复数知识总结

复数
1. 定义：形如 a bi a b R 、的数叫复数①i 是虚数单位，规定i 2=﹣1 ②实数与复数进行运算时原有定理仍成立 ③当b=0时叫实数 ④b ≠0时叫虚数 ⑤a =0 b ≠0时叫纯虚数 ⑥a 叫实部，b 叫虚部 ⑦复数：实数与虚数
2. 相等复数①,;a bi c di a c b d 则 ②00,0a bi a b ，则
3. 两个虚数是不能比较大小的，
但模可以比较大小Z 复数与复平面上的点是一一对应的
4. 共轭复数,a b i a b i Z 与表示Z 、,其性质①Z Z ②2
2
Z Z Z Z
Z Z 或
③2,2Z Z a Z Z bi ④1212
Z Z Z Z ⑤
1212Z Z Z Z ⑥11
2
2
Z Z Z Z
5. 模的性质①2
2
2
2
Z Z Z Z Z Z
②11
121222
;Z Z Z Z Z Z Z Z ③121212Z Z Z Z Z Z 注意取等号的条件 6. 复数的加减，符合△法则及 法则
7. 复数的乘法()()()()a bi c di ac bd bc ad i ，其性质①m n m n
Z Z Z ②
n
m
m n mn Z
Z Z ③1m m Z Z
④441
42431;;1;n n n n i i i i i i ⑤44142430n n n n i i i i
8. 复数的除法
2222
a bi ac bd bc ad
i c di c d c d 9. 复数的轨迹①1Z Z ②1Z Z r ③12r Z r ④12z z z z ⑤
122z z z z a ⑥122z z z z a 10. 常见结论①2(1)2i i ②
11i
i i
③11i i i 11. 复数的三角形式 cos sin ,Z r i r 是模，是辅角，性质①
12121212cos()sin()Z Z rr i ②
11
121222
cos()sin()Z r i Z r
12. 1的立方根有三个，①1
②112
③212
；性质①33
121 ②1210 ③2
2
1221; ④121 ⑤31n
练习
1. 已知 2,23121m R Z i m i m i ①若z 为实数，则m=---------
② 若z 为纯虚数，则m=----------
2. 若方程221x mx xi mi 有实根，求实数m
3. 已知221,22z i z i 则的最小值。

提示①按几何意义② 按
1212z z z z 4.
已知100501z z z 则—————— 5. 求34i 的平方根。

6. 复数2,12m i
z m R i
在复平面上的对应点不可能在---------- A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
7. 若
2
1z
R z ，则Z 应满足什么条件 8. 若虚数Z 满足3328,22z z z z 求的值 9. 已知12,z z 为非零复数，且1212
z z z z ，求证2
12
z z
是负数。

提示证
1
2
z z 是纯虚数 10. 若2210010,1x x x x x 则________ 11. =,z a bi a b R 若、,则有（）
A
z a b B
z a b
C
z a b D
z a b
12. 下列命题①设a 、b 、c 都是复数，如果2222220a b c a b c 则，②设a b
c 都是复数如222222
0,a b c a b c 则，上述两命题正确的有------------
13. 设 222532,z t t t t i t R ，则下列正确的------------A 、z 对应点在第
一象限 B 、z 一定不为纯虚数 C 、z 对应点在实数轴的下方 D 、z 一定是实数 E 、z 一定不是实数
14. 复数z 满足|z|=5,且 34i z 在复平面上对应点在二、四象限平分线上，求z 15. 关于x 方程240-23x x k i 一个根，则实数K =-------------
16. 22
111
(),(1)(2)()(3)()(4)()1234x f x f f i f f i f f i f x i i i
函数则 的值————
————
17. 已知 2212z x z x a i 对任意实数x 都有12z z 恒成立，求实数a 的范围
18. 2,13AB i CB i
则CA 对应复数-------
19. 复数z 在复平面上对应点在单位圆上，则复数21
z z
为
A 纯虚数
B 是实数
C 只能为零
D 是虚数但不是纯虚数。