱柱补成如以下图的四棱柱，那么MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角，解三角形即可． 【详解】解：将正三棱柱补成如以下图的四棱柱1111ABCD A B C D -，其中//AB CD ，//AD BC ，
连接MD ，1MD ， 因为//AD BC ，所以MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角〔或者其补角〕
，
设
12AB BC AA x ===，那么1A M x =，AM =，
∵111A B C ∆为正三角形，∴111=120B A D ∠︒，
由余弦定理得2
221111D M A D A M =+1112cos120A D A M -⋅︒221
4222
x x x x =++⋅⋅⋅，
∴1D M
=，那么DM =，
∴222cos
2AM AD DM MAD AM AD +-∠=⋅222
10==-
，
∴异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为
【点睛】此题主要考察异面直线所成的角，考察计算才能，属于根底题．
三、解答题：〔一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23为选考题，考生根据要求答题〕 〔一〕必考题：〔每道题12分，一共60分〕 17.
ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且BA BC S ⋅=．
〔1〕求tan B 的值； 〔2〕假设3
cos 5
A =
，2c =，求b ． 【答案】〔1〕tan 2B =；〔2〕2. 【解析】 【分析】
〔1〕由BA BC S
⋅=得1
2
cos sin ac ac B
B =，即可求出tan B 的值； 〔2〕由tan 2B =和22sin cos 1B B +=，易得sin B 和cos B 的值，再由3
cos 5
A =
可得出sin A 的值，进一步可得sin sin()sin C
A B B =+=，进而得出B C =，最后得出2b c ==. 【详解】〔1〕由BA BC
S
⋅=得12
cos sin ac ac B
B =，即1
2cos sin B B =，
∴sin tan 2cos B
B
B
=
=； 〔2〕∵tan 2B =，∴sin 2cos B
B
=，即sin 2cos B B =，①
又∵22sin cos 1B B +=，②
又(0,)B π∈，
由①②可得sin B =
cos B =
，
又3cos 5A =
，(0,)A π∈，4sin 5
A ∴==， sin
B =，
∴B C =或者B C π+=〔舍去〕，故ABC 为等腰三角形，
所以2b c ==．
【点睛】此题主要考察三角形的面积公式，考察同角三角函数的根本关系，考察简单三角恒等变换，考察逻辑思维才能和运算求解才能，属于常考题.
18.在贯彻精准扶贫的过程中，某单位在某定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户，工作组对这100户村民的年收入、劳动才能、子女受教育等情况等进展调查，并把调查结果转换为贫困指标x ，再将指标x 分成
[)0,0.2、[)0.2,0.4、[)0.4,0.6、[)0.6,0.8、[]0.8,1.0五组，得到如以以下图所示的频率分布直
方图．假设规定00.6x ≤<，那么认定该户为“绝对贫困户〞，否那么认定该户为“相对贫困户〞，且
当0.8 1.0x ≤
≤时，认定该户为“低收入户〞，当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户〞．此次
调查中甲村的“绝对贫困户〞占甲村贫困户的24%．
〔1〕完成以以下联表，并判断是否有90%的把握认为“绝对贫困户〞数与村落有关； 〔2〕某HY 决定在这两村贫困指标在
[)0,0.2、[)0.2,0.4内的贫困户中，利用分层抽样抽取6户，现从
这6户中再随机选取2户进展帮扶，求所选2户中至少有一户是“亟待帮助户〞的概率．
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】〔1〕列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关；〔2〕5
. 【解析】 【分析】
〔1〕计算出甲村中“绝对贫困户〞的户数，计算出甲、乙两村的“绝对贫困户〞户数之和，可得出22⨯列联表，可计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；
〔2〕计算出所抽取的6户中，抽到的“亟待帮助户〞户数为2，分别记为a 、b ，抽到不是“亟待帮助户〞户数为4，分别记为
A 、
B 、
C 、
D ，列举出所有的根本领件，并确定事件“所选2户中至少有一
户是“亟待帮助户〞〞所包含的根本领件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】〔1〕由题意可知，甲村中“绝对贫困户〞有500.2412⨯=〔户〕， 甲、乙两村的“绝对贫困户〞有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=〔户〕
， 可得出下表：
所以2K
的观测值
()2
1001232183812
2.70630705050
7
k ⨯⨯-⨯=
=
<⨯⨯⨯， 查表可知，没有90%的把握认为“绝对贫困户〞数与村落有关； 〔2〕贫困指标在
[)00.4,
内的贫困户一共有()0.250.50.210015+⨯⨯=〔户〕， 亟待帮助户一共有0.250.21005⨯⨯=〔户〕，
所以利用分层抽样抽取6户，抽到的“亟待帮助户〞户数为5
6215
⨯
=〔户〕
，分别记为a 、b ， 抽到不是“亟待帮助户〞户数为624-=〔户〕，分别记为A 、B 、C 、D ，
所有的根本领件有：
(),a b 、(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、
(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),B C 、(),B D 、(),C D ，一共15个，
其中，事件“所选2户中至少有一户是“亟待帮助户〞〞所包含的根本领件有：(),a b 、(),a A 、()
,a B 、
(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D ，一共9个.
