2017届江西省上饶市广丰区中考数学一模试卷(含解析)

2017年江西省上饶市广丰区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．﹣的绝对值是（）
A．5 B．﹣5 C．D．﹣
2．某网站数据显示，2015年第一季度我国彩电销量为1233万台，将1233万用科学记数法可表示为（）
A．12.33×105B．1.233×103 C．0.1233×108D．1.233×107
3．如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．计算（x2）3÷（﹣x）2的结果是（）
A．x2B．x3C．﹣x3D．x4
5．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）
A．2 B．3C．D．
6．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，动点P从A点出发，按A→B的方向在AB上移动，动点Q从B点出发，按B→C的方向在BC上移动（当P点到达点B时，P点和Q 点停止移动，且两点的移动速度相等），记PA=x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）
A． B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：x3﹣4xy2=．
8．定义运算：x⊗y=，则（﹣1）⊗2=．
9．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．
10．下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形共有个
★．
11．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，则cos75°=．12．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP 为等腰三角形，则线段BP的长度等于．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：（tan60°）﹣1×﹣|﹣|+23×0.125
（2）解方程：（x﹣5）2=16．
14．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2），其中x=．
15．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
16．应用无刻度的直尺画图：
在下面的三个图中，以OA为边，在正方形网格内作∠AOB=α，B点为格点（每个小正方
形的顶点）使sinα的值分别为：，和．
17．在两个不透明的口袋中分别装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，这三个小球除颜色外其他都相同，
（1）在其中一个口袋中一次性随机摸出两个球，请写出在这一过程中的一个必然事件；（2）若分别从两个袋中随机取出一个球，试求出两个小球颜色相同的概率．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，且与反比例函数
（x＞0）的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m，n的值；
（2）求△ADC的面积．
19．实验中学现有学生2870人，学校为了进一步丰富学生课余生活，拟调查各兴趣小组活动情况，为此校学生会委托小容、小易进行一次随机抽样调查．根据采集到的数据，小容绘
制的统计图1，小易绘制的统计图2（不完整）如下：
请你根据统计图1、2中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出2条有价值信息（不包括下面要计算的信息）；
（2）这次抽样调查的样本容量是多少？在图2中，请将小易画的统计图中的“体育”部分的图形补充完整；
（3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是多少？估计实验中学现有的学生中，有多少人爱好“书画”？
20．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C 在OB的延长线上，且BC=12cm．
（1）当PA=45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，
≈1.732）
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的值．
22．【发现证明】
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD 之间的数量关系．
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．
【类比引申】
（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；
【联想拓展】
（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．
六、（本大题共12分）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2017年江西省上饶市广丰区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．﹣的绝对值是（ ）
A ．5
B ．﹣5
C ．
D ．﹣
【考点】15：绝对值．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣|=， 故选C ．
2．某网站数据显示，2015年第一季度我国彩电销量为1233万台，将1233万用科学记数法可表示为（ ）
A ．12.33×105
B ．1.233×103
C ．0.1233×108
D ．1.233×107
【考点】1I ：科学记数法—表示较大的数．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n
，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．
【解答】解：1233万=1.233×107． 故选：D ．
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，且其正中有一条纵向实线，
故选：B．
4．计算（x2）3÷（﹣x）2的结果是（）
A．x2B．x3C．﹣x3D．x4
【考点】48：同底数幂的除法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】首先根据幂的乘方的计算方法：（a m）n=a mn，求出（x2）3的值是多少；然后根据同底数幂的除法法则，求出算式（x2）3÷（﹣x）2的结果是多少即可．
【解答】解：（x2）3÷（﹣x）2
=x6÷x2
=x4
故选：D．
5．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）
A．2B．3C．D．
【考点】LE：正方形的性质；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】连接AC，易得△ACF是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°．
∵EF⊥AE，EF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠CAF=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC==2．
∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，
∴AF==3，
∴CF===．
∵M为CF的中点，
∴AM=CF=．
故选D．
6．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，动点P从A点出发，按A→B的方向在AB上移动，动点Q从B点出发，按B→C的方向在BC上移动（当P点到达点B时，P点和Q 点停止移动，且两点的移动速度相等），记PA=x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）
