初中数学反比例函数知识点总复习含答案解析

初中数学反比例函数知识点总复习含答案解析
一、选择题
1．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k y x
=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )
A ．20x -<<或04x <<
B ．2x <-或04x <<
C ．2x <-或4x >
D ．20x -<<或4x >
【答案】B
【解析】
【分析】 根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.
【详解】
观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，
故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.
2．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数k y x
=
和3y kx =+的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】
解：A、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；
B、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；
C、由函数y=k
x
的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；
D、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
3．已知反比例函数
2
y
x
-
=，下列结论不正确的是（）
A．图象经过点（﹣2，1）B．图象在第二、四象限C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞2【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
A选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；
B选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；
C选项：当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D选项：当x＞0时，y＜0，故本选项错误．
故选D．
4．如图，反比例函数y＝2
x
的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积
为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．
【详解】
解：Q 反比例函数2y x
=
， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，
2AB AD ∴=．
∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k y x x
=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x
=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）
A ．不变
B ．逐渐变大
C ．逐渐变小
D ．先变大后变小
【答案】A
【解析】
【分析】 根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -．
【详解】
∵点A 是函数(0k y x x =
>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，
∴矩形ACOB 的面积为k ，
∵点E 、F 在函数1y x =
的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12
=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =-
-=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝
8x
上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )
A．8
5
B．
23
5
C．3.5 D．5
【答案】B 【解析】【分析】
设点D(m，8
m
)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点
H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.
【详解】
解：设点D(m，8
m
)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于
点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：
∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，
又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，
∴△DHA≌△CGD(AAS)，
∴HA＝DG，DH＝CG，
同理△ANB≌△DGC(AAS)，
∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，8
m
﹣1)，CG＝DH，
AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，
故点G (﹣2，﹣5)，D (﹣2，﹣4)，H (﹣2，1)，
则点E (﹣
85
，﹣5)，GE ＝25， CE ＝CG ﹣GE ＝DH ﹣GE ＝5﹣25＝235， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.
7．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝
3x ；③y ＝﹣5x
：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ）
A ．①③
B ．③④
C ．②④
D ．②③
【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】 解：①y ＝﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ②y ＝3x
，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ③y ＝﹣
5x
，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； ④y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； 故选：B ．
【点睛】
此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键． 8．在平面直角坐标系xoy 中，函数()20y x x =<的图象与直线1l ：()103
y x b b =+<交于点A ，与直线2l ：x b =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C ，记函数()20y x x =
<的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC 围城的区域（不含边界）为W ，当
4233
b -≤≤-时，区域W 的整点个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．没有
【答案】D
【解析】
【分析】
根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择.
【详解】 ∵
()
20y x x =<，过整点（-1，-2），（-2，-1）， 当b=43
-时，如图：区域W 内没有整点，
当b=23
-时，区域W 内没有整点， ∴4233
b -
≤≤-时图形W 增大过程中，图形内没有整点， 故选：D.
【点睛】 此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.
9．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=
1k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象上，∠ABO=30°，则21
k k =（ ）
A．-3 B．3
C．
1
3D．-
1
3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A、B的坐标，表示出k1、k2，进而得出k2与k1的比值．
【详解】
如图，设AB交x轴于点C，又设AC=a.
∵AB⊥x轴∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，OC=AC·tan∠OAB=a·tan60°3
∴点A3a，a）
同理可得点B3，-3a）
∴k1332， k23a×（-3a）3a
∴2
133
3 3
k a
k a
==-.
故选A.
