2023-2024学年广东省广州一中九年级(上)期中数学试卷

2023-2024学年广东省广州一中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）已知点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
3．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
4．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）
A．65°B．60°C．55°D．50°
5．（3分）点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（）
A．5cm或9cm B．2.5cm
C．4.5cm D．2.5cm或4.5cm
6．（3分）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）
A．16米B．18米C．20米D．24米
7．（3分）已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3从小到大排列（）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）
A．1.6B．1.8C．2D．2.6
9．（3分）函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a≠0且b≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2（x+1）2+2的顶点坐标为．
12．（3分）如图，等边△ABC内接于⊙O，D是⊙O上的一点，∠CAD＝45°，则∠BCD的度数是．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为．
14．（3分）如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为．
15．（3分）若二次函数y＝x2+mx+1顶点在x轴上，那么m的值是．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1．画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A′B′C′．
C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
19．（6分）如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接CO并延长交⊙O于点D，AB＝CD＝8，求⊙O的
半径．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上
一点．
（1）求证：∠B＝2∠ACD；
（2）若∠ACD＝35°，求∠DAE的度数．
21．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知P为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y＝﹣x+3上，求点P的坐标．
22．（10分）某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣2），B（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D．
①在P点的运动过程中是否存在四边形PCDB为平行四边形，若不存在，请说明理由；若存在，请求
点P的坐标；
②求PC+PD的最大值．
24．（12分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD 绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为．
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），过点（﹣2，c）．
（1）求a，b之间的关系；
（2）若c＝﹣1，抛物线y＝ax2+bx+c在﹣2≤x≤3的最大值为a+2，求a的值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围．
2023-2024学年广东省广州一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（3分）已知点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值是（）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出a，b的值是解题关键．
3．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h
判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞h时，y 随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而减小是解题的关键．
4．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
由圆周角定理得，∠A＝∠BOC＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5．（3分）点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（）
A．5cm或9cm B．2.5cm
C．4.5cm D．2.5cm或4.5cm
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【解答】解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径为7﹣2＝5，
∴该圆的半径是2.5；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径＝7+2＝9，
∴圆的半径为4.5，
故选：D．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．6．（3分）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）
A．16米B．18米C．20米D．24米
【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与x轴的交点坐标即可求解．
【解答】解：∵喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为y＝a（x﹣8）2+1.8，将点（0，1）代入，得1＝64a+1.8
解得
∴抛物线解析式为
令y＝0，解得x＝20（负值舍去）
即C（20，0），∴OC＝20米．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
7．（3分）已知点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3从小到大排列（）
A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据解析式得到抛物线的开口方向和对称轴为直线x＝2，然后比较三个点离直线x＝2的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵点A（4，y1），B（1，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，
∴点B离直线x＝2近，点C离直线x＝2最远，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）
A．1.6B．1.8C．2D．2.6
【分析】根据旋转变换的性质得到AD＝AB，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∵点D恰好落在BC边上，
∴CD＝CB﹣BD＝1.6，
故选：A．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．9．（3分）函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a≠0且b≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】本题由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0且对称轴为y轴，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．
10．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，且过点（3，0），
∴b＝﹣2a＞0，抛物线过点（﹣1.0）．
∴abc＜0，a﹣b+c＝0．
∴①错误，②正确．
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝a﹣2a+（﹣3a）＝﹣4a，