A． B．C．D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】根据题意可以分别求得BP和点P到BC的距离，从而可以将△BPQ的面积表示出来，从而可以得到哪个函数的图象是正确的．
【解答】解：分别过点A、点P作AD⊥BC于点D，PE⊥BC于点E，如右图所示，
∵∠PBE=∠ABD，∠PEB=∠ADB=90°，
∴△PBE∽△ABD，
∴，
即，
解得，PE=，
∴（0≤x≤10），
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：x3﹣4xy2=x（x+2y）（x﹣2y）．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x3﹣4xy2，
=x（x2﹣4y2），
=x（x+2y）（x﹣2y）．
8．定义运算：x⊗y=，则（﹣1）⊗2=4．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】根据⊗的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（﹣1）⊗2的值是多少即可．
【解答】解：∵﹣1＜2，
∴（﹣1）⊗2
=2×[1﹣（﹣1）]
=2×2
=4
故答案为：4．
9．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范
围是m＜且m≠0．
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△=（2m﹣1）2﹣4m×m=﹣4m+1＞0，
则m的范围为m＜且m≠0．
故答案为：m＜且m≠0．
10．下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形共有（1+3n）个
★．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式即可；
【解答】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是，1+3=4，
第2个图形五角星的个数是，1+3×2=7，
第3个图形五角星的个数是，1+3×3=10，
第4个图形五角星的个数是，1+3×4=13，
…
依此类推，第n个图形五角星的个数是，1+3×n=1+3n；
故答案为：（1+3n）．
11．已知对任意锐角α、β均有：cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，则=．【考点】T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用已知公式将原式变形，进而结合特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】解：∵cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ，
∴cos75°=cos（30°+45°）
=cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°
=×﹣×
=．
故答案为：．
12．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP
为等腰三角形，则线段BP的长度等于或或．
【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．
【分析】先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD=90°，AE=DE=1，那么△ABE是等腰
直角三角形，BE=AB=．再分三种情况讨论：①BP=BE；②PB=PE；③EB=EP．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，
∴∠BAD=90°，AE=DE=1，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=．
若△BEP为等腰三角形，则分三种情况：
①当BP=BE时，显然BP=；
②当PB=PE时，如图，连结AP．
∵PB=PE，AB=AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠EAP=45°．
作PM⊥AB于M，设PM=x，
∵S△ABD=S△ABP+S△APD
∴×1•x+×2•x=×1×2，
解得x=，
∴PM=，
∴BP===；
③当EB=EP时，如图，过A作AF⊥BD于F，过E作EG⊥BD于G．
在Rt△ABF中，AF=AB•sin∠ABF=1×=，
∵AE=ED，EG∥AF，
∴EG=AF=．
在Rt△BEG中，∵BE=，EG=，
∴BG==．
∵EB=EP，EG⊥BP，
∴BP=2BG=．
综上所述，线段BP的长度等于或或．
故答案为或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：（tan60°）﹣1×﹣|﹣|+23×0.125
（2）解方程：（x﹣5）2=16．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据负整数指数幂，二次根式，绝对值的性质，积的乘方，可得答案．（2）根据开平方，可得答案．
【解答】（1）解：原式=×﹣+1
=1．
（2）解：（x﹣5）2=16；
x﹣5=±4；
x=5±4；
∴x1=1，x2=9．
14．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2），其中x=．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x2﹣2x﹣（x2﹣4）
=x2﹣2x﹣x2+4
=﹣2x+4，
当x=时，原式=﹣1+4=3．
15．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式；CB：解一元一次不等式组．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，
∴k的值为﹣1或0．
16．应用无刻度的直尺画图：
在下面的三个图中，以OA为边，在正方形网格内作∠AOB=α，B点为格点（每个小正方
形的顶点）使sinα的值分别为：，和．
【考点】N4：作图—应用与设计作图；KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
【分析】如图（1）直角边长是5和5的直角三角形的斜边长是5，则sinα=，如图（2）
直角边长是4和3的直角三角形的斜边长是5，则sinα=；如图（3）直角边长是1和3的
直角三角形的斜边长是，则sinα=．
【解答】解：∠AOB为所求；
17．在两个不透明的口袋中分别装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，这三个小球除颜色外其他都相同，
（1）在其中一个口袋中一次性随机摸出两个球，请写出在这一过程中的一个必然事件；（2）若分别从两个袋中随机取出一个球，试求出两个小球颜色相同的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；X1：随机事件．
【分析】（1）在一个口袋中摸出两个球，颜色肯定不相同，这个事件为必然事件；
（2）列表得出所有的情况个数，再找出颜色相同的情况个数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）在这一过程中的一个必然事件为：摸出两个球颜色不相同（答案不唯一）；（2）根据题意列表如下：
所有的可能有9种情况，颜色相同的占了3种，
则P颜色相同==．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，且与反比例函数
（x＞0）的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m，n的值；
（2）求△ADC的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把C点坐标代入反比例函数解析式求出n，得C点坐标，再代入一次函数解析式求m；
