吉林省东丰县第三中学高一下学期期末考试数学(文)试题 答案和解析

【全国百强校】吉林省东丰县第三中学【最新】高一下学期
期末考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．点(1,2)-到直线10x y -+=的距离是( )
A ．
B ．2
C
D ．2
2．过点(1,3)-且与直线220x y --=平行的直线方程是( )
A ．250x y --=
B ．270x y --=
C ．250x y +-=
D ．270x y +-= 3．在数列3,4,7,11,18,,47,76x ……中，x 等于( )
A ．22
B ．28
C ．35
D ．29
4．已知,m n αβ为直线，，为平面，下列说法正确的是（
A ．,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥
B ．,,m n m n αβααβ⊥=⊂⇒⊥
C ．,//,m n n m βααβ⊥⊆⇒⊥
D ．,//,m m n n αβαβ⊥⊥⇒⊥ 5．在等差数列{}n a 中，已知2724a a +=，则8S =（ ）
A ．64
B ．79
C ．88
D ．96
6．等比数列{}n a 中, 256,48a a ==则{}n a 的前4项和为（ ）
A ．45
B ．64
C ．34
D ．52
7．正六棱锥底面边长为2，体积为( ) A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75° 8．若一个球的体积为
1083π，则这个球的表面积是（ ） A ．12π B ．32π C ．36π D ．64π 9．圆A :224210x y x y +--+=与圆B :222610x y x y ++++= 的位置关系是
( )
A ．相交
B ．内切
C ．外切
D ．内含 10．设a b >，a ，b ，R c ∈则下列命题为真命题的是（ ）
A ．22ac bc >
B ．1a b >
C ．a c b c ->-
D ．22a b > 11．不等式22150x x -++>的解集是( )
A ．{5,3}x x x 或<-
B ．{|35}x x -<<
C ．R
D ．∅ 12．在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别是
12,,,2,sin ,sin()33
a b c a A A C ==+=则b 等于( ) A ．4
B ．83
C ．6
D ．278
二、填空题
13．在等比数列{}n a 中, 若110,a a 是方程2416150x x -+=的两根，则47.a a =______. 14．若0x >，则变量12x x
+的最小值是________ 15．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，正视图是斜边长为4的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则四棱锥S ABCD -四个侧面中，面积最大的值是_______________
16．已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
，则z=4x+y 的最大值为____.
三、解答题
17．已知ABC ∆的三个顶点(1,6),(3,0),(2,2)A B C --，
(1)求AC 边上的高BD 所在直线方程；
(2)求BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程。

18．ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且2222,3,0a b a b c ab ==+--=.
(1)求c ；
(2)求sin B 。

19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知102020,40a a ==
(1)求通项n a ；
(2)若240n S =，求n 。

20．已知圆1C :222430,x y x y +++-= 圆222:4290C x y x y +---=
求：（1）圆1C 上的点到直线40x y --=的最大距离；
（2）圆1C 与圆2C 与的公共弦长。