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k，是解决问题的方法．
10．如图，直线y1＝x+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2
＝﹣5
x
（x＜
0）的图象交于C，D两点，点C的横坐标为﹣1，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF ⊥x轴于点F．下列说法正确的是（）
A．b＝5
B．BC＝AD
C．五边形CDFOE的面积为35
D．当x＜﹣2时，y1＞y2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数值与相应自变量的关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式，可判断A选项；
根据解方程组，可得C、D点的坐标，根据全等三角形的判定与性质，可判断B选项；
根据图形的分割，可得梯形、矩形，根据面积的和差，可判断C选项；
根据函数与不等式的关系：函数图象在上方的函数值大，可判断D选项．
【详解】
解：由反比例函数y2＝﹣5
x
（x＜0）经过C，点C的横坐标为﹣1，得
y＝﹣5
1-
＝5，即C（﹣1，5）．
反比例函数与一次函数交于C、D点，
5＝﹣1+b，
解得b＝6，故A错误；
CE⊥y轴于E点，E（0，﹣5），BE＝6﹣5＝1．
反比例函数与一次函数交于C、D点，联立
6
5
y x
y
x
=+
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，
x2+6x+5＝0
解得x1＝﹣5，x2＝﹣1，
当x＝﹣5时，y＝﹣5+6＝1，即D（﹣5，1），即DF＝1，在△ADF和△CBE中，
DAF BCE AFD CEB DF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△ADF ≌△CBE （AAS ），
AD ＝BC ，故B 正确；
作CG ⊥x 轴，
S △CDFOE ＝S 梯形DFGC +S 矩形CGOE ＝()
(15)422
DF CG FG OG CG ++⨯+g +1×5＝17，故C 错误； 由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，
得﹣5＜x ＜﹣1，
即当﹣5＜x ＜﹣1时，y 1＞y 2，故D 错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系，点的坐标与函数解析式的关系，全等三角形的判定与性质，图形分割法求图形的面积，函数图象与不等式的关系．
11．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x
（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）
A ．y=﹣6x
B ．y=﹣4x
C ．y=﹣2x
D ．y=2x
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，进而得出S
△AOD
=3，即可得出答案．【详解】
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∵
BO
AO
=tan30°=
3
3
，
∴
1
3
BCO
AOD
S
S
=
V
V
，
∵
1
2
×AD×DO=
1
2
xy=3，
∴S△BCO=
1
2
×BC×CO=
1
3
S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=﹣
2
x
．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．
12．下列各点中，在反比例函数
3
y
x
=图象上的是（）
A．(3，1) B．（-3，1）C．(3，
1
3
) D．（
1
3
，3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3.
【详解】
解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵
1
3=13
3
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵1
3=13
3
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；
故选A.
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两
点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y
k
x
=（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD
的面积为25，则k的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为25，求得AE的长，在Rt△AEB 中，即可得出k的值．
【详解】
过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y
k
x
=（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A （4k ，4），B （2k ，2）， ∴AE ＝2，BE 12=k 14-k 14=k ， ∵菱形ABCD 的面积为25，
∴BC×AE ＝25，即BC 5=
， ∴AB ＝BC 5=，
在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =
-=1 ∴
14
k ＝1， ∴k ＝4．
故选：C ．
【点睛】 本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
14．如图，过点()1,2C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线5y x =-+于A 、B 两点，
若反比例函数(0)k y x x
=>的图象与ABC V 有公共点，则k 的取值范围是（ ）
A ．2524k ≤≤
B ．26k ≤≤
C ．24k ≤≤
D ．46k ≤≤
【答案】A
【解析】
【分析】 由点C 的坐标结合直线AB 的解析式可得出点A 、B 的坐标，求出反比例函数图象过点C 时的k 值，将直线AB 的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△≥0可求出k 的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB 上，综上即可得出结论．
【详解】
解：令y ＝−x ＋5中x ＝1，则y ＝4，
∴B （1，4）；
令y ＝−x ＋5中y ＝2，则x ＝3，
∴A （3，2）， 当反比例函数k y x =（x ＞0）的图象过点C 时，有2＝1k ， 解得：k ＝2， 将y ＝−x ＋5代入k y x
=
中，整理得：x 2−5x ＋k ＝0， ∵△＝（−5）2−4k≥0，
∴k ≤254
， 当k ＝254时，解得：x ＝52
， ∵1＜52＜3， ∴若反比例函数k y x
=
（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是2≤k≤254， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A 、C 时的k 值以及直线与双曲线有一个交点时k 的值．
15．反比例函数k y x
=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】 根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案.