（2）根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵点C（4，n）在y=的图象上，
∴n=6，
∴C（4，6），
∵点C（4，6）在y=x+m的图象上，
∴m=3；
（2）x+3=0，
解得x=﹣4，
△ADC的面积为：[4﹣（﹣4）]×6÷2=24．
19．实验中学现有学生2870人，学校为了进一步丰富学生课余生活，拟调查各兴趣小组活动情况，为此校学生会委托小容、小易进行一次随机抽样调查．根据采集到的数据，小容绘制的统计图1，小易绘制的统计图2（不完整）如下：
请你根据统计图1、2中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出2条有价值信息（不包括下面要计算的信息）；
（2）这次抽样调查的样本容量是多少？在图2中，请将小易画的统计图中的“体育”部分的图形补充完整；
（3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是多少？估计实验中学现有的学生中，有多少人爱好“书画”？
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
【分析】（1）通过读图，写出有价值的信息即可，答案不唯一．
（2）根据电脑小组的人数与所占的百分比求出样本容量，再减去电脑、隐约、书画小组的人数即可求出体育小组的人数，再画图即可解答．
（3）用画图的人数除以样本容量求出百分比，再用样本估计总体的方法解答即可．
【解答】解：（1）①电脑小组比音乐小组人数多；
②音乐小组体育小组比例大；等等．
（2）28÷35%=80，
画图，如图所示；
（3）8÷80=10%；2870×10%=287．
20．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C 在OB的延长线上，且BC=12cm．
（1）当PA=45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，
≈1.732）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】（1）连结PO．先由线段垂直平分线的性质得出PO=PA=45cm，则OC=OB+BC=36cm，
然后利用勾股定理即可求出PC==27cm；
（2）过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．先
解Rt△DOE，求出DE=DO•sin60°=6，EO=DO=6，则FC=DE=6，
DF=EC=EO+OB+BC=42．再解Rt△PDF，求出PF=DF•tan30°=42×=14，则
PC=PF+FC=14+6=20≈34.68＞27，即可得出结论．
【解答】解：（1）当PA=45cm时，连结PO．
∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PO=PA=45cm．
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36cm，PC==27cm；
（2）当∠AOC=120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．
在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=AO=12，
∴DE=DO•sin60°=6，EO=DO=6，
∴FC=DE=6，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．
在Rt△PDF中，∵∠PDF=30°，
∴PF=DF•tan30°=42×=14，
∴PC=PF+FC=14+6=20≈34.68＞27，
∴点P在直线PC上的位置上升了．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连接OD，则∠AOD=为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE根据题意得sin∠ABE=．由AB是圆O的直径求出AB 的长．再在Rt△ABE中，求得AE即可．
【解答】解：（1）CD与圆O相切．
证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．
（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE．
∴sin∠ADE=sin∠ABE=．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
在Rt△ABE中，sin∠ABE==．
∴AE=5．
22．【发现证明】
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD 之间的数量关系．
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．
【类比引申】
（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；
【联想拓展】
（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE ≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；根据全等三角形的性质得到FG=EF，利用勾股定理可得CF．
【解答】解：（1）DF=EF+BE．
理由：如图1所示，∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴点C、D、G在一条直线上，
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，
∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=FG，
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE；
（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2，
∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，
∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；
又∵∠EAF=45°，
而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°﹣45°，
在△AGF与△AEF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，
∴CF=4．
六、（本大题共12分）
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式；K3：三角形的面积；L6：平行四边形的判定．
【分析】（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四
边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
【解答】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得
解得，
所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，
解得，
所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，
当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，
则S△ABM=S△BPM+S△APM==．
（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，
解得t1=，t2=（舍去），
所以P点的横坐标是；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，
解得t1=（舍去），t2=，
所以P点的横坐标是．
综上所述，P点的横坐标是或．
2017年6月13日。