4.2线性代数答案

T T T
时 α1 , α 2 , α 3
线性相关? a 取值为 解 如上题分析, 对矩阵 [α1
时 α1 , α 2 , α 3 线性无关? 为什么?
α 2 α 3 ] 作初等变换求秩
[α1
α2
3 1 2 3 1 2 α 3 ] = 2 1 4 → 0 −3 −2 3 6 a 0 0 a − 9
β 不能被向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示.
综上知第 1 空格填 15, 第 2 空格填不等于 15. 4. * 设 β = [1, 1,
b + 3, 5] , α1 = [1, 0, 2, 3] , α 2 = [1, 1, 3, 5] ，
T T T T T
α 3 = [1, −1, a + 2, 1] , α 4 = [1, 2, 4, a + 8] ．
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r = O .所以该选项也是不正确的.
(C) 设 α1 = [1, 再设 β1 = [ 2,
T
0] , α 2 = [ 0, 1] , 显然 α1 0, 2] , 显然 β1 , β 2 也是线性无关的. 但是对于 α1 , α 2 , β1 , β 2 有
α 2 α3 α4 ] X = β 的 解 , 由 方 程 组 解 为
−2b x1 = a + 1 , x = 1+ b , −2b b b 2 α1 + (1 + )α 2 + α3 . a + 1 故表达式为 β = a +1 a +1 a +1 b , x3 = a +1 x4 = 0.
所以此时能线性表示, 表达式系数即为线性方程组 [α1 程组得解为
α 2 α 3 α 4 ] X = β 的解. 由方
x1 = t1 − 2t2 , x = 1 − 2t + t , 2 1 2 (其中 t1 , t2 为任意常数) x t , = 3 2 x4 = t1.
(2) 向 量 β 表 示 成 向 量 组 的 线 性 组 合 的 表 达 式 系 数 即 为 线 性 方 程 组
[α1
α 2 α 3 α 4 ] X = β 的解, 所以先求解该线性方程组. 为此用初等行变换化系数矩阵
1 1 β]= 1 1
1 1 1 0 1 0 1 1 0 2 → 0 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 1 , 0 1 0 2 0 0 1 −2
故表达式为 β = (t1 − 2t2 )α1 + (1 − 2t1 + t2 )α 2 + t2α 3 + t1α 4 (其中 t1 , t2 为任意常数). 当 a ≠ −1 时, 秩( [α1
α 2 α 3 α 4 ] )=4=秩( [α1 α 2 α 3 α 4
β ] ), 所以也能线
性 表 示 . 表 达 式 系 数 即 为 线 性 方 程 组 [α1
1 2 0 1 → 0 3 1 0 3 1 1 0 0 1 0 0
[α1
α2
这表明该矩阵的秩为 3 与向量个数相同, 所以该向量组线性无关. (2) 对矩阵 [α1
α 2 α 3 α 4 ] 作初等变换求秩:
4 2 1 1 1 3 1 −3 5 0 α 4 ] = −1 −3 0 2 → 0 1 2 1 −2 0 −1 −5 −2 6 0
T T T T
1
[α1
α 2 α3 α4
1 0 β]= 2 3
1
1 1 0 1 −1 2 ⋮ 1 → 0 3 a+2 4 ⋮ b + 3 5 1 a + 8 ⋮ 5 0
1
⋮
⋮1 1 −1 2 ⋮1 0 a + 1 0 ⋮b 0 0 a + 1 ⋮ 0
0] , α 2 = [ 2, 0] , 显 然 k1α1 + k2α 2 = 0α1 + 0α 2 = O , 但 是
T T T
−2α1 + α 2 = −2 [1, 0] + [ 2, 0 ] = O , 说明 α1 , α 2 是线性相关的, 所以该结论不正确.
(B) 根 据 线 性 相 关 的 定 义 , 只 要 求 存 在 不 全 为 零 的 数 k1 , k 2 ,⋯ , k r ， 使 得
−2α1 − 2α 2 + β1 + β 2 = O 成立, 所以 α1 , α 2 , β1 , β 2 线性相关. 该选项也不正确.
(D) 正确. (反证)假设 α i 能被 α1 , α 2 ,⋯α i −1 , α i +1 ,⋯α r 线性表示, 则存在不全为零的 数组 k1 ,⋯ , ki −1 , ki +1 ,⋯ , k r 使得 α i = k1α1 + ⋯ + ki −1α i −1 + ki +1α i +1 + ⋯ + k rα r 成立, 这样就有
T T T T
α 3 = [1, −3, 0, 1, −2] , α 4 = [1, 5, 2, −2, 6] .
分析 判断向量组是否线性相关只需要看由该向量组构成的矩阵的秩是否小于向量的个数. 解 对矩阵 [α1
α 2 α 3 ] 作初等变换求秩:
2 3 2 −1 α3 ] = 7 2 −1 4
T T T T
时， β 可经 α1 , α 2 , α 3 线性表示 ? 为什么 ? a 取值为
时， β 不能经
α1 , α 2 , α 3 线性表示? 为什么?
