人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程测评B

【优化设计】2015-2016学年高中数学第二章圆锥曲线与方程测评 B 新
人教A 版选修2-1
(高考体验卷)
(时间:90 分钟满分:100 分)
一、选择题(本大题共10 小题,每题 5 分,共50 分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题
目要求的)
1.(2015 福·建高考)若双曲线E:= 1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P 在双曲线 E 上,且|PF1|= 3,则|PF 2|等于( )
A.11
B.9
C.5
D.3
分析:由双曲线的定义知,||PF 1|-|PF 2||= 6.
由于|PF1|= 3,所以|PF2|= 9.
答案:B
2.(2015 浙·江高考)如图,设抛物线y
2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不一样的点A,B,C,此中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A. B.
C. D.
分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|AF|=x 1+ 1,|BF|=x 2+ 1,则,应选 A.
答案:A
3.(2015 广·东高考)已知双曲线C:= 1 的离心率e= ,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线 C 的方程为( )
A.= 1
B.=1
C.= 1
D.=1
分析:由于双曲线 C 的右焦点为F2(5,0), 所以c= 5.
由于离心率e=,
所以a= 4.
2+b 2=c2,所以b2= 9.
又a
故双曲线 C 的方程为= 1.
答案:C
4.(2015 天·津高考)已知双曲线= 1(a> 0,b> 0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线
y
2=4x 的准线上,则双曲线的方程为( )
A.= 1
B.=1
C.= 1
D.=1
分析:由于双曲线= 1(a> 0,b> 0)的渐近线方程为y=±x ,所以.①
2
又由于抛物线y
=4x 的准线为x=- ,
所以c=. ②
2 2
由①②,得a
= 4,b = 3.故所求双曲线的方程为=1.
答案:D
2 2 2
5.(2015 四·
川高考 )设直线 l 与抛物线 y =4x 订交于 A,B 两点,与圆(x-5) +y =r 为线段 AB 的中点 .若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 分析:如下图 ,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M (x 0,y 0),
则
两式相减 ,得(y 1+y 2)(y 1-y 2) = 4(x 1-x 2).
2 (r> 0)相切于点 M,且 M
当l 的斜率不存在,即x1=x2 时,切合条件的直线l 必有两条.
当l 的斜率k 存在,即x1≠x2 时,有2y0(y1-y2) = 4(x1-x2),即k=.
由CM⊥AB ,得k C M==- ,即x0= 3. 由于点M 在抛物线内部,
所以< 4x0= 12,
又x1≠x2,所以y1+y 2≠0即, 0<< 12.
2+=r 2,即r2=+ 4.
由于点M 在圆上,所以(x0-5)
2< 16,即2<r< 4,应选 D.
所以4<r
答案:D
6.(2015 安·徽高考)以下双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是( )
2 2
A.x -= 1 B .-y =1
C.-x
2=1 D .y2-= 1
分析:A,B 选项中双曲线的焦点在x 轴上,不切合要求.C,D 选项中双曲线的焦点在y 轴上,且双曲线-
x
2=1的渐近线方程为y=±2x;双曲线y2-=1 的渐近线方程为y=±x,应选 C.
答案:C
7.(2014 课·标全国Ⅱ高考)设F 为抛物线C:y
2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交 C 于A,B 两点, 则|AB|= ( )
A. B.6 C.12 D.7
分析:由已知得焦点 F 为,
则过F 且倾斜角为30°的直线方程为y=.
联立方程
2
消去y 得x
-x+= 0.
设A(x1,y1), B(x2,y2),则x1+x2=.
又直线AB 过焦点F,
∴|AB|=x 1+x 2+= 12.应选 C.
答案:C
8.(2014 ·山东高考)已知a>b> 0,椭圆C1的方程为= 1,双曲线C2 的方程为= 1,C1 与C2 的离心率之积为, 则C2的渐近线方程为( )
A.x±y=0
B.x±y= 0
C.x±2y= 0
D.2 x±y= 0
分析:由题意,知椭圆C1 的离心率e1= ,
双曲线C2 的离心率为e2=.
由于e1·e2= ,
所以,
即,
整理可得a=b.
又双曲线C2 的渐近线方程为bx±ay= 0,
所以bx±by= 0,即x±y= 0.
答案:A
9.(2014 课·标全国Ⅰ高考)已知抛物线C:y
2=8x 的焦点为F,准线为l ,P 是l 上一点,Q是直线PF 与C 的一个交点.若= 4,则|QF|= ( )
A. B.3 C. D.2
分析:
如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|= 4.
过Q 作QH⊥l 于H,则|QH|=|QF|.