21．以AB 为直径的圆O 所在的平面为α，C 为圆O 上异于A 和B 的任意一点，SA α⊥平面
（1）求证：SAC SBC ⊥平面平面
（2）设E 在SB 上，且2SE EB =,过A E 与作平面β与直线SC 平行，平面β与BC 交于点F ，求:BF FC 的值
22．已知等比数列{}n a 满足2511,9243a a =
=，*n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项
（2）设n n
n b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
参考答案
1．A
【解析】
点()1,2-到直线10x y -+=的距离是
d =
== 故选A 2．B
【解析】 ：∵直线x-2y-2=0的斜率k=12 ，∴所求直线斜率12
，故过点（1，-3）且与已知直线平行的直线为y+3=
12
（x-1），即x-2y-7=0． 故选：B ．
3．D
【解析】 数列的前几项为3,4,7,11,18,,47,76x ……
所以找规律得3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,18+29=47,29+47=76
故答案为29
4．C
【解析】
对于A.
,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥或//αβ，故A 错； 对于B.
,,m n m n αβααβ⊥⋂=⊂⇒与不一定垂直，故B 错； 对于C.
//,,m n n m βααβ⊥⊆⇒⊥,根据//m n ，n β⊥可得m β⊥,又m α⊆，所以αβ⊥，故C 对；
对于D.
//,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒故D 错 故答案为C
点睛：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用，熟练运用线面，面面平行垂直的判定定理和性质定理是能够准
确解题的关键.
5．D
【详解】
在等差数列{}n a 中，已知2724a a +=，
因为1827+a 24a a a =+=，所以8S =
()1888249622a a +⨯== 故选：D .
6．A
【解析】
等比数列{}n a 中, 256,48a a ==35248826
a q q a ∴===∴=，23243112,24,3a a a q a a q a q
∴=====
=，4123436122445S a a a a ∴=+++=+++= 故选A
7．B
【解析】 ∵正六棱锥的底面边长为2，所以底面积
S=644
⨯⨯=
，因为体积为的高2h =，底面顶点到底面中心的距离为2，所以侧棱与底面所成的角为45°
故选B
8．C
【解析】
34108,333
V R R ππ==∴=，2436S R ππ∴== 故选C
9．C
【解析】
圆A :224210x y x y +--+=，即()()22
214x y -+-= ，圆心A （2,1），半径为2； 圆B :222610x y x y ++++=即()()22
139x y +++= ，圆心B （-1，-3）半径为3
圆心距AB=5,等于半径之和，所以两圆外切
故选C
点睛：设两个圆的半径为R 和r ，圆心距为d ，则⑴d>R+r 两圆外离； ⑵d=R+r 两圆外切；
⑶R-r<d<R+r (R>r) 两圆相交； ⑷d=R-r （R>r ） 两圆内切； ⑸d<R-r (R>r)两圆内含． 10．C
【解析】
对A ，0c
时不成立；对B ，0b ≤时不成立；对C ，正确；对D ，0a ≤时不正确，故选C.
11．B
【解析】 22150x x -++>,则22150x x --<,即()()()5303,5x x x -+<∴∈-
故选B
12．A
【解析】
()2sin 3A C +=，即sinB=23，根据正弦定理得sin sin a b A B = 即21233
b = 所以b=4 故选A
13．154
【详解】
110,a a 是方程2416150x x -+=的两根，所以110154
a a ⋅=，在等比数列{}n a 中，47.a a =110154a a ⋅=
故答案为154
点睛：本题是一元二次方程中韦达定理及等比数列{}n a 中通项的性质的考查，在等比数列{}n a 中，若,m n p q +=+ 则m n p q a a a a ⋅=⋅.
14
．【解析】
0x >，12y x x =+
根据对勾函数的单调性可知函数在(
上递减，在()
+∞上递
增，所以最小值为
=
故答案为
点睛：对勾函数y=x+a x
(a>0)：1.定义域：{}|0x x ≠ 2.值域：(-∞,-
在正数部分仅当 取最小值，在负数部分仅当取最大值-奇偶性：
奇函数,关于原点对称，4.单调区间：(-∞,-
] 单调递增,0)] 单调递减 (0, 单调
递减 单调递增.
15．【解析】
此四棱锥S ABCD -中，面SCD 垂直于面ABCD ，即顶点S 在面ABCD 上的投影落在CD 的中点o 处，底面矩形AB=CD=4，AD=BC=2，锥体的高h=2,所以计算各面面积
4,SCD SBC ADS SAB S S S S ∆∆∆====，所以四棱锥S ABCD -四个侧面中，
面积最大的值
故答案为16．14
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z =4x +y 得y =−4x +z ，平移直线y =−4x +z ，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，解得B （3,2）代入4z x y =+得最大值为14
故答案为14
17．（1）430x y +-=；（2）10410x y --=.
【解析】
试题分析：（1）由斜率公式易知k AC ，由垂直关系可得直线BD 的斜率k BD ，代入点斜式易得； （2）同理可得k EF ，再由中点坐标公式可得线段BC 的中点，同样可得方程； 试题解析：
（1）由斜率公式易知4AC k =,所以直线14
BD BD k =-