分析
判断向量 β 是否能被向量组 α1 , α 2 , α 3 线性表示 ⇔ [α1
α 2 α 3 ] X = β 是否有解
⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
为阶梯形:
[α1
α 2 α3 α4
x1 = −1, x = 1, 2 求得解为 所以表达式为 β = −α1 + α 2 + 2α 3 − 2α 4 . x3 = 2, x4 = −2,
3.设 β = [ 7, 问a =
−2, a ] , α1 = [ 2, 3, 5] , α 2 = [3, 7, 8] , α 3 = [1, −6, 1] ．
当 a ≠ 9 时, 该矩阵的秩为 3 与向量个数相同, 所以向量组线性无关; 当 a = 9 时, 该矩阵的秩为 2 小于向量个数 3, 所以向量组线性相关; 综上所述第 1 空格填 9,第 2 空格填不等于 9. 7. 设 α1 = [ 4,
*
a1 , 0, 0] , α 2 = [ 4, a2 , 4, 0] ，
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r = O .
(C) 若 α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性无关, 无关. (D) 若 α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性无关，则其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 解 (A) 设 α1 = [1,
T
β1 , β 2 ,⋯ , β s 线性无关, 则 α1 , α 2 ,⋯ , α r , β1 , β 2 ,⋯ , β s 线性
解 对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
1 2 3 1 ⋮ 7 1 2 −1 ⋮ β ] = 3 7 −6 ⋮ − 2 → 0 1 −3 ⋮ − 5 . 5 8 1 ⋮ a 0 0 0 ⋮ a − 15
[α1
α 2 α3
当 a = 15 时, 秩( [α1
α 2 α 3 ] )=秩( [α1 α 2 α 3 β ] )=2, 所以 β 能被向量组
α1 , α 2 , α 3 线性表示;
当 a ≠ 15 时, 秩( [α1
α 2 α 3 ] )=2, 秩( [α1 α 2 α 3 β ] )=3, 两者不相等, 所以
(1) a, b 为何值时， β 不能经 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性表示? (2) a, b 为何值时， β 能经 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性表示? 并写出该线性表示式． 解 (1) 如上题解分析知,可对矩阵 [α1
α 2 α3 α 4
1
β ] 作初等行变换化为阶梯形:
1 1 1 1 1 1 −1 −1 β]= 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1
1 1 0 2 → 0 1 1 0 1 1 0 1 0 , 0 1 −1 0 0 0 −4 1 1 1 1
为阶梯形:
[α1
α 2 α3 α 4
5 x1 = 4 , x = 1, 2 4 5 1 1 1 求得解为 所以表达式为 β = α1 + α 2 − α 3 − α 4 . 4 4 4 4 x = − 1 , 3 4 1 x4 = − , 4
2, 1, 1] ， α1 = [1, 1, 1, 1] ， α 2 = [1, 1, −1, −1] ，
T T T T T
α 3 = [1, −1, 1, −1] , α 4 = [1, −1, −1, 1] ；
(2) β = [ 0,
2, 0, −1] ， α1 = [1, 1, 1, 1] ， α 2 = [1, 1, 1, 0 ] ，
习题 4.2
1.指出下述论断正确的是( )，并说明理由． (A) 如果当 k1 = k2 = ⋯ = kr = 0 时 , k1α1 + k2α 2 + ⋯ + krα r = O ，则 α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性无 关. (B) 若
α1 , α 2 ,⋯ , α r 线 性 相 关 ， 则 存 在 全 不 为 零 的 数 k1 , k2 ,⋯ , kr ， 使 得
1
1
(1) 当 a = −1 时, b ≠ 0 , 则秩( [α1 秩( [α1
α 2 α 3 α 4 ] )=2,
α 2 α 3 α 4 ⋮ β ] )=3, 两者不相等, 所以此时不能线性表示. α 2 α 3 α 4 ] )=2=秩( [α1 α 2 α 3 α 4 β ] ),
(2) 当 a = −1 时, b = 0 , 秩( [α1
5.指出下列向量组线性相关的是( )，并说明理由． (1) α1 = [ 2, (2) α1 = [ 4,
2, 7, −1] ， α 2 = [3, −1, 2, 4] ， α 3 = [1, 1, 3, 1] ；
T T T
3, −1, 1, −1] ， α 2 = [ 2, 1, −3, 2, −5] ，
T T T T T
α 3 = [1, 1, 0, 0] ， α 4 = [1, 0, 0, 0] ．
解 (1) 向 量 β 表 示 成 向 量 组 的 线 性 组 合 的 表 达 式 系 数 即 为 线 性 方 程 组
[α1
α 2 α 3 α 4 ] X = β 的解, 所以先求解该线性方程组. 为此用初等行变换化系数矩阵
k1α1 + ⋯ + ki −1α i −1 + ki +1α i +1 + ⋯ + krα r − α i = O , 所以 α1 , α 2 ,⋯ , α r 线性相关 , 而这与题
设矛盾, 所以向量组线性无关时其中每一个向量都不是其余向量的线性组合这个结论是正 确的. 综上所述应选填 D . 2.试将向量 β 表示成向量 α1 , α 2 , α 3 , α 4 的线性组合： (1) β = [1,
−2 1 −1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0
2
1
[α1
α 2 α3
该矩阵的秩为 3 小于向量的个数 4, 所以该向量组线性相关. 综上知应填(2). 6.设 α1 = [1,
2, 3] , α 2 = [ 2, 1, 6] , α 3 = [3, 4, a ] . 问 a ＝