因此，事件“所选2户中至少有一户是“亟待帮助户〞〞的概率为93
155
P
=
=. 【点睛】此题考察利用HY 性检验解决实际问题，同时也考察了古典概型概率的计算，考察数据处理才能与计算才能，属于中等题.
19.如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面互相垂直，
2AB =，1EF =， 〔1〕求证：平面
ADF ⊥平面BCF
〔2〕假设几何体F BCE -和几何体F ABCD -的体积分别为1V 和2V ，求12:V V . 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕12:1:4V V =.
【解析】 【分析】
〔1〕由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD BF ⊥，由圆的直径的性质得BF AF ⊥，故得
出BF
⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；
〔2〕F BCE
C BEF V V --=，设A
D BC a ==，那么可用a 表示出1V ，2V ，从而得出体积比．
【详解】〔1〕∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =
，
AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，
∴
AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ，∴AD BF ⊥，
∵AB 是圆O 的直径， ∴BF AF ⊥，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =，
∴BF
⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ，
∴平面DAF ⊥平面CBF ；
〔2〕如图，连结OE 、OF ，那么1OE OF EF ===，
∴
AOF ，OEF ，BOE △是等边三角形，
过F 作FM AB ⊥于M ，那么2
FM =
，FM ⊥平面ABCD ，设AD BC a ==，
那么11111332F BCE C BEF BEF
V
V V S BC a --===⋅=⨯⨯=△，
21123323
F ABCD ABCD V V S FM a -==⋅=⨯⨯=
矩形．
∴121:4123
:V
V =
=：. 【点睛】此题考察平面与平面垂直的断定，考察棱锥体积的求法，考察空间想象才能和计算才能，属于常考题.
20.双曲线2
213
x y -=的左右焦点分别为12,F F ，12PF F △的周长为12．
〔1〕求点P 的轨迹C 的方程．
〔2〕点(8,0)Q ，是否存在过点Q 的直线l 与曲线C 交于不同的两点,M N ，使得22||||MF NF =，
假设存在，求出直线l 的方程，假设不存在，请说明理由．
【答案】〔1〕22
1(0)1612
x y y +=≠；
〔2〕不存在，答案见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕依题意根据椭圆的定义可知点P 的轨迹为椭圆，〔除去与x 轴的交点〕，
设方程为222
21(0,0)x y y a b a b
+-≠>>，由4a =，2c =，求出b 即可得到椭圆方程； 〔2显然直线l 的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；当直线l 的斜率存在时，设方程为(8)y k x =-，
联立直线与椭圆方程，消元，由>0∆
求出k 的取值范围，设点()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点
()00,T x y ，列出韦达定理，表示出00,x y ，由又22
MF NF =，得到2F T
MN
⊥，得到方程判断方
程的解即可；
【详解】解：〔1〕由题意可得()12,0F -，()22,0F ，
∴
124F F =，
又∵
12F F Р的周长为12，
∴
1212
8F P F P F F +=>，
∴点P 的轨迹是椭圆〔除去与x 轴的交点〕，
设方程为222
21(0,0)x y y a b a b
+-≠>>， ∴2824a c =⎧⎨=⎩，∴4
2a c =⎧⎨=⎩
，
∴2
16412b =-=，
∴点P 的轨迹C 的方程为221(0)1612
x y y +=≠．
〔2〕①当直线l 的斜率不存在时，直线与椭圆无交点； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 那么:
(8)l y k x =-，
联立22
(8)1(0)1612
y k x x y y =-⎧⎪⎨+=≠⎪
⎩， 得2
222(43)6416(163)0k x k x k +-+-=，
由()()()2
22264443161630k k k ∆
=--+⨯->， 解得11
22
k -
<<，且0k ≠． 设点()()1122,,,M
x y N x y ，MN 的中点()00,T x y
∵21226443k x x k +=+，∴2
02
3243
x k k =+ 又∵22MF NF =，∴2F T MN
⊥，
∵2
2
441
F T
k
k k -=
- ∴2
2
24141
F T
k K k k -⨯==--，此方程无解．
综上所述，不存在直线l 使得22MF NF =．
【点睛】此题考察椭圆的定义的应用，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.