【详解】
∵点（1，3）在反比例函数图象下方，
∴k>3，
∵点（3，2）在反比例函数图象上方，
∴3
k <2，即k<6，
∴3<k<6，
故选：B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.
16．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋
转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2
x
的图象上，OA'交反比例函数y=
k
x
的图象
于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）
A．4 B．7
2
C．8 D．7
【答案】C
【解析】
【详解】
解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），
∵点B'在反比例函数y=﹣2
x
的图象上，
∴﹣asinα=﹣
2
acosα
，得a2sinαcosα=2，
又∵点C在反比例函数y=k
x
的图象上，
∴2acosα=
k
2asinα
，得k=4a2sinαcosα=8.
故选C.
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.
17．如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x
=>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k y k x
=>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为
32，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．32 【答案】B
【解析】
【分析】 首先根据A,B 两点的横坐标，求出A,B 两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D 两点的坐标，从而得出AC,BD 的长，根据三角形的面积公式表示出S △OAC ,S △ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为
32，列出方程，求解得出答案.
【详解】
把x=1代入1y x
=得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入1y x =
得：y=12, ∴B(2, 12
), ∵AC//BD// y 轴, ∴C(1,K),D(2,
k 2) ∴AC=k-1,BD=
k 2-12， ∴S △OAC =
12（k-1）×1, S △ABD =12 (k 2-12
)×1, 又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为
32，
∴12（k-1）×1＋12 (k 2-12)×1=32
，解得：k=3; 故答案为B.
【点睛】 :此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键.
18．反比例函数k y x
=的图象在第二、第四象限，点()()()1232,,4,,5,A y B y C y -是图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．312y y y >>
D ．231y y y >> 【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随x 的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论.
【详解】
解：∵反比例函数k y x
=图象在第二、四象限， ∴反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，
∵-2<4<5，
∴点B 、C 在第四象限，点A 在第二象限，
∴23y y <<0，10y > ，
∴132y y y ＞＞.
故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键.
19．如图所示，已知()121
,,2,2A y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点()
,0P x 在x 轴正半轴上运动，当AP BP -的值最大时，连结OA ，AOP ∆的面积是 （ ）
A．1
2
B．1 C．
3
2
D．
5
2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据反比例函数解析式求出A，B的坐标，然后连接AB并延长AB交x轴于点P'，当P 在P'位置时，PA PB AB
-=,即此时AP BP
-的值最大，利用待定系数法求出直线AB的解析式，从而求出P'的坐标，进而利用面积公式求面积即可．
【详解】
当
1
2
x=时，2
y=，当2
x=时，
1
2
y=，
∴
11
(,2),(2,)
22
A B．
连接AB并延长AB交x轴于点P'，当P在P'位置时，PA PB AB
-=,即此时AP BP
-的值最大．
设直线AB的解析式为y kx b
=+，
将
11
(,2),(2,)
22
A B代入解析式中得
1
2
2
1
2
2
k b
k b
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
解得
1
5
2
k
b
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线AB解析式为
5
2
y x
=-+．
当0
y=时，
5
2
x=，即
5
(,0)
2
P'，
1155
2
2222
AOP A
S OP y
'
∴=⋅=⨯⨯=
V
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP
-何时取最大值是解题的关键．
20．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于
圆锥的母线长得到2πr=270
180
l
π⋅⋅
，整理得l=
4
3
r（r＞0），然后根据正比例函数图象求
解．【详解】
解：根据题意得2πr=270
180
l
π⋅⋅
，所以l=
4
3
r（r＞0），
即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．故选A．
【点睛】
本题考查圆锥的计算；函数的图象．。