由题意,得△PHQ∽△PMF ,
则有,
∴|HQ|= 3.∴|QF|= 3.
答案:B
10.(2014 ·重庆高考)设F1,F2 分别为双曲线= 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得
|PF1|+|PF 2|= 3b,|PF 1|·|PF 2|=ab ,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
2- 2|PF 1||PF 2|+|PF 2|2= 4a2.而由已知可得
分析:依据双曲线的定义||PF1|-|PF 2||= 2a,可得|PF1|
2 2 2 2 2 2
|PF1| + 2|PF1||PF 2|+|PF 2| = 9b ,两式作差可得- 4|PF 1||PF 2|= 4a -9b .又|PF 1||PF 2|=ab ,所以有4a + 9ab- 9b
2= 0,即(4a-3b)(a+ 3b)= 0,得4a= 3b,平方得16 a2= 9b2,即16a2= 9(c2-a2),即25a2= 9c2,,所以e= ,应选 B.
答案:B
二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.(2015 湖·南高考)设F 是双曲线C:= 1 的一个焦点.若C 上存在点P,使线段PF 的中点恰为其虚轴
的一个端点,则C 的离心率为.
分析:不如设F( c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P 为(-c,2b),又点P 在双曲线2= 5,由于e> 1,所以e=.
上,所以= 1,得= 5,即e
答案:
12.(2015 山·东高考)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C1:= 1(a> 0,b> 0)的渐近线与抛物线C2:x
2= 2py(p> 0) 交于点O,A,B.若△OAB 的垂心为C2的焦点,则C1 的离心率为.
分析:双曲线的渐近线为y=±x.由得 A.
由得B.
∵F 为△OAB 的垂心,
∴k AF·k OB=- 1.
即=- 1,解得,
∴,即可得e=.
答案:
2 2 2
13.(2015 ·陕西高考)若抛物线y = 2px( p> 0)的准线经过双曲线x -y =1的一个焦点,则p= .
2-y2=1的焦点为F1( -,0), F2(,0) .
分析:双曲线x
抛物线的准线方程为x=-.
因p> 0,故-=- ,解得p= 2.
答案:2
14.(2015 江·苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x
2- y2= 1 右支上的一个动点.若点P 到直线
x-y+ 1= 0 的距离大于c恒建立,则实数 c 的最大值为.
分析:直线x-y+ 1=0 与双曲线的渐近线y=x 平行,且两平行线间的距离为.
由图形知,双曲线右支上的动点P 到直线x-y+ 1=0 的距离的最小值无穷趋近于,要使距离 d 大于c 恒建立,只要c≤即可,故c 的最大值为.
答案:
15.(2014 江·西高考)过点M (1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:= 1(a>b> 0)订交于 A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于.
分析:由题意可设A(x1,y1),B( x2,y2),
则可得
①-②,并整理得=-. (* )
∵M 是线段AB 的中点,且过点M (1,1)的直线斜率为-,
∴x1+x 2= 2,y1+y2=2,k==-.
∴(* )式可化为,
2= 2b2= 2(a2-c2),整理得a2= 2c2,即.
即a
∴e=.
答案:
三、解答题(本大题共 4 小题,共25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6 分)(2015 安·徽高考)设椭圆 E 的方程为=1( a>b> 0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M 在线段AB 上,知足|BM|= 2|MA| ,直线OM 的斜率为.
(1)求E 的离心率e;
(2)设点C 的坐标为(0,-b),N 为线段AC 的中点,点N 对于直线AB 的对称点的纵坐标为,求E 的方程. 解:(1)由题设条件知,点M 的坐标为,
又k OM= ,从而,
从而得a=b ,c== 2b,故e=.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB 的方程为= 1,点N 的坐标为.
设点N 对于直线AB 的对称点S的坐标为,
则线段NS 的中点T 的坐标为.
又点T 在直线AB 上,且k NS·k AB=- 1,
从而有解得b= 3.
所以a= 3,故椭圆 E 的方程为=1.
17.(6 分)(2015 湖·南高考)已知抛物线C1:x
2=4y 的焦点 F 也是椭圆C2:= 1(a>b> 0)的一个焦点,C1 与C2的公共弦的长为 2.
(1)求C2 的方程;
(2)过点F 的直线l 与C1订交于A,B 两点,与C2订交于C,D 两点,且同向.
①若|AC|=|BD| ,求直线l 的斜率;
②设C1在点 A 处的切线与x轴的交点为M.证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 老是钝角三角形.
2= 4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1) .