其值与a有关，
∴③错误．
∵方程ax2+bx+c+1＝0的根即是y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的交点，
由图象知，y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的图象有两个交点．
∴④正确．
∵抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴4a+c＝a＜0，
∴⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）．
【分析】根据所给二次函数的解析式即可解决问题．
【解答】解：因为二次函数的解析式y＝a（x﹣h）2+k称为顶点式，且顶点坐标为（h，k），
所以抛物线y＝2（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．
12．（3分）如图，等边△ABC内接于⊙O，D是⊙O上的一点，∠CAD＝45°，则∠BCD的度数是15°．
【分析】根据等边三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝15°，
∴∠BCD＝∠BAD＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为（﹣4，8）．
【分析】分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
（方法一）利用AAS证明Rt△OMB≌Rt△B′NO，根据对应边相等求解；
（方法二）利用直角形中，互余的两个角的三角函数之间的关系求解．
【解答】解：分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
（方法一）∵∠BOB′＝90°，
∴∠BOM+∠B′ON＝90°．
又∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠B′ON＝∠OBM．
在Rt△OMB和Rt△B′NO中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），
∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
（方法二）根据题意，得OB′＝OB＝＝＝4．
sin∠BOM＝sin（90°﹣∠B′ON）＝cos∠B′ON＝＝＝，
cos∠BOM＝cos（90°﹣∠B′ON）＝sin∠B′ON＝＝＝．
∴ON＝OB′•cos∠B′ON＝4×＝4，B′N＝OB′•sin∠B′ON＝4×＝8．
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
故答案为：（﹣4，8）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键．14．（3分）如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则
图中阴影部分的面积为．
【分析】如图连接AE，根据得到△ADE≌△AEB′，再结合面积公式求解即可得到答案；
【解答】解：连接AE，
∵边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AB′C′D′，
∴，∠BAB′＝30°，
在△ADE与△AEB′中，
，
∴△ADE≌△AEB′，
∴∠EAD＝∠EAB′＝30°，
∴DE2+AD2＝（2DE）2，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到△ADE≌△ADB′．
15．（3分）若二次函数y＝x2+mx+1顶点在x轴上，那么m的值是±2．
【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据Δ＝0，即可求出m的值．【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx+1的顶点在x轴上，
∴Δ＝m2﹣4×1×1＝0，即m2＝4，
解得m＝±2．
故答案为：±2．
【点评】此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：Δ＞0时，图象与x 轴有两个交点；Δ＝0，图象与x轴有一个交点；Δ＜0，图象与x轴无交点．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取
BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为．
【分析】如图所示，取AB的中点O，根据线段中点的定义得到OB＝3，BE＝2，再根据∠APB＝90°得到点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，故当O在线段PE上时，PE有最大值，据此求解即可．【解答】解：如图所示，取AB的中点O，
∵AB＝6，
∴，
∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB的圆上运动，即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴当O在线段PE上时，PE有最大值，
连接EO交⊙O于D，则点P运动到点D时PE有最大值，
由勾股定理得，
∴，
∴PE的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理等等，确定点P的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1．画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A′B′C′．
【分析】利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，顺次连接即可．
【解答】解：如图，△A'B′C'即为所求；
．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．18．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′
C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
【分析】由△ABC旋转到△A'B'C的位置，根据旋转的性质易得B′C＝BC，从而求得△BB′C是等边
三角形；再根据等边三角形的性质得出∠BB′C的度数．
【解答】解：∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置；
∴B′C＝BC；
∵∠B＝60°，
∴△BB′C是等边三角形；
∴∠BB′C＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA＝60°．
【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时考查了等边三角形的判定和性质．
19．（6分）如图，在⊙O中，C为弦AB的中点，连接CO并延长交⊙O于点D，AB＝CD＝8，求⊙O的半径．
【分析】连接OA，由垂径定理得OC⊥AB，AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝8﹣r，在Rt△OAC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵C为AB中点，AB＝8，
∴OC⊥AB，AC＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OD＝r，
∵CD＝8，
∴OC＝8﹣r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝OC2+AC2，
即r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC．⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．
（1）求证：∠B＝2∠ACD；
（2）若∠ACD＝35°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）证明AC＝AD可得∠B＝2∠ACD；
（2）先求解∠B＝70°，可得∠BCD＝70°+35°＝105°，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵D为弧AC的中点，
∴AD＝CD，AC＝AD，
∴∠B＝2∠ACD；
（2）解：∵∠ACD＝35°，∠B＝2∠ACD，
∴∠B＝2×35°＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BCD＝70°+35°＝105°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝75°，
∴∠EAD＝180°﹣75°＝105°．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟记圆周角定
