2013年高考数学一轮复习11.5离散型随机变量的期望与方差、正态分布精品教学案(学生版)新人教版

（ I ）工期延误天数 Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量 X至少是 300的条件下，工期延误不超过 【考题回放】
6天的概率。
1. (2010 年高考数学湖北卷理科 14） 某射手射击所得环数 的分布列如下：
已知 的期望 E 8.9 ，则 y 的值为
．
2． (2012 年高考浙江卷理科 19 ) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2
(1) 定义 : 若离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2 …
xi
…
xn
P p1
p2 …
pi
…
pn
则称 E ( Xห้องสมุดไป่ตู้) x1 p1 x2 p2
xn pn 为随机变量 X 的均值或数学期望 .
称 D(X )
n
X i [ xi
i1
E ( X )] 2 pi 为随机变量 X的方差 .
(2) 性质 : (1) E( C) ＝C( C为常数 )
例 1.(2011 年高考浙江卷理科 15) 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公
司投递了个
人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为
2 ，得到乙、丙两公司面试的概率为 3
司是否让其面试是相互独立的。记
为该毕业生得到面试得公司个数。若 P( 0)
p ，且三个公 1
，则随机
12
变量 的数学期望 E
4． (2012 年高考湖北卷理科 20) 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量 X（单位： mm）对工期的
影响如下表：
降水量 X
X<300
300≤ X<700
700≤ X<900
X≥ 900
工期延误天数 Y 0
2
6]
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 X小于 300， 700， 900的概率分别为 0.3 ，0.7 ， 0.9 ，求：
分布列与期望。
3．（ 2009 年高考北京卷理科第 17 题） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到
红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
1 ，遇到红灯时停留的时间都是 3
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
2min.
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红 灯停留的总时间 的分布列及期望 .
【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为 : 1. 概率是历年来高考重点内容之一 , 在选择题、填空题与解答题中均有可能 出现，一般以实际应用 题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论 等思想，以及分析问题、解决问题的能力 . 2.2013 年的高考将会继续保持稳定 , 坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继 续搞创新 , 命题形式会更加灵活 . 【要点梳理】 1．离散型随机变量均值、方差 :
分，取出一个黑球的 1 分．现从该箱中任取 ( 无放回，且每球取到的机会均等 )3 个球，记随机变量
X为取出 3 球所得分数之和．
( Ⅰ ) 求 X 的分布列；
( Ⅱ ) 求 X 的数学期望 E( X) ．
3. (2012 年高考山东卷理科 19) 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
1
2
x1 x
n
样本平均数 .
2
x1 x
2
xn x ，其中 x 为
考点二 正态分布 例 2. 随机变量 ξ 服 从正态分布 N(1 ， σ 2) ，已知 P( ξ ＜ 0) ＝ 0.3 ，则 P( ξ ＜ 2) ＝ ________.
【变式训练】
2. ( 福建省福州市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查 ) 设随机变量 服从正态分布 N (1, 2 ) ，则函数
②解析式中含有两个常数： π 和 e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数： μ 和 σ ，其中 μ 可取任意实数， σ ＞ 0 这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为 x－μ 2 2σ 2 .
1 ，后面是一个以
2π σ
e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－
【例题精析】 考点一 离散型随机变量的期望与方差
2. 正态曲线及性质
(1) 正态曲线的定义
1
x－μ 2
函数 φ μ，σ ( x) ＝
e－
2πσ
2σ 2
，
x∈ ( －∞， ＋∞ ) ，其中实数 μ 和 σ ( σ >0) 为参数，我们称 φ μ， σ( x) 的图象 ( 如图 ) 为正态分布密
度曲线，简称正态曲线．
(2) 正态曲线的解析式
①指数的自变量 是 x 定义域是 R，即 x∈ ( －∞，＋∞ ) ．
X，求 X 的分布列和数学 期
望；
（ II ）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的 每公顷产量（单位： kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪
一品种？
附：样本数据 x1， x2，…， x a 的样本方差 s2
随机放入编码分别为 1，2，3，4 的四个小盒中，每盒仅放一张卡 片，若第 k 号卡片恰好落入第 k 号
小盒中，则称其为一个匹对，用
表示匹对的个数 .
（ 1）求第 2 号卡片恰好落入第 2 号小盒内的概率 ;
（ 2）求匹对数 的分布列和数学期望 E .
2013 年高考数学一轮复习精品教学案 11.5 离散型随机变量的期望与方 差、正态分布（新课标人教版，学生版）
【考纲解读】 1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方
差，并能解决一些实际问题．
2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
(2) E( aX＋ b) ＝ aE( X) ＋ b( a、b 为常数 )
(3) E( X1＋ X2) ＝EX1＋ EX2
(4) 如果 X1，X2 相互独立，则 E( X1· X2) ＝ E( X1) E( X2) (5) D( X) ＝ E( X2) － ( E( X)) 2 (6) D( aX＋ b) ＝ a2· D( X)
f ( x) x2 2x 不存在零点的慨率为 ( )
1
A. B.
4
11
2
C.
D.
32
3
【易错专区】
问题：综合应用
例.(2012 年高考广东卷理科 17) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图
4 所示，
其中成绩分组区间是： [40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]
（ A） 100
（B） 200
（C） 300
（ D） 400
2. (2011 年高考重庆卷理科 17) 某市公租房房屋位于 A.B.C 三个地区，设每位申请人只申请其中一
个片区的房屋，且 申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任
4 位申请人中 :
（Ⅰ）若有 2 人申请 A 片区房屋的概率 ;
（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的
【 变式训练】 1.(2011 年高考辽宁卷理科 19) 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称
为品种甲和品种乙）进行田间试验 . 选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，
随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小块地种植品种乙 .
（ I ）假设 n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为
3 ，命 4
中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
2 ，每命中一次得 2 分，没有命 3
中得 0 分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ．
4. ( 山东省济南市 2012 年 2 月高三定时练习理科 ) 将编号为 1，2， 3， 4 的四张同样材质的卡片，
。
（1）求图中 x 的值；
（2）从成绩不低于 80 分的学生中随机选 取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记
为 ，求 的数学期望 .
【课时作业】 1. (2010 年全国高考宁夏卷 6）某种种子每粒发芽的概率都为
0.9 ，现播种了 1000 粒，对于没有发
芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为 ( )