几何化猜想

威廉·瑟斯顿（威廉·瑟斯顿）的几何化猜想（geometrization conjecture）指的是，任取一个紧致(可能带边)的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。

八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。

1.标准球面S ，具有常曲率+l
2.欧氏空间R ，具有常曲率0
3.双曲空间H ，具有常曲率-1
4.S ×S
5.H ×S
6.特殊线性群(2，R)上左不变黎曼度量
7.幂零几何
8.可解几何
黎曼对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个黎曼度量，从而研究上面的几何。

Klein 的观点就不是那么普适了，因为Klein 意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。

不过二维曲面上都可以有Klein 式的几何，这就是黎曼, Klein, 庞加莱, Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。

举例子说，在可定向闭曲面里，S^2上当然是球面几何，T^2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面
上可以有双曲几何。

三维以上就没有这么好运了，威廉·瑟斯顿的天才创见就在于：提出了单值化定理在三维情形的类比--威廉·瑟斯顿的几何化猜想(geometrization conjecture)。

威廉·瑟斯顿本人对Haken流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。

但他的证明相当艰深，强烈地依赖于几何直观。

威廉·瑟斯顿本人只是在Princeton 的课堂上讲授这一证明，并将未正式出版的讲义在圈内散发。

光直接向他索要讲义的就超过一千人，间接复印的则更多，可见他的工作影响之巨。

威廉·瑟斯顿后来也曾经想正式发表他的证明。

他计划写一系列共7篇文章，第一篇于1981年投出，1986年才得以发表，可见其艰深晦涩。

第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。

威廉·瑟斯顿本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。

这种述而不作的态度引来包括J. P. Serre 在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。

但这并没有妨碍威廉·瑟斯顿获得1983年的Fields 奖。

数学当然需要严格性，但像威廉·瑟斯顿这样直觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。

这些体力活自然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。

像John Morgan 就曾给出Haken 流形的几何化定理的较严格的不完全证明，McMullen 以别的方法也给过严格证明。

同样的事情也发生在威廉·瑟斯顿其余的几个重要定理上。

直至今日，他那些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。

需要指出，在几何化猜想之前，威廉·瑟斯顿已经因为他在三维流形上的foliation 方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖Veblen 奖。

而且他的文风一直以简洁清晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。

所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙，你就必须做一些非常实实在在的工作以立足；只有当你成为威廉·瑟斯顿, Gromov 那样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。

威廉·瑟斯顿几何化猜想可以直接推出庞加莱猜想，最近对庞加莱猜想的突破就从这里开始。

但威廉·瑟斯顿工作的重要性并不光是能推出庞加莱猜想。

因为庞加莱猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而威廉·瑟斯顿描述出
了对所有三维流形进行分类的大纲。

而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双曲几何)、Kleinian群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。

在他之前，低维拓扑虽然也做得很热闹，也有Milnor 等大人物涉足其中，但毕竟只是拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。

威廉·瑟斯顿等人的工作之后，低维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。

要想彻底证明威廉·瑟斯顿的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已经无能为力了，需要发展新的方法。

1982年，Richard Hamilton (并非那位特别有名的19世纪爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton) 在中提出了Ricci flow 的概念，给几何化猜想带来一丝曙光。

所谓Ricci flow，“流动”的是度量。

在流形上随便给定一个初始度量，Hamilton 让它随时间变化，并用一组偏微分方程来描述这种变化，这便是Ricci flow. Hamilton 期望，在特定的初始条件下，随着时间的增长，Ricci flow 能够流向比较“好”的度量。

二十多年来，Hamilton 等人做了大量工作，使Ricci flow 发展为微分几何里一种行之有效的方法。

1996年，Hamilton 被授予Veblen 奖，"for his continuing study of the Ricci flow and related parabolic equations for a 黎曼ian metric"，与他同时获奖的是中国青年数学家田刚。

Hamilton 引入Ricci flow 的一个非常明确的目标就是证明威廉·瑟斯顿的几何化猜想。

所以当2002年底，俄国数学家Grisha Perelman 宣布他用Ricci flow 证明了几何化猜想，从而解决庞加莱猜想时，数学界的第一印象是：这件事是挺合乎情理的。