天津市红桥区2019届高三一模数学(理)试卷

高三数学（理）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若i 为虚数单位，设复数i i
i
z 211++-=
，则=z A. 0 B.
2
1
C. 1
D. 2
（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0002054y x y x y x ，则目标函数x y z 2-=的最大值为
A. 7 B .5 C. 3 D .1
（3）已知4log 3=a ，31
)41(=b ，51
log 3
1
=c ，则c b a ,,的大小关系为 A.b a c >> B. c a b >> C. a b c >> D.c b a >>
（4）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（5）若0>a ，0>b ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是
A.211>ab
B. 11
1≤+b a C.2≥ab D.8
1122≤+b a
（6）若如图所示的程序框图输出的S 是126，则n 条件为
A. n ≤？5
B. n ≤？6
C. n ≤？7
D. n ≤？8
（7）双曲线122
22=-b
y a x C ：)0,0(>>b a 的左、右焦点分别
为1F 、2F ，点P 在C 上，且b PF PF 321=+，
ab PF PF 49
21=
⋅，则双曲线的离心率为 A.34 B. 35 C. 3
10 D. 10 （8）若方程
21
12-=--kx x x 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是
A. ()1,-∞-
B. ()0,1-
C. ()40，
D. ()()4,11,0
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（9）已知集合{}
Z Z,,1|),(U 22∈∈≤+=y x y x y x ，则集合U 中的元素的个数为
______
.（用数字填写）
（10）在9)1(x
x -的展开式中的常数项是
______
.
（11）设直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t
y t x l 23211:（t 为参数），曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x C ：（θ为参数），直线l 与曲线C 交
于A 、B 两点，则=
AB _______
.（用数字填写）
（12）若函数x x x f sin cos )(-=在[]a a ,-是减函数，则a 的最大值是__________. （13）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球O 的
体积为
______
.
（14）已知两点)3,1(),0,1(B A ,O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120=∠AOC ,设
=+-λ2，R ∈λ，则实数=
λ______
.（用数字填写）
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,.已知B c A b sin 3sin =,
3=a ，3
2
c o s
=B . （Ⅰ）求：b 的值；
（Ⅱ）求：⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-32cos πB 的值.
（16）（本小题满分13分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人
获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为3
1
，乙每次投篮投中的概
率为
2
1
，且各次投篮互不影响. (Ⅰ)求甲获胜的概率；
(Ⅱ)求投篮结束时甲的投球次数 的分布列和期望.
（17）（本小题满分13分）
在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ,AB AD ⊥,DC AB //,
2===AP DC AD ,1=AB ,点E 为棱PC 中点.
（Ⅰ）证明：BE //平面PAD ；
（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足AC BF ⊥,求二面角P AB F --的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
设等差数列{}n a 的公差为d ，d 为整数，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22=b ，q d =，10010=S ，n ∈N*. (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (Ⅱ)设n
n
n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和为n T .
（19）（本小题满分14分）
设椭圆1:22
22=+b
y a x C )0(>>b a 的离心率为21，直线l 过点)2,0()0,4(B A 、，且
与椭圆C 相切于点P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点)0,4(A 的直线m 与椭圆C 相交于不同两点N M 、，使得
AN AM AP ⋅=35362
成立？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由.
（20）（本小题满分14分）
已知函数)ln()(k e x f x +=（k 为常数）是实数集R 上的奇函数，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）讨论关于x 的方程m ex x x f x
+-=2)
(ln 2的根的个数．
高三数学（理）参考答案
一、选择题 每题5分
二、填空题 每题5分
9. 5 10. 84- 11. 1 12. 4
π
13. π34 14. 1
三、解答题
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）由B c A b sin 3sin =，得bc ab 3=， ..................................2分
即c a 3=，且3=a ，
所以1=c ；................................................................................3分 因为B ac c a b cos 2222-+=..................................................5分 且3
2cos =B 解得6=
b ...............................................................................7分
（Ⅱ）因为32cos =
B ，所以3
5sin =B ， .................................8分 则9
5
4cos sin 22sin =
=B B B ， .........................................9分 9
1
1c o s 22c o s
2
-=-=B B ， ................................................10分 因为3sin 2sin 3cos 2cos 32cos πππB B B +=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-..................11分 18
1
154-=
...............................................13分
16. （本小题满分13分）
（Ⅰ）设“甲获胜”甲获胜为事件A ，
3
1
2132213231213231)(⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+=
A P ......................................3分
27
13
=
...........................................................................5分
（Ⅱ）ξ的取值情况可能为1,2,3，
()3
22132311=⨯+==ξP ()9
2213221323121322=⨯⨯⨯+⨯⨯==ξP ()9
1
213221323=⨯⨯⨯=
=ξP ..........................................................8分 ξ的分布列为
.........................................................11分
所以=⨯+⨯+⨯=913922321ξE 9
13 ................................................13分
17. （本小题满分13分）
（Ⅰ）取PD 中点M ，连接AM ，EM ， 由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，
故DC EM //,且DC EM 21
=， 又因为CD AB //，DC AB 2
1
=，
所以AB EM //且AB EM =，
故四边形ABEM 为平行四边形，.........................................2分 所以AM BE //，且⊄BE 平面PAD ，⊂AM 平面PAD ， 所以 BE //平面PAD ...........................................4分
（Ⅱ）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得)0,0,1(B ，)0,2,2(C ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P 。

