重庆第二外国语学校九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典习题

一、选择题
1．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在23x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．1t ≥-
B ．13t -≤<
C ．18t -≤<
D ．38t <<C
解析：C
【分析】 根据对称轴求出b 的值，从而得到23x -<<时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解相当于y=x 2+bx 与y=t 在x 的范围内有交点解答．
【详解】
解：对称轴为直线x=-
21b ⨯=1， 解得b=-2，
所以二次函数解析式为y=x 2-2x ，
y=（x-1）2-1，
x=1时，y=-1，
x=-2时，y=4-2×（-2）=8，
∵x 2+bx-t=0的解相当于y=x 2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标，
∴当-1≤t ＜8时，在-1＜x ＜4的范围内有解．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
2．根据下列表格中的对应值： x 1.98
1.99
2.00 2.01 2y ax bx c =++
-0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程0ax bx c ++=（，，，为常数）一个根的范围是（）
A ．1.00 1.98x <<
B ．1.98 1.99x <<
C ．1.99 2.00x <<
D ．2.00 2.01x <<D
解析：D
【分析】 根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】
由表格可知，在1.98 2.01x ≤≤内，y 随x 的增大而增大，
当 2.00x =时，0.030y =-<，
当 2.01x =时，0.010y =>，
∴在2.00 2.01x <<内，必有一个x 的值对应的函数值0y =，
∴方程20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）一个根x 的范围是2.00 2.01x <<， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
3．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．D 解析：D
【分析】
先根据运动速度和AB 、BC 的长可得t 的取值范围，再根据运动速度可得
,2AP tcm BQ tcm ==，然后利用直角三角形的面积公式可得S 与t 之间的函数关系式，最后根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】
设运动时间为ts ，
点P 到达点B 所需时间为
31AB s =，点Q 到达点C 所需时间为32
BC s =， ∴点P 、Q 同时停止运动，且t 的取值范围为03t ≤≤，
由题意，,2AP tcm BQ tcm ==，
3AB cm =，
()3BP AB AP t cm ∴=-=-，
()21132322
S BP BQ t t t t ∴=⋅=-⋅=-+， 则S 与t 之间的函数图象是抛物线在03t ≤≤的部分，且开口向下，
观察四个选项可知，只有选项D 符合，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，正确求出S 与t 之间的函数关系式是解题关键．
4．点()13,P y 、Q ()24,y 是二次函数245y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为（ ）
A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．无法确定B 解析：B
【分析】
本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y=x 2-4x+5的图象的对称轴是x=2，
在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，
∵点P （3，y 1）、Q （4，y 2）是二次函数y=x 2-4x+5的图象上两点，
2＜3＜4，
∴y 1＜y 2．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键
5．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A ．233y x =+
B ．231y x =-
C ．()2321y x =++
D ．()2
321y x =-+A 解析：A
【分析】
根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】
解：把抛物线231y x =+向上平移2个单位可得233y x =+，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键．
6．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程
()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ） A ．m ＜p ＜q ＜n
B ．m ＜p ＜n ＜q
C ．p ＜m ＜n ＜q
D ．p ＜m ＜q ＜n A 解析：A
【分析】
根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题．
【详解】
解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =---
∴1a =
∴该二次函数的抛物线开口向上
∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根
∴当x m =或x n =时，0y =
∵当x p =或x q =时，2y =-
∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间．
故选：A
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．
7．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）
A ．13米
B ．12米
C ．25米
D ．35
米C 解析：C 【分析】 根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．
【详解】
解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a
-
＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．
将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．
∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×
15×12
＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．
∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a
EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．
又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a
∴1＋0.96a ＝－0.64a ． 解得a ＝5
8
-．
∴y ＝58-x 2＋58
． ∴EF ＝（58
-）×（-0.6）２＋
58＝25． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
8．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y >>
B ．213y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >>C
解析：C
【分析】
由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．
【详解】
∵222(1)1y x x m x m =++=++-，
∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，
又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上，
∴231y y y >>．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．D 解析：D
