王刚dianlu-03

KVL标准形式方程。
③求解上述方程，得到 l 个回路电流。
④求各支路电流。
⑤其他分析。 （2）回路法的特点： 方程个数较支路电流法减少，但互电阻的识别难 度大，易遗漏。
3.特殊情况的处理
（1）独立电流源与电阻并联时，将其等效变换 为独立电压源与电阻串联的支路
（2）含有受控电压源时，先将其作为独立源列 入方程，再将用回路电流表示的控制量代入
（3）含有无伴电流源时，处理方法有二
（4）含有受控电流源时，若其有电阻与之并联， 参照方法（1）、（2）；若为无伴受控电流源， 参照方法（3）
支路电流法的特殊情况类似处理
例5-2
RS
i6 IS
i1
R1
R5
R2 i5 i2
R4 i4
i3
R4 i4
1
1
R3 2
3
R1 i1 34
i5 R5
i6
R2i2 +R3i3 −R1i1 = 0 R4i4 −R5i5 −R3i3 = 0 R1i1 +R5i5 +R6i6 = uS
∑ ∑ Rk ik = uSk
R6 + uS –
∑ ∑ Rk ik = uSk
1. Rkik为回路中第k个支路的电阻上的电压，和式遍及 回路中的所有支路，且当ik参考方向与回路方向一致时， 前面取“＋”号，不一致时，取“－”号；
2. 右方uSk为回路中第k支路的独立电源电压，当uSk与 回路方向一致时，前面取“－”号，不一致时，取 “＋”号；
3. 独立电源电压包括电压源，也包括电流源引起的电 压(电流源与电阻并联）。
小结 （1）支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向。 ②选定 n–1个结点，列写其KCL方程。 ③选定 b –( n –1)个独立回路，指定回路绕行方向，
RS + US _
i6 il1
R1 i1
R2
il2 i5 i2
R5 R4
il3
i4 i3
R3
ul1= US — 回路1中所有电压源电压的代数和。
当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反 之取正号。
方程的标准形式：
对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有
⎧R11il1 + R12il 2 + L + R1lill = U Sl1 ⎪⎪⎨⎪LR21il1 + R22il2 + L + R2lill = U Sl2 ⎪⎩Rllil1 + Rl 2il 2 + L + Rllill = U Sll
– 回路1
u2 + u3 − u1 = 0
回路2 u4 − u5 − u3 = 0
回路3 u1 + u5 + u6 = 0
这一步可 以省去
2
回路1 u2 + u3 − u1 = 0 回路2 u4 − u5 − u3 = 0 回路3 u1 + u5 + u6 = 0
应用各支路的VCR消去支路电压得
R2 i2
另外i1=il2+il3-il1， i2=il2+il3， i4=il3-il1
RS
i6 il1
R1 i1 il2
+
R2 i5 i2
US _
R4 R5il3 i4 i3
R3
− R1i1 − R4i4 −U S + RSi6 = 0 R1i1 + R2i2 + R5i5 = 0 R1i1 + R2i2 + R3i3 + R4i4 = 0
第三章 电阻电路的一般分析
3-1 电路的图 3-2 KCL和KVL的独立方程数 3-3 支路电流法 3-4 网孔电流法 3-5 回路电流法 3-6 结点电压法
★重点
1. KCL、KVL的独立方程数 2. 回路电流法，结点电压法
z线性电路的一般分析方法 • 普遍性：对任何线性电路都适用。 • 系统性：计算方法有规律可循。
RSil1 − R1(−il1 + il2 + il3 ) − R4 (−il1 + il3 ) −U S = 0 R1(−il1 + il2 + il3 ) + R4 (il2 + il3 ) + R5il2 = 0
R1(−il1 + il2 + il3 ) + R2 (il2 + il3 ) + R3il3 + R2 (−il1 + il3 ) = 0 整理得：
结论
支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
结点、支路和 基本回路关系
b = n −1+l
KVL的独立方程数=基本回路数
l = bl = b − (n −1)
例2-1 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。
1解 45
8 3
7 62
5
86 7
4 86
3
4
8 2
3
树的选取可以是任意的，所以 基本回路组必有对应的树；选 定树，则对应的基本回路组也 就确定了
结合KVL和支路方程列写
∑ ∑ Rk ik = uSk
④求解上述方程，得到b个支路电流。
⑤进一步计算支路电压和进行其他分析。
（2）支路电流法的特点： 支路电流法列写的是KCL和KVL方程， 所以
方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路 数不多的情况下使用。
（3）支路电流法的应用条件：
b个支路电压均能以支路电流表示； 无伴电流源需加以处理才能应用支路电流法（见后）
R2 i2 11
2
解 有6个支路电流，需列写6个方
i3
R4 程。KCL方程为
i4
1 i1 + i2 − i6 = 0
R3 2
3
2 − i2 + i3 + i4 = 0
R1 i1 34
R5
i5
i6
3 − i4 − i5 + i6 = 0
取网孔为独立回路，沿顺时针 方向绕行列写KVL方程如下
R6
+
uS
结论
①＋②＋③＋④＝0
n个结点的电路, 独立的KCL方程为 n-1个。
2.KVL的独立方程数
(1)路径
从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。
(2)连通图
图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
电路的图显然都是连通图。
(3)子图
对于有 n个结点、b条支路的电路，要求解支路 电流,未知量共有 b个。只要列出b个独立的电路方 程，便可以求解这b个未知量。
2. 独立方程组的推导
① 从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写
KCL方程。 ② 选择基本回路列写 b-(n-1)个KVL方程。 ③ 将元件的VCR关系代入KVL方程，消去电压变量。
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
(4)回路(Loop)
1 3 回路 2
75 6 84
L是连通图的一个子图，构成一条
闭合路径，并且其经过的结点都相
异 23 5
不
12
是
75
回
路
84
13 2
问题
75
对应一个图有很多的回路，这
6 84
些回路都是相互独立的吗？
（7、8、6），（8、5、4），（7、5、4、6）
2
1
2
14 3
6
5
4
选择3、4、5为树，对应的基本回 路组列KVL方程，并取顺时针绕向