由E 为棱PC 的中点，得)1,1,1(E 。

向量)0,2,1(-=，)2,0,1(-=。

设),,(z y x =为平面PBD 的法向量，
则⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅=⋅00n BD 即⎩⎨
⎧=-=+-020
2z x y x 可得)1,1,2(=为平面PBD 的一个法向量， .........................................6分 且)1,1,0(=BE
于是有=
3
3
=
，......................................................8分 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
3
3
. ..........................9分 （Ⅲ）向量)0,2,1(=，)2,2,2(--=，)0,2,2(=，)0,0,1(=。

由点F 在棱PC 上，设λ=，10≤≤λ。

（若λ=，则4
1=λ） 故λ+=+=)2,22,21(λλλ--=。

由⊥，得0=⋅， 因此0)22(2)21(2=-+-λλ，解得4
3
=λ， ...................................11分 （若λ=，则4
1=λ） 即)2
3
,21,21(-
=。

设),,(1z y x n =为平面FAB 的法向量， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=023212
10z y x x ，
可得)1,3,0(1-=n 为平面的FAB 一个法向量。

................................12分
取平面ABP 的法向量)0,1,0(2=n ，
则=10
103=， ................................13分 二面角P AB F --是锐角，所以其余弦值为
10103。

18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题意有⎩
⎨⎧==+2100451011d a d a ，.................................................2分 解得⎩⎨⎧==211d a 或⎪⎩
⎪⎨⎧==9291d a （舍），..................................................4分 所以12-=n a n ，12-=n n b ..................................................6分 （Ⅱ）由题意知12
12--==n n n n n b a c , 则n n c c c T +++= 21
n T 1102
122321--+++=
n n ① ..................................................8分 =n T 21n n 212232121-+++ ② .................................................9分 所以 ①-②得： =n T 2
1 n n n 212)222222(1121--++++- .......................11分 即n n n T 2
32321+-=，n ∈N*． .......................................................................12分 整理得：12326-+-=n n n T 。

......................................................................13分
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）由 2
1=e 可得 c a 2=， ..............................................................1分 点)2,0()0,4(B A 、的直线042:=-+y x l , ........................................2分
⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1340422222c
y c x y x ，解得031212422=-+-c y y ，..............................3分
因为直线l 与椭圆C 相切，
所以0)312(441222=-⨯-=∆c ，解得1=c ，..................................5分
则2=a ，3=b 则椭圆13
4:2
2=+y x C ； ......................................................................................6分 （Ⅱ）由题意知的m 斜率存在故设)4(:-=x k y m
设),(11y x M 、),(22y x N , 代入椭圆13
4:2
2=+y x C 的方程中, 整理得0126432)34(2222=-+-+k x k x k ,..................................................................7分 解0>∆，得2
121<<-k .....................................................................................................8分 由韦达定理有:34322221+=+k k x x ,3
412642221+-=k k x x ①....................................................9分 直线042:=-+y x l 与椭圆13
4:2
2=+y x C 相切于点P 的坐标)23,1(......................10分 4
452=AP ， 7810cos =
⋅=⋅=⋅AN AM AN AM AM .........................................................11分 22222121)4()4(y x y x AN AM +-⋅+-=⋅
2222221221)4()4()4()4(x k x x k x -+-⋅-+-=
)4)(4)(1(212x x k --+=
[]16)(4)1(21212++-+=x x x x k
3
436)1(22++=k k 781=⋅AN AM 3
436)1(22++=k k 解得4
2±=k ，经经验成立，..................................................................................13分
则直线m 的方程)4(4
2-±=x y .............................................................................14分 20.（本小题满分14分）
（Ⅰ） 因为函数)ln()(k e x f x +=（k 为常数）是实数集R 上的奇函数，
所以)()(x f x f -=-即0)0(=f ，.......................................................................2分 则0)ln(0=+k e 解得0=k ，. ...........................................................................4分 显然0=k 时，x x f =)(是实数集R 上的奇函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得x x f =)(...........................................................................................5分 程转化为m ex x x
x +-=2ln 2， 令x
x x h ln )(=（0>x ），m ex x x g +-=2)(2 （0>x ）, 因为2
ln 1)('x x x h -=，令0)('=x h ，得e x =，..................................................6分 当()e x ,0∈时，0)('>x h ，∴x
x x h ln )(=在()e ,0上为增函数；....................7分 当()∞+∈，e x 时，0)('<x h ，x
x x h ln )(=在()∞+，e 上为减;..........................8分 当e x =时，e
e h x h 1)()(max ==；..........................................................................9分
而m e e x x g +--=22)()(
∴m e e x x g +--=22)()(在()e ,0上为减函数，
在()∞+，
e 上为增函数；..................................10分 当e x =时，2min )()(e m e g x g -==；....................................................11分 ∴当e e m 12>
-，即e
e m 12+>时，方程无解；.....................................12分 当e e m 12=-，即e
e m 12+=时，方程有一个根；.............................13分 当e e m 12<-，即e e m 12+<时，方程有两个根；.............................14分。