【分析】
先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．
【详解】
解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选
项不符合题意；
C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．
10．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨
<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．1或2个C 解析：C
【分析】
根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4
y x x a =-
-+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．
【详解】 解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩
有解， ∴3a-2＞a+2，
即a ＞2，
令y=0，21(3)4
x x a --+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-14
）=a-2， ∵a ＞2，
∴a-2＞0，
∴函数图象与x 轴的交点个数为2．
故选：C ．
【点睛】
解答此题要熟知以下概念：
（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．
二、填空题
11．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式
2ax mx c n -+<的解集是_____________．
【分析】根据AB 两点的横坐标可得−1<x<3时ax2+c<mx+n
即可得出ax2−mx+c<n 的解集【详解】∵抛物线与直线交于A(−1p)B(3q)抛物线开口向上∴−1<x<3时ax2+c<mx+n
解析：13x
【分析】
根据A 、B 两点的横坐标可得 −1<x<3 时， ax 2+c<mx+n ，即可得出 ax 2−mx+c<n 的解集．
【详解】
∵抛物线与直线交于 A(−1，p) ， B(3，q) ，抛物线开口向上，
∴ −1<x<3 时， ax 2+c<mx+n ，
∴ ax 2−mx+c<n 的解集为 −1<x<3 ．
故答案为： −1<x<3
【点睛】
本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键． 12．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．【分析】根据点ABC 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性由此即可得【详解】点在二次函数的图象上此二次函数的对称轴为点BC 的横坐标大小关系为纵坐标大小关系为当时y 随x 的增大而增大；当时y 随x 的增大而减小
解析：123y y y <<
【分析】
根据点A 、B 、C 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性，由此即可得．
【详解】
点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C 在二次函数2
y ax bx c =++的图象上， ∴此二次函数的对称轴为1322
+=， 点B 、C 的横坐标大小关系为532>>，纵坐标大小关系为72，
∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小，
由二次函数的对称性得：1x =-时的函数值与5x =时的函数值相等，即为27y =，
又点1(2,)M y ，3(8,)K y 在二次函数2y ax bx c =++的图象上，且258， 137y y ，即123y y y <<，
故答案为：123y y y <<．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
13．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点
()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为可得即是方程的两个根再根据题目当中给出的条件代入解析式判断求解即可；【详解】当和时∴对称轴为∴当时y 的值相等∴∴是方程的两个根故②正确；∵当时且c ＞0∴＞0∴＞0
解析：①②④
【分析】 由抛物线的对称性可知对称轴为0212
x +==，可得0p =，即1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；
【详解】
当0x =和2x =时，y t =，
∴对称轴为0212
x +==， ∴当1x =-，3x =时，y 的值相等，
∴0p =，
∴1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，故②正确；
∵当0x =时，y t =，且c ＞0，
∴t c =＞0，
∴202p t t +=+＞0，故③错误；
∵2x =，y t =＞0，3x =，0y =，
∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，
∴a ＜0， ∵12b x a
=-
=， ∴2b a =-＞0，故①正确；
∵当3x =时，0y =， ∴930a b c ++=，
∴30a c +=，
∴3c a =-，
∴443a c a a a --=-+=-，
∵顶点坐标为()1,n ，a ＜0，
∴2am bm c a b c ++≤++，
∴2am bm a b +≤+，
∴
2am bm a +≤-， ∴24am bm a c +≤--，故④正确；
综上所述：结论正确的是①②④；
故答案是：①②④．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键． 14．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．
【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交
点坐标再根据图象法即可得【详解】由图象可知抛物线的对称轴为与x 轴的一个交点坐标为则其与x 轴的另一个交点坐标为结合图象得：当时故答案为：
【点睛】本题
解析：13x
【分析】
先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．
【详解】
由图象可知，抛物线的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，
则其与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，
结合图象得：当0y <时，13x
， 故答案为：13x
． 【点睛】
本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
15．抛物线2(3)y a x m =-+与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为__________．【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详
解】抛物线的对称轴为此抛物线与x 轴的一个交点为它与x 轴的另一个交点为即则关于x 的一元二次方程
解析：121,5x x ==
【分析】
先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】
抛物线2
(3)y a x m =-+的对称轴为3x =，
此抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)， ∴它与x 轴的另一个交点为(231,0)⨯-，即(5,0)，
则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为121,5x x ==，
故答案为：121,5x x ==．
【点睛】
本题考查了二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
16．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．
【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所
在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值 解析：94
【分析】
以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．
【详解】
