高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.1平均变化率222数学

第二十九页，共二十九页。
12/13/2021
第四页，共二十九页。
3．观察函数 f(x)的图象(如图)，平均变化率f(xx2)2－ －fx(1x1)的几何意 义是直线 P1P2 的_斜__率__(x_ié．lǜ)
12/13/2021
第五页，共二十九页。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 y＝2x＋1 在[1，3]上的平均变化率是零，直线 y＝5 在[1， 3]上的平均变化率不存在．( × ) (2)甲、乙二人销售化妆品，从 2016 年 2 月开始的 3 个月内，甲 投入资金 5 万元获利 4 万元，乙投入资金 8 万元获利 6 万元．因 此我们认为乙的经营效果较好．( × ) (3)一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率.( √ ) (4)函数 f(x)在 A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均变化率就是直线 AB 的斜率．( √ )
12/13/2021
第二十一页，共二十九页。
弄清实际问题中的函数关系是解答本题的关键，此处因计算
r(V)出错失分．本题要求气球半径随体积变化，其函数关系是
3
r(V)＝
34Vπ，而不是 V(r)＝43πr3.
按照计算平均变化率的步骤，先求函数增量 Δy，再求平均变
化率ΔΔxy，此处因计算不精确造成失分．
2．已知曲线 y＝x2＋1 在区间[1，x0]上的平均变化率为 3，则 x0 ＝________． 解 析 ： 函 数 y ＝ x2 ＋ 1 在 区 间 [1 ， x0] 上 的 平 均 变 化 率 为 (x20＋1x)0－－(112＋1)＝xx200－－11＝x0＋1，由已知，得 x0＋1＝3，解得 x0＝2. 答案：2
12/13/2021
第二十二页，共二十九页。
1．设函数 y＝f(x)＝x2－1，当自变量 x 由 1 变为 1.1 时，函数的
平均变化率为( )
A．2.1
B．1.1
C．2
D．0
解析：选 A．ΔΔxy＝f(11.1.1)－－f1(1)＝00..211＝2.1.
12/13/2021
第二十三页，共二十九页。
求正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变化率， 并比较它们的大小．
【解】 当自变量从 0 到 0＋Δx 时，设函数的平均变化率为 k1，
则
k1＝sin
Δx－sin Δx
0＝sinΔxΔx.
当自变量从π2到π2＋Δx 时，设函数的平均变化率为 k2，则
k2＝12s/1i3n/202π21 ＋ΔΔxx－sinπ2＝cos
12/13/2021
第二十六页，共二十九页。
本部分内容讲解 结束 (jiǎngjiě)
按ESC键退出(tuìchū)全屏播放
12/13/2021
第二十七页，共二十九页。
12/13/2021
第二十八页，共二十九页。
内容(nèiróng)总结
第1章 导数(dǎo shù)及其应用
No Image
12/13/2021
1－ 2
1
1 1
＝ 22－1.
12/13/2021
第十页，共二十九页。
若本例其余条件不变，把区间改为[1，3]，那么平均变化率为多 少？
解：函数
f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为f(33)－－f1(1)＝
1－ 3
2
1 1
＝ 63－12.
12/13/2021
第十一页，共二十九页。
(1)求函数 f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的步骤是： 第一步：求 x2－x1. 第二步：求 f(x2)－f(x1)． 第三步：由定义得出f(xx2)2－ －fx(1x1). (2)注意平均变化率公式中分子与分母形式上的对应关系，以防 代入数值时出错．
12/13/2021
第十二页，共二十九页。
1. 函 数 y ＝ x2 ＋ 1 在 [2 ， 3]上 的 平 均变 化 率 是 ________．
解析：因为(32＋1)－(22＋1)＝5，所以3－5 2＝5，即平均变化率 是 5. 答案：5
12/13/2021
第十三页，共二十九页。
函数平均变化率的应用
12/13/2021
第二十页，共二十九页。
类似地，当空气容积从 1 L 增加到 2 L 时，气球半径增加了 r(2)
－ r(1)≈0.16
(dm)
．
气
球
的
平
均
膨
胀
率
为
r(2)－r(1) 2－1
≈
0.16
(dm/L)．因为 0.62>0.16，所以随着气球体积逐渐变大，它的平
均膨胀率逐渐变小了，因此气球的半径增加的越来越慢．
12/13/2021
第三页，共二十九页。
1．平均变化率的定义：一般地，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平 f(x2)－f(x1)
均变化率为____x_2－__x_1________．
2．平均变化率是曲线_陡__峭__(d_ǒu程qià度o) 的“数量化”，或者说，曲线
陡峭程度是__平_均__(p_ín_gj_ūn_)_变_化_的率“视觉化”．
第十五页，共二十九页。
(1)比较平均变化率的大小，可按作差法或作商法的步骤进行．关 键是对差式进行合理的变形，以便探讨差的符号． (2)平均变化率的大小类似于函数的单调性，可说明函数图象的 陡峭程度．
12/13/2021
第十六页，共二十九页。
2.一质点沿直线运动，位移与时间的关系为 S＝13t3 －32t2＋2t.那么在 t＝1 s 到 t＝2 s 时间段内的平均速度为多少？ 解：在 t＝1 s 到 t＝2 s 时间段内的平均速度为 S(22)－－1S(1)＝13×23－32×22＋2×2－1 13×13－32×12＋2×1 ＝23－56＝－16.