3
1 u1 + u3 + u4 = 0
2 − u2 − u3 + u5 = 0
3 − u4 − u5 + u6 = 0
结论
n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程
数为 (n −1) + b − (n −1) = b
i6
RS +
il1
R1 i1 il2
R2 i5 i2
US _
R4 R5il3 i4 i3
R3
R12= R21= –R1 — 回路1、回路2之间的互电阻。 R13= R31= –R1 –R4 — 回路1、回路3之间的互电阻。 R23= R32= R1+R2 — 回路2、回路3之间的互电阻。 当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取 正号；否则为负号
3-5 回路电流法
思考
支路电流法的方程个数为b个，如果一个电路的
支路数较多的话，方程和未知量的个数就会较多，有
没有可能减少？
RS +
il1
R1 R5 il2
R2
US _
R4
il3 R3
z基本思想
1.独立回路组（基本回路组） 遍历电路中所有支路 2. 假 设 电 路 的 每 个 独 立 回 路 中 有一个回路电流 3. 若 求 得 回 路 电 流 ， 则 各 支 路
(RS + R1 + R4 )il1 − R1il2 − (R1 + R4 )il3 = U S − R1il1 + (R1 + R2 + R5 )il2 + (R1 + R2 )il3 = 0
− (R1 + R4 )il1 + (R1 + R2 )il2 + (R1 + R2 + R3 + R4 )il3 = 0
n=4 b=6 l =3
电流可用回路电流线性组合表 示。
1.回路电流法
以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未 知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面 和非平面电路。
z列写的方程
回路电流是在独立回路中是闭合的，对每个相 关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。 若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对 独立回路列写KVL方程。
A A
B
D
C
哥尼斯堡七桥难题
B
D
C
2.电路的图
i
R1
R3
R2 R5
R4
+_ uS
R6
元件的串联作 为一条支路
4 b=6
n=5 b=8
抛开元 件性质
1
8 3
5
2
4
1
3
5
2
4
6
7
6
一个元件作 为一条支路
有向图
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图 中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
图的定义(Graph)
回路电流法的方程数为b-(n+1)，与支路电流法 相比，方程数减少n-1个。
2. 方程的列写 例5-1 用回路电流法求解各支路电流
RS
i6
R1 i1
+
R5
R2 i5 i2
US _
R4 i4
R3 i3
il1
il2 il3
回路电流法当选择基本回路作为独立回路，且回路电流 的参考方向与连枝电流取为一致时，则回路电流就是相应的 连枝电流。 例如il1 = i6 ， il2 = i5， il3 = i3
z方法的基础
• 电路的连接关系——KCL，KVL定律。 • 元件的电压、电流关系特性。
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及 元件的电压与电流关系列方程、解方程。根据列方 程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流 法和结点电压法。
3-1 电路的图
1.网络图论
图论是拓扑学的一个分支，是富
有趣味和应用极为广泛的一门学科。
G={支路，结点}
①图中的结点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路，与它所连接的结点依然
存在，因此允许有孤立结点存在。 ③如把结点移去，则应把与它连
接的全部支路同时移去。
3-2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
②
1
2
① 4
3
③
6
5
④
① i1 − i4 − i6 = 0 ② − i1 − i2 + i3 = 0 ③ i2 + i5 + i6 = 0 ④ − i3 + i4 − i5 = 0
特例 对于平面电路（图），网孔数等于基本回路数。
平面图：把一个图画在平面上，能使它的各条支路 除连接的结点外不再交叉
1 45
38
6 72
5
86 7
网孔：平面电路中，其内部不含任何支路的回路。 网孔实际上也是对应某棵树的基本回路组
3-3 支路电流法
1. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。
基本回路具有独占的一条连支，
基本回路(单连支回路) 故列出的KVL方程相互独立
6 45
2
1
3
5 2
1
3
6
2
1
3
对于图G的任意一个树，加入一个连支后，就会形 成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树支组 成，这种回路称为单连支回路（基本回路）
每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支不出现 在其它基本回路中——连支数即为基本回路总数
i6
RS +
il1
R1 i1 il2
R2 i5 i2
US _
R4 R5il53 i4 i3
R3
R11=RS+R1+R4 — 回路1的自电阻。等于回路1中所有 电阻之和。 R22=R1+R2+R5 — 回路2的自电阻。等于回路2中所有 电阻之和。
R33=R1+R2+R3+R4 — 回路3的自电阻。等于回路3中所有 电阻之和。 自电阻总为正。
注意 Rkk: 自电阻(总为正)。
Rjk:
互电阻
+ : 流过互电阻的两个回路电流方向相同； - : 流过互电阻的两个回路电流方向相反； 0 : 无关。
uSli —— 回路i的所有电压源电压的代数和。
小结
（1）回路法的一般步骤： ①选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向。 ②对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其
引入“树”来寻找独立回路组
树(Tree)
T是连通图的一个子图且满足下 列条件：
(a)包含所有结点； (b)连通； (c)不含回路。
树
不 是 树
树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的
bt = n −1
连支数： bl = b − bt = b − (n −1)