以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，
由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ， 所以设抛物线的解析式为：
y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0），得：0=a （3-1）2+3，
解得：a ＝34-． 将a 值代入得到抛物线的解析式为：
y ＝34
-（x ﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x ＝0，则y ＝94
． 即水管AB 的长为
94m ， 故答案为：94
．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
17．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____．c=6或12
【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的
解析：c =6或12
【分析】
根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．
【详解】
解：根据题意得：
2
4(6)4
c --=±3， 解得：c =6或12．
故答案为：c =6或12．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．
18．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为
4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．
18【分析】先建立平面直角坐标系以直线DE 为x 轴y 轴
为经过点C 且垂直于AB 的直线设AB 与y 轴交于H 求出OC 的长然后设该抛物线的解析式为：根据条件求出解析式再令y=0求出x 的值即可得到DE 的长度
【详解
解析：18
【分析】
先建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，设AB 与y 轴交于H ，求出OC 的长，然后设该抛物线的解析式为：2
y ax k =+，根据条件求出解析式，再令y =0，求出x 的值，即可得到DE 的长度．
【详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，
设AB 与y 轴交于点H ，
∵AB=12，
∴AH=BH=6，
由题可知：
OH=5，CH=4，
∴OC=5+4=9，
∴B （6，5），C （0，9）
设该抛物线的解析式为：2y ax k =+，
∵顶点C （0，9），
∴抛物线29y ax =+，
代入B （6，5）
得5=36a +9，解得19
a =-， ∴抛物线解析式为2199y x =-
+，
当y=0时，21099
x =-
+， 解得x =±9， ∴E （9，0），D （-9，0），
∴OE=OD=9，
∴DE=OD+OE=9+9=18，
故答案为：18．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用问题，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，是一道非常典型的试题．
19．已知（-3，y 1），（-2，y 2），（1，y 3）是抛物线2312y x x m =++上的点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征比较y1y2y3的大小比较后即可得出结论【详解】解：∵A(-3y1)B(-2y2)C (1y3)在二次函数y=3x+12x+m 的图象上∵y=3x+12x+m 的对
解析：312y y y >>
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征比较y 1、y 2、y 3的大小，比较后即可得出结论
【详解】
解：∵A (-3，y 1)、B (-2，y 2 )、C (1，y 3)在二次函数y= 3x 2+12x+m 的图象上，
∵y= 3x 2+12x+m 的对称轴x=b 2a
-=-2，开口向上， ∴当x=-3与x=-1关于x=-2对称，
∵A 在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，
C 在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，
∵1>-1，
∴y 3＞y 1，，
∴y 3＞y 1＞y 2，
故答案为：y 3＞y 1＞y 2．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对称轴对称的特征比较y 1、y 2、y 3的大小是解题的关键．
20．如图，将抛物线y=−12x 2平移得到抛物线m ．抛物线m 经过点A （6，0）和原点O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=−12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为______．
324【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛
物线的对称轴然后求出点P 的坐标过点P 作PM ⊥y 轴于点M 过点P 作PN ⊥x 轴于点N 根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积然后求解即可
解析：324．
【分析】
根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可．
【详解】
解：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，
∵抛物线平移后经过原点O 和点A （6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=3，
∴平移后的二次函数解析式为： ()2
123y x h =--+， 将（6，0）代入得出：()2
01263h =-⨯-+，解得：108h =，
∴点P 的坐标是（3，108）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，
∴S= 3108⨯=324
故答案为：324
【点睛】
本题主要考查二次函数的有关知识，涉及到二次函数的性质及二次函数图象平移的规律，解题的关键是熟练所学知识并学会做辅助线．
三、解答题
21．已知抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9．
（1）求它的对称轴；
（2）求它与x 轴，y 轴的交点坐标．
解析：（1）x ＝1；（2）与x 轴的交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，9)
【分析】
（1）根据对称轴公式，可以求得该抛物线的对称轴；
（2）令x=0求出相应的y 值，再令y=0，求出相应的x 的值，即可得到该抛物线与x 轴，y 轴的交点坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，
∴该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a
＝﹣62(3)⨯-＝1， 即该抛物线的对称轴为直线x ＝1；
（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣3x 2+6x+9，
∴当x ＝0时，y ＝9，
当y ＝0时，x ＝﹣1或x ＝3，
即该抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y 轴的交点坐标为（0，9）
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 22．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为
4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？
解析：能，理由见解析
【分析】
首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．
【详解】
解：以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），
设这个函数解析式为y＝kx2．
将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，
∵货车装货的宽度为2.4m，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴当x＝1.2时y＝﹣1.584，
∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），