12/13/2021
第十九页，共二十九页。
【解】 气球的体积 V(单位：L)与半径 r(单位：dm)之间的函 数关系是 V(r)＝43πr3，将半径 r 表示为体积 V 的函数，那么 r(V) ＝ 3 34Vπ， 当气球空气容积 V 从 0 增加到 1 L 时， 气球半径增加了 r(1)－r(0)≈0.62 (dm)．气球的平均膨胀率为 r(11)－－0r(0)≈0.62 (dm/L)．
12/13/2021
第十八页，共二十九页。
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现， 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．试 从平均变化率的角度，比较气球容量 V 从 0 增加到 1 L 及从 1 L 增加到 2 L 时平均膨胀率的大小关系，能否用来解释气球的半 径增加得越来越慢？
12/13/2021
第十七页，共二十九页。
对平均变化率的三点说明 (1)函数 f(x)在 x1 处有定义． (2)Δx 是变量 x2 在 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意一点， 即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2)．
12/13/2021
第六页，共二十九页。
2．如图，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变化率是( )
A．1 C．2
B．－1 D．－2
解析：选 B．ΔΔxy＝f(33)－－f1(1)＝1－2 3＝－1.
12/13/2021
第七页，共二十九页。
3．给半径为 R 的热气球加热，使其体积增大，若半径从 R＝1 到 R＝m 时的体积膨胀率为193π，则 m＝________． 解析：因为 V＝43πR3，所以43πmm－3－143π＝43π(m2＋m＋1)＝193π， 所以 m2＋m－145＝0，解得 m＝1.5(负值舍去)． 答案：1.5
12/13/2021
第八页，共二十九页。
4．已知函数 y＝3x－x2 在 x＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则 Δy 为 ________． 答案：－0.11
12/13/2021
第九页，共二十九页。
求平均变化率
求函数 f(x)＝ 1x在区间[1，2]上的平均变化率．
【解】
函数
f(x)在[1，2]上的平均变化率为f(22)－－f1(1)＝
Δx－1 Δx .
第十四页，共二十九页。
当 Δx＞0 时，k1＞0，k2＜0，此时 k1＞k2； 当 Δx＜0 时，k1－k2＝sinΔxΔx－cos ΔΔxx－1＝ 2sinΔΔxx－π4＋1， 因为 Δx＜0，且 Δx 无限趋近于 0， 所以－π2＜Δx－π4＜－π4，所以－1＜sinΔx－π4＜－ 22， 即 2sinΔx－π4＋1＜0，所以 k1－k2＞0，即 k1＞k2. 综上可得，正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 附近的平均变化率大于在 x＝1π22/附13/20近21 的平均变化率．
12/13/2021
第一页，共二十九页。
第1章 导数(dǎo shù)及其应 用
1.1 导数的概念
1.1.1 平均变化率
12/ห้องสมุดไป่ตู้3/2021
第二页，共二十九页。
第1章 导数(dǎo shù)及其应 用
1.了解函数平均变化率的意义，会求函数在给定区间上的 平均变化率． 2．掌握利用平均变化率解决或说明生活中的实 际问题，知道平均变化率的几何意义．
12/13/2021
第二十四页，共二十九页。
3．一物体的运动方程是 s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相 应的平均速度为________． 解析：s22..11－－2s2＝2.102－ .1 22＝4.1. 答案：4.1
12/13/2021
第二十五页，共二十九页。
4．函数 f(x)＝－6x在区间[1，2]上的平均变化率为________． 解析：f(22)－－1f(1)＝－62－1 －61＝3. 答案：3