2019届高考数学二轮复习高考大题专项练二数列B理

二数列(B)
1.(2018·醴陵模拟)已知正项等比数列{a n}中,a1+a2=6,a3+a4=24.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)数列{b n}满足b n=log2a n,求数列{a n+b n}的前n项和T n.
2.(2018·银川模拟)设{a n}是公比不为1的等比数列,其前n项和为S n,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{a n}的公比;
(2)证明对任意∈N*,S+2,S,S+1成等差数列.
3.(2018·益阳模拟)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为
,n∈N*.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若数列{a n}的前n项和为S n,数列{}的前n项和T n,求证T n<.
4.(2018·深圳模拟)已知数列{a n}满足a1=1,且a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*),
(1)求证数列{}是等差数列;
(2)求数列{a n}的通项公式;
(3)设数列{a n}的前n项之和为S n,求证>2n-3.
1.解(1)设数列{a n}的首项为a1,公比为q(q>0).
则
解得
所以a n=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得b n=log22n=n,
设{a n+b n}的前n项和为S n,
则S n=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a n+b n)
=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)
=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)
=+
=2n+1-2+n2+n.
2.(1)解设数列{a n}的公比为q(q≠0,q≠1),
由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4,
即2a1q2=a1q4+a1q3,
由a1≠0,q≠0,得q2+q-2=0,
解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.
(2)证明法一对任意∈N*,
S+2+S+1-2S=(S+2-S)+(S+1-S)
=a+1+a+2+a+1
=2a+1+a+1·(-2)
=0,
所以,对任意∈N*,S+2,S,S+1成等差数列.
法二对任意∈N*,
2S=,
S+2+S+1=+
=,
2S-(S+2+S+1)=-
=[2(1-q)-(2-q+2-q+1)]
=(q2+q-2)
=0,
因此,对任意∈N*,S+2,S,S+1成等差数列.
3.(1)解由{a n}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*, 当n=1时,可得==, ①
当n=2时,可得+==, ②
②-①得=,
所以a1·(a1+d)=6, ③
(a1+d)(a1+2d)=12. ④
由③④解得
所以数列{a n}的通项公式为a n=n+1.
(2)证明由(1)可得S n=,
那么==(-).
所以数列{}的前n项和T n=(1-+-+-+-+…+-)
=(1++---)
=(---)
=-(++),n∈N*,
所以T n<.
4.(1)证明因为a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*),
所以=+1,即-=1(n≥2,且n∈N*),
所以数列{}是等差数列,公差d=1,首项为=.
(2)解由(1)得=+(n-1)×1=n-,
所以a n=(n-)·2n.
(3)证明因为S n=·21+·22+·23+…+(n-)·2n, ①
所以2S n=·22+·23+·24+…+(n-)·2n+1, ②
①-②得
-S n=1+22+23+…+2n-(n-)·2n+1=2+22+23+…+2n-(n-)·2n+1-1=-(n-)·2n+1-1=(3-2n)·2n-3.
S n=(2n-3)·2n+3,则=(2n-3)+>2n-3,
所以>2n-3.。