理与圆的内接四边形的性质并灵活应用是解本题的关键．
21．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知P为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y＝﹣x+3上，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法先求得抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式即可求解．
（2）设点P′的坐标为（a，﹣a+3），由对称可得点P的坐标为：（a，a﹣3），将其代入抛物线的解析式即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
当时，y＝﹣12+2×1+3＝4，
∴此抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（2）设点P′的坐标为（a，﹣a+3），
∵点P与点P′关于x轴对称，
∴点P的坐标为：（a，a﹣3），
又点P在抛物线上，
∴a﹣3＝﹣a2+2a+3，
解得：a1＝3，a2＝﹣2，
又∵点P不与点B重合，
∴a＝﹣2，
∴点P的坐标为：（﹣2，﹣5）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线顶点坐标及轴对称，熟练掌握待定系数法求函数解析式及关于x轴对称的点坐标的规律是解题的关键．
22．（10分）某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）依据题意，设与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；
（2）依据题意，由利润＝（售价﹣单价）×销售量，再根据二次函数的性质，即可得解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
∴y＝﹣x+150，
令y＝0，则﹣x+150＝0，
解得：x＝150．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（80＜x≤150）．
（2）∵y＝﹣x+150，
∴W＝（x﹣8）y＝（x﹣80）（﹣x+150）＝﹣x2+230x﹣12000，
又由题意可得：≤25%，
解得：x≤100，
∴80＜x≤100，
∵W＝﹣x2+230x﹣12000＝﹣（x﹣115）2+1225，
∴当x＝100时，W有最大值，
且Wmax＝﹣（100﹣115）2+1225＝1000（元）．
故将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的实际应用根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣2），B（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D．
①在P点的运动过程中是否存在四边形PCDB为平行四边形，若不存在，请说明理由；若存在，请求
点P的坐标；
②求PC+PD的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①先求出直线AB的解析式，设出点P的坐标，然后利用平行四边形的性质列式解答；
②表示PC+PD，利用二次函数的最值求解．
【解答】解：（1）∵A（0，﹣2），B（2，0）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）①存在点P，使四边形PCDB为平行四边形理由如下：
过点P作y轴的平行线交x轴于点D，交线段AB于点H．如图，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∵A（0，﹣2），B（2，0）在直线y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣2；
设P点的横坐标为m，则：P（m，m2﹣m﹣2），
∵PC∥x轴，
∴C点的纵坐标为：m2﹣m﹣2，
∴C点的横坐标为：m2﹣m﹣2+2＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣2）
∵PD∥y轴，
∴D（m，0），PC＝m﹣（m2﹣m）＝2m﹣m2，BD＝2﹣m，
∵PC∥BD，
2m﹣m2＝2﹣m，
m1＝2（舍去），m2＝1，
m2﹣m﹣2＝1﹣1﹣2＝﹣2，
∴当P点坐标为：P（1，﹣2）时，四边形PCDB为平行四边形；
②∵PC＝2m﹣m2，
PD＝﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+2，
PC+PD＝2m﹣m2﹣m2+m+2，
PC+PD＝﹣2m2+3m+2，
当m＝﹣＝时，
PC+PD有最大值：（PC+PD）＝﹣2×+3×+2＝，
∴m2﹣m﹣2＝﹣﹣2＝﹣，
∴PC+PD的最大值为：，此时点P的坐标为．
【点评】此题考查二次函数的综合应用，设计待定系数法，二次函数的性质，一次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
24．（12分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD 绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝
DC+CE．
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可；
（3）过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）BC＝DC+EC，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
故答案为：BC＝DC+EC；
（2）BD2+CD2＝2AD2，
理由如下：连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝9，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝＝＝6，
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝DE＝6．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），过点（﹣2，c）．
（1）求a，b之间的关系；
（2）若c＝﹣1，抛物线y＝ax2+bx+c在﹣2≤x≤3的最大值为a+2，求a的值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若，求c的取值范围．
【分析】（1）把点（﹣2，c）代入抛物线y＝ax2+bx+c中可得结论；
（2）分两种情况：①a＞0；②a＜0，分别根据增减性和已知条件列方程可解答；
（3）先将抛物线的解析式化为顶点式，并根据平移的规律得到新的解析式：y＝a（x+1﹣a）2﹣a+c+1，确定P的坐标和所在直线：y＝﹣x+c，分c＞0和c＞0两种情况，可得结论．
【解答】解：（1）把点（﹣2，c）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
4a﹣2b+c＝c，
∴4a﹣2b＝0，
∴b＝2a；
（2）当x＝﹣1时，y＝ax2+bx﹣1，
∵b＝2a，
∴y＝ax2+2ax﹣1＝a（x+1）2﹣a﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣a﹣1，
当x＝﹣2时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝15a﹣1，
分两种情况：
①当a＞0时，﹣a﹣1＜﹣1＜15a﹣1，
故抛物线y＝ax2+bx+c在﹣2≤x≤3中最大值为15a﹣1，
∴15a﹣1＝a+2，
∴a＝；
②当a＜0时，15a﹣1＜﹣1＜﹣a﹣1，
故抛物线y＝ax2+bx+c在﹣2≤x≤3中最大值为﹣a﹣1，
∴﹣a﹣1＝a+2，
∴a＝﹣，
综上，a的值是或﹣；
（3）由（1）知：b＝2a，
∴y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2﹣a+c，
∴抛物线y＝ax2+bx+c向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线为：y＝a（x+1﹣a）2﹣a+c+1，
∴顶点P的坐标为（a﹣1，c+1﹣a），
∴顶点P在直线y＝﹣x+c上，
若a（a＞0）为任意正实数时，OP≥，即点O到直线y＝﹣x+c的最小距离为，
分两种情况：
①如图，当c＞0时，设直线y＝﹣x+c交x轴于N，交y轴于M，过点O作OH⊥MN于H，
则M（0，c），N（c，0），
∴OM＝ON＝|c|，OH＝MH＝NH，
∴OM＝OH，
∵OH≥，
∴OM≥OH＝2，
∴c≥2；
②当c＜0时，同理得：c≤﹣2；
综上，c的取值范围是c≥2或c≤﹣2．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形性质等，熟练掌握二次函数的增减性和平移的原则是解题的关键．。