因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，
∵2.8＜2.816，
所以该货车能够通过此大门．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．
（1）若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
解析：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．
【分析】
（1）设每件衬衫应降价x元，由题意可以得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到问题解答；
（2）把每件衬衫的降价看成自变量x，商场平均每天赢利看成因变量y，由题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后根据函数的性质可以得到问题解答．
【详解】
解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意可以得到：
（10+x）（40-x）=600，解之得：x=10或x=20，
因为尽快减少库存，
∴每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利600元；
（2）把每件衬衫的降价看成自变量x ，商场平均每天赢利看成因变量y ，由题意可以得到y 与x 之间的函数关系式为：y=（10+x ）（40-x ），
配方得：()215625y x =--+，
∴当x=15时，y 取得最大值625，
即当每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，且赢利为625元．
【点睛】
本题考查一元二次方程与二次函数的综合运用，根据题意列出一元二次方程或函数关系式，并根据方程的解或函数的性质作答是解题关键．
24．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OB OC =．点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求b 、c 的值．
（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．
（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
解析：（1）2b =-，3c =-；（2）点F 坐标为(0,2)-；（3）存在，Q 的坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB=OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；
（2）可设F （0，m ），则可表示出F′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；
（3）设点P 坐标为（n ，0），可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，
【详解】
解：（1）∵CD//x 轴，2CD =，
∴抛物线对称轴为直线:1l x =， ∴12
b -
=，即2b =-， ∵OB OC =，(0,)C c ，∴B 点坐标为(,0)c -， ∴202c c c =++，
解得3c =-或0c
（舍去）； ∴3c =-．
（2）设点F 坐标为(0,)m ，
∵对称轴是直线:1l x =，
∴点F 关于直线l 的对称点F '的坐标为(2,)m ，
由（1）可知抛物线解析式为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，
∴E （1，-4），
∵直线BE 经过点(3,0)B ，(1,4)E -，
∴直线BE 的表达式为26y x =-，
∵点F '在BE 上，
∴2262m =⨯-=-，
即点F 坐标为(0,2)-．
（3）存在点Q 满足题意．
设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++， 如解图，连接QN ，过点Q 作QR PN ⊥，垂足为R ，
∵PQN APM S
S =， ∴1(1)(3)2
n n +- ()21232
n n QR =-++⋅， ∴1QR =，
①点Q 在直线PN 的左侧时，Q 点坐标为()21,4n n n --，R 点坐标为()2,4n n n -，N 点坐标为()2,23n n n --，
∴()2242323RN n n n n n =----=-+
∴在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，
∴当3n 2
=时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点坐标为()
21,4n n +-，
同理21RN
n =-，221(21)NQ n =+-， ∴当12n =时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为315,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述：满足题意的点Q 的坐标为115,24⎛⎫-
⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
25．已知抛物线 ()2
1y x m x m =-+-+经过点()23， （1）求m 的值及抛物线的顶点坐标；
（2）当x 取什么值时，y 随着x 的增大而减小？
解析：（1）m=3，（1，4）；（2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.
【分析】
（1）将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于m 的方程，解方程求出m 的值，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）利用函数解析式可知a=-1＜0，结合对称轴可得到y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围.
【详解】
（1）解：由题意得
-4+2（m-1）+m=3
解之：m=3，
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3
∴y= -（x-1）2+4
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）解：∵a=-1＜0，
∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及求二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．
（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？
（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
解析：（1）商场要想尽快回收成本，这款运动鞋的销售价应定为165元；（2）这款运动鞋的销售价定为180元时，利润最大，最大利润是900元．
【分析】
（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据销售利润=一双运动鞋的利润×销售运动鞋数量，一双运动鞋的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每部的盈利×销售的数量=y ，即可列函数关系式；利用函数最值求法得出即可．
【详解】
解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x 元.
200(150)(105)6755
x x --+⨯= 解得：x 1=195，x 2=165
因为商场想尽快回收成本，所以定价应为165元；
（2）200(150)(105)5
x y x -=-+⨯ 2(180)900x =--+
∴当定价为180元时，获利最多，最大利润为900元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，本题关键是找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
27．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系如图所示．
（1）求每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系式；
（2）设果园的总产量为w (千克)，求w 与x 之间的函数表达式；
（3）试说明（2）中总产量w (千克)随增种果树x (棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？。