解:(1)由C1:x
由于F 也是椭圆C2的一个焦点,
2-b2= 1.①
所以 a
2
又C1 与C2的公共弦的长为2,C1 与C2 都对于y 轴对称,且C1的方程为x = 4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以= 1.②
2 2
联立①,②得a
= 8.故C2 的方程为=1.
= 9,b
(2)如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),C( x3,y3),D( x4,y4).
①因同向,且|AC|=|BD| ,
所以,从而x3-x1=x4-x2,
2- 4x1x2= (x3+x4)2-4x3x4.③
即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x 2)
设直线l 的斜率为k,则l 的方程为y=kx+ 1.
由得x2-4kx-4= 0.
而x1,x2是这个方程的两根,
所以x1+x 2= 4k,x1x2=- 4.④
2)x2+ 16kx- 64= 0.
由得(9+ 8k
而x3,x4是这个方程的两根,
所以x3+x 4=- ,x3x4=-. ⑤
2+1)=,
将④,⑤代入③,得16(k
2+ 1)= ,
即16( k
2)2= 16×9,解得k=±,即直线l 的斜率为±.
所以(9+ 8k
2= 4y 得y'= ,所以C1在点 A 处的切线方程为y-y1= (x-x1),即y=.
②由x
令y=0 得x= ,即M ,
所以.
而= (x1,y1-1),于是-y1+ 1=+ 1> 0,
所以∠AFM 是锐角,从而∠MFD= 180°-∠AFM 是钝角.
故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 老是钝角三角形.
18.(6 分)(2014 江·西高考)如图,已知抛物线C:x
2= 4y,过点M (0,2)任作向来线与 C 订交于A,B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 订交于点D(O 为坐标原点).
(1)证明:动点 D 在定直线上;
(2)作C 的随意一条切线l(不含x轴),与直线y=2 订交于点N1,与(1)中的定直线订交于点N2,证
2-|MN 1|2 为定值,并求此定值.
明: |MN 2|
(1)证明:依题意可设AB 方程为y=kx+ 2,代入x
2= 4y ,得x2= 4(kx+ 2),即x2-4kx-8= 0.
设A(x1,y1), B(x2,y2),则有x1x2=- 8,
直线AO 的方程为y=x ;BD 的方程为x=x 2.
解得交点 D 的坐标为
注意到x1x2=- 8 及= 4y1,
则有y==- 2.
所以D 点在定直线y=- 2 上(x≠0.)
(2)解:依题设,切线l 的斜率存在且不等于0,设切线l 的方程为y=ax+b ( a≠0),
2= 4y 得x2= 4(ax+b ),即x2-4ax-4b= 0,
代入x
2+ 16b= 0,化简整理得b=-a 2.
由Δ=0 得(4a)
2.
故切线l 的方程可写为y=ax-a
分别令y= 2,y=- 2 得N1,N2的坐标为
N1,N2.
2 2 2 2 2
为定值8.
则|MN 2|
-|MN 1| =+ 4 -= 8,即|MN 2| -|MN 1|
19.(7 分)(2015 天·津高考)已知椭圆= 1( a>b> 0)的左焦点为 F (-c ,0),离心率为,点M 在椭圆上且位于第
2+y 2=截得的线段的长为c,|FM|=.
一象限,直线FM 被圆x
(1)求直线FM 的斜率;
(2)求椭圆的方程;
(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.
2=b2+c 2,可得a2= 3c2,b2= 2c2.
解:(1)由已知有,又由 a
设直线FM 的斜率为k(k> 0),则直线FM 的方程为y=k (x+c ).由已知,有,解得k=.
(2)由(1)得椭圆方程为= 1,直线FM 的方程为y= (x+c ),两个方程联立,消去y,整理得3x
2+ 2cx-
5c
2= 0,解得x=-c ,或x=c. 由于点M 在第一象限,可得M 的坐标为.
由|FM|= ,解得c= 1,所以椭圆的方程为=1.
(3)设点P 的坐标为(x,y),直线FP 的斜率为t,得t= ,即y=t (x+ 1)( x≠-1),与椭圆方程联立消去y,整理
2+ 3t2(x+ 1)2=6.
得2x
又由已知,得t= ,解得-<x<- 1,或- 1<x< 0.
2=.
设直线OP 的斜率为m,得m= ,即y=mx (x≠0)与,椭圆方程联立,整理可得m
①当x∈时,有y=t (x+ 1)< 0,
所以m> 0,于是m= ,得m∈ .
②当x∈(-1,0)时,有y=t (x+ 1)> 0,所以m< 0,于是m=- ,得m∈.
综上,直线OP 的斜率的取值范围是.。