复变函数：第三节 复数的乘幂与方根

i
sin
4
n
(
2)n
cos
n 4
i
sin
n 4
cos
n 4
i
sin
n 4
n2
22
cos
n
.
4
例4 计算 3 1 i 的值.
解
1i
2
1 2
1 2
i
2cos
4
i
sin
4
3
1i
6
2cos
4
2k 3
i sin
4
2k
3
(k 0,1,2).
即
w0
6
2cos
12
i
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义zn
1 zn
,
那么当n
为负整数时,
上式仍成立.
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
例5 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
2
cos
16
i
sin
16,
(k 0,1,2,3).
w1
8
2cos
9 16
r1
r2
r e . i(12 n ) n
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两
个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
证
按照商的定义,
当 z1 0时,
z2
z2 z1
z1 ,
z2
z2 z1
z1 ,
Argz2
Arg
z2 z1
Argz1 ,
于是 z2 z2 , z1 z1
Arg
z2 z1
例如，设 z1 1, z2 i, 则 z1 z2 i,
Argz1 2n, (n 0, 1, 2,),
A故Arrgg3(zz21z22)2(m2πm2n),2kπ(m, (k02,k01,,,1只2,,须2),k,),m n 1.
2
2
若 k 1, 则 m 0,n 2 或 m 2,n 0.
n
,
w1
r
1 n
cos
2π n
i
sin
2π n
,
,
wn1
r
1 n
cos
2(n n
1)π
i
sin
2(n n
1)π
.
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
例如 k n时,
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
w0
.
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
Argz2
Argz1 .
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 r1ei1 ,
z2 r2ei2 ,
则 z2 r2 e . i(2 1 ) z1 r1
[证毕]
注 : arg(z1z2 ) argz1 argz2 arg(z1 / z2 ) argz1 argz2
不一定成立.
例： 但是
arg(－1) , arg(1) 0 arg(-1) arg(-1) 2 ,
r1 r2[(cos1 cos2 sin1 sin2 ) i(sin1 cos2 cos1 sin2 )]
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 .
[证毕]
从几何上看,
两复数对应的向量分别为
z1 ,
i
sin
9 16
,
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
而且, w iw , w w , w iw . w3
1
0
2
0
3
0
例6 若 n 为自然数, 且 xn iyn (1 i 3)n ,
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 , 则 z1 z2 r1 r2ei(12 ) .
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2,, n)
z1 z2 zn r1 r2 rn[cos(1 2 n ) i sin(1 2 n )]
放映结束，按Esc退出.
求证 : xn1 yn xn yn1 4n1 3.
证
xn iyn (1 i
3
)n
2n
cos
3
i
sin
3
n
2n
cos
n 3
i
sin
n 3
利用复数相等可知:
xn
2n
cos
n , 3
yn
2n
sin
n 3
,
xn1 yn xn yn1
2n1 cos (n 1) 2n sin n 2n cos n 2n1 sin (n 1)
第三节 复数的乘幂与方根
一、乘积与商 二、幂与根 三、小结与思考
一、乘积与商
定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
证 设复数z1和z2的三角形式分别为
z1 r1(cos1 i sin1）, z2 r2(cos2 i sin2）, 则z1 z2 r1(cos1 i sin1 ) r2(cos2 i sin2 )
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
例3 化简 (1 i)n (1 i)n.
解
1i
2
1 2
1 2
i
2
cos
4
i
sin
4
1i
2
1 2
1 2
i
2cos
4
i
sin
4
(1 i)n (1 i)n
(
2
)n
cos
4
i
sin
4
n
(
2)n
cos
4
3
3
3
3
22n1
sin
n 3
(n
1) 3
22n1
3 2
4n1 3.
等式得证.
三、小结与思考
应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种 形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1 z2 r1 r2ei(12 )
z2 r e2 i(2 1 ) z1 r1
棣莫佛(de Moivre)公式
(cos i sin )n cos n i sin n
arg[(1)(1)] arg(1) arg(1).
例2 已知正三角形的两个顶点为 z1 1 和z2 2 i,
求它的另一个顶点.
解 如图所示,
将表示 z2 z1 的向量
绕
z1
旋转
3
(或
3
)就得
y
z3
3
o z1 1
z2 2 i
x
z3
到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z3 ).
因
为复
数
e
i 3
的模为1,
转角
为
,
3
i
z3 z1 e 3 (z2 z1 ) 1 3 i (1 i)
2 2 1 3 1 3 i
2 2 2 2
y
z3
3
o z1 1
z2 2 i
x
z3
所以
z3
3
2
3 1 2
3 i,
z3
3
2
3 1 3i. 2
二、幂与根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
棣莫佛公式
3. 方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2,,n 1)
推导过程如下:
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
根据棣莫佛公式,
wn n(cosn i sin n ) r(cos i sin ),
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2,)
故
1
rn,
2kπ ,
n
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
当 k 0,1,2,,n 1时, 得到 n 个相异的根 :
w0
r
1 n
cos
n
i
sin
z2 ,
先把
z1
按逆时针方向
•z
y
旋转一个角2 ,
r • z1
再把它的模扩大到 r2 倍,
所得向量
z
就表示积
z1
z2
.
o
2 1
r1
•
r2
z2
x
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.
说明 由于辐角的多值性, Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2
两端都是无穷多个数构成的两个数集.
对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.