的斜率. 又因为直线BD 过点B(3，0),代入点斜式方程有 ()134
y x =-
-即430x y +-=. （2）2552BC EF k k =-∴= 又因为BC 的中点为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
, 所以直线EF 所在直线的方程为51122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
整理所得的直线方程为10410x y --=.
18．（1）c =
（2. 【解析】 试题分析：（1）2220ABC a b c ab ∆+--=在中，，由余弦定理可知
2221cos 2cos 2C c a b ab C ==+-，，代入各量即得解（2）由（1）知,sin 3C C π==由正弦定理得解.
试题解析：
（1）2220ABC a b c ab 在中，∆+--=
∴由余弦定理可知2221cos 222
a b c ab C ab ab +-=== 2222cos c a b ab C =+-,
解得c =
（2）由（1）知，()1cos ,0,2C C π=∈，所以,sin 3C C π==
由正弦定理有sin ,sin sin sin b c b C B B C c ===得 19．（1）2n a n =；（2）15n =.
【解析】
试题分析：（1）等差数列{}n a 中，1012019201940
a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得1d a ，得出n a (2) 由()
112402n n n S na d -=+=,将12,2a d ==代入上式得n.
试题解析：
设数列{}n a 的首项为1,,a d 公差为
（1）因为10120
19201940a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：12,2a d == 故()112n a a n d n =+-=.
（2）由()
112402
n n n S na d -=+=，将12,2a d ==代入上式， 得()221240,2400n n n n n +-=+-=即，
解得1516n n 或==-（不符合题意，舍去），
所以15n =.
20．（1
）2
；（2
）【解析】
试题分析：（1）将圆1C 化为()2
21)28x y +++=（，求圆心到直线40x y --=的距离 d ，则圆上点到直线40x y --=的最大距离为d r +（2）联立两圆的方程有222224304290
x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+---=⎩，两式相减有10x y ++=即为两圆公共弦所在的直线方程，求出圆1C 到直线10x y ++=的距离d ，则根据勾股定理即得解.
试题解析：
（1）将圆1C 化为()2
21)28x y +++=（
所以圆1C 的圆心为()1,2--
，半径r =所以圆心到直线40x y --=的距离
d ==， 则圆上点到直线4
0x y --=的最大距离为2d r +=
. （2）联立两圆的方程有222224304290x y x y x y x y ⎧+++-=⎨+---=⎩
， 两式相减有10x y ++=即为两圆公共弦所在的直线方程，
圆1C 到直线10x y ++=
的距离
d =
=则公共弦长=
=.
点睛：解决直线与圆的问题，求圆上点到直线40x y --=的最大距离往往利用到圆心到直线的距离加半径即得最大距离，减半径即得最小值；求两圆的公共弦即通过把两圆方程相减即可.
21．（1）见解析；（2）
12
. 【解析】
试题分析：（1）要证S AC SBC ⊥平面平面需先证得BC SAC 平面⊥，需先证得SA BC ，⊥又AC BC ⊥，易得证（2）因为//A SC EF SC SBC ⊂平面且平面，AEF SBC EF ⋂=平面平面，
//SC EF 所以，根据平行线分线段成比例即得解.
试题解析：
证明（1）因为AB 为圆O 的直径，所以AC BC ⊥
又因为SA BC αα⊥⊂平面，平面
所以SA BC ⊥,
因为SA AC A ⋂=
所以BC SAC 平面⊥,又因为S BC BC ⊂平面
所以S AC SBC ⊥平面平面.
（2）因为//A SC EF SC SBC ⊂平面且平面，
AEF SBC EF ⋂=平面平面，
//SC EF 所以， 在122BE SCB SE EB SE ∆==中，，即
所以12
BF BE FC SE ==. 22．（1）13
n n a =；（2）1213344n n n S +-=⋅+. 【解析】
试题分析：（1）等比数列{}n a 由已知可得21451191
243a a q a a q ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
，解得1a ，q 得n a （2） 3n n b n =⋅，求23132333......3n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，利用错位相减法得出n S .
试题解析：
（1）设数列{}n a 的首项为1a q ，公比为，
由已知可得21451191
243a a q a a q ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得111,33a q ==， 所以1113n n n
a a q -==. （2）因为233,132333......3n n n n n
n b n S n a ==⋅=⋅+⋅+⋅++⋅， 所以23413132333......3n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，相减得 1234113323333 (33)
313n n n n n S n n +++--=+++++-⋅=-⋅-， 所以1213344
n n n S +-=⋅+ 点睛： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的，注意计算的准确性.。