21.函数
()()1
x f x ax x R e
=
-∈． 〔1〕当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；
〔2〕假设0a
>且1x ≥时，()ln f x x ≤，求a 的取值范围．
【答案】〔1〕单调递减区间为
(),ln 2-∞-，单调递增区间为()ln 2,-+∞；
〔2〕1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【解析】 【分析】
〔1〕将2a =-代入函数
()y f x =的解析式，求得该函数的导数，求出该函数的极值点，并分析导数的符号变化，由此可得出函数
()y f x =的单调递增区间和递减区间； 〔2〕由题意得出不等式1
n 0l x x e
x a -
+≥对任意的1x ≥恒成立，构造函数()()1
ln 0x
g x x ax a e =-
+>，
可得出()min
0g x ≥，利用导数分析函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，求得函数
()y g x =的最小值，由此可解得实数a 的取值范围.
【详解】〔1〕当2a =-时，
()12x f x x e =
+，()
1
2x
f x e '∴=-+． 令
()121
20
x x x
e f x e e -'=-+==，得1ln ln 22x ==-． 当ln2x <-时，
()0f x '<；当ln 2x >-时，()0f x '>．
∴函数()y f x =的单调递减区间为(),ln 2-∞-，单调递增区间为()ln 2,-+∞；
〔2〕
()()ln 1f x x x ≤≥等价于
1ln x ax x e -≤，即1n 0l x
x e
x a -+≥. 令()()1ln 0x g
x x ax a e =-
+>，那么()
11
0x
g x a x e '=++>, ∴函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，()()min 1
10g x g a e
∴==-≥，解得1a e
≥
，
因此，实数a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
. 【点睛】此题考察利用导数求解函数的单调区间，同时也考察了利用函数不等式恒成立求参数，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.
〔二〕选考题：〔一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题．假设多做，那么按所做的第一题计分〕
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y θθ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩〔θ为参数〕，在以原点O 为极点，
x 的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()4
π
ρθ
+=〔1〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
〔2〕设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上任意一点，求PAB △面积的最大值．
【答案】〔1〕2
213
x y +=，20x y -+=；
〔2〕4. 【解析】 【分析】 〔1〕利用22sin cos 1θ
θ+=消去曲线C 参数方程中的参数θ得到C 的普通方程，利用两角和的余弦
公式和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
〔2〕设点P 的坐标为,sin )θθ，可求出点P 到直线l 的间隔d ≤||AB =，
进而求出面积的最大值.
【详解】〔1〕由sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕消去参数θ，得2
213x y +=，
所以曲线C 的普通方程为：2
213
x y +=，
由cos()4
π
ρθ
+=cos sin 2ρθρθ-=-， 可得直线l 的直角坐标方程为：20x y -+=；
〔2〕设点P 的坐标为,sin )θθ，
那么点P 到直线l 的间隔为：
2sin 23cos sin 2322
22
d πθθθ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭=
=≤， 又直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为()2,0A -，()0,2B ，所以||22AB =，
所以PAB △面积的最大值为
1
222242
⨯⨯=． 【点睛】此题考察参数方程与普通方程的互化，考察极坐标方程与直角坐标方程的互化，考察参数法解决三角形面积的最值问题，考察逻辑思维才能和运算求解才能，考察转化才能，属于常考题. 23.函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R ). (1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；
(2)假设f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合1,12⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕
；〔2〕51,
2⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 试题分析： 〔1〕代入1a =-，由()2f x ≥，根据绝对值的几何意义，求出满足条件的x 的值即可；
〔2〕根据题意，把
()21f x x ≤+，转化为22121x a x x -+-≤+在1
[,1]2
x ∈上恒成立，求解
max min (22)(22)x a x -≤≤+，即可求解实数a 的取值范围.
试题解析：
(1)当a ＝－1时，f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －1|，f(x)≤2⇒
＋
≤1，
上述不等式的几何意义为数轴上点x 到两点－，间隔之和小于或者等于1，那么－≤x≤， 即原不等式的解集为
.
(2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含，
∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立， ∴当x∈
时，|2x －a|＋2x －1≤2x＋1恒成立，
∴2x－2≤a≤2x＋2在x∈
上恒成立，
∴(2x－2)max≤a≤(2x＋2)min，∴0≤a≤3.。