上海市浦东六校联考2020届高三数学第二次联考试题 理 沪教版

2020-12月浦东高三第二次六校联考数学试卷（理工类）
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．若复数z 满足()1z i i +=（i 为虚数单位），则z z ⋅=____________． 2．已知数列{}n a 是等比数列，则行列式
142
5
a a a a =_______ ．
3．已知集合{}
3A x x =<，集合401x B x
x ⎧+⎫
=>⎨⎬-⎩⎭
，则A B =I ______________．
4．已知矩阵2134A -⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，2143B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A B ⨯=______________． 5．若函数()log m f x x =的反函数图象过点()2,n ，则n m -的最小值是______．
6．8
22x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含21x 项的系数为 ____________．
7．已知()1,3a =-r ，()6,2b =r
，向量a b λ+r r 与3a b -r r
垂直，则实数λ=_______．
8．对任意非零实数a 、b ，若a b ⊗的运算原理如 右图程序框图所示，则32⊗= ． 9．将甲、乙、丙、丁四名志愿者分到三个不同的 社区进行社会服务，每个社区至少分到一名志愿 者，则不同分法的种数为___ __．
10．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+*
()n N ∈，
则lim
n
n n
na S →∞=_______．
11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组
成的，第n 行有n 个数，且第()2n n ≥行两端的数均 为
1
n
，每个数都是它下一行左右相邻两数的和，如 111122=+，111236=+，111
3412
=+，…，则第7行第3 个数（从左往右数）为___________．
12．设ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，则下列条件中
能够确定ABC ∆为钝角三角形的条件共有________个． ①::7:20:25A B C =；
②sin :sin :sin 7:20:25A B C =； ③cos :cos :cos 7:20:25A B C =； ④tan :tan :tan 7:20:25A B C =。

13．函数()2x
f x e x =--的一个零点所在的区间为()()
*,1k k k N +∈，则k 的值
为____________．
14．若数列}{n a 满足11a =，114n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（*
n N ∈），
设21
123444n n n S a a a a -=++++L ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，
可求得54n
n n S a -=________________．
二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．{}4,5M =，{}
2N a =，“2a =±”是“M N ⊇”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．非分非必要条件
16．下列函数中，既是偶函数，又在()0,1上单调递增的函数是 （ ） A ．3log y x = B ．3
y x =
C ．x
y e =
D ．cos y x =
17．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能．．．
是 （ ）
A． B． C． D．
18．若在直线l上存在不同的三个点A、B、C，使得关于实数x的方程20
x OA xOB BC
++=
u u u r u u u r u u u r r 有解（点O不在直线l上），则此方程的解集为（）
A．{}1-B．∅
C．
1515
,
-+--
⎪⎪
⎩⎭
D．{}
1,0
-
三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．（本题共2小题，满分12分。

第1小题满分6分，第2小题满分6分）
已知复数
1
sin2
z x iλ
=+,
2
(3cos2)
z m m x i
=+（,,
m x R
λ∈）,且
12
z z
=．（1）设λ＝()
f x，求()
f x的最小正周期和单调递增区间．
（2）当0,
2
x
π
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
时，求函数()
f x的值域．
20．（本题共2小题，满分14分。

第1小题满分7分，第2小题满分7分）
定义：()
1,0
sgn0,0
1,0
x
x x
x
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
，若已知函数
()
||
sgn
()x
x
x
f x a
a
=-（0
a>且1
a≠）满足()3
1
2
f=．
（1）解不等式：()2
f x≤；
（2）若(2)()40
f t mf t
++≥对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．
21．（本题共2小题，满分14分。

第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200
x
≤≤时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求函数()v x 的表达式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某一点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．
22．（本题共3小题，满分16分。

第1小题满分４分，第2小题满分6分，第3小题６分）
设数列
{}
n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*
n N ∈，有0n a >且
n S =
（1）求1a 、2a 的值；
（2）求证：数列{}n a 是等差数列，并写出其通项公式n a ； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令n n
n S T 2
=
，若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．
23．（本题共3小题，满分18分。

第1小题满分4分，第2小题满分７分，第3小题７分）
对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数． ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；
② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立． 已知函数2
()g x x =与()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数． （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数m ，使方程(21)()x
g h x m -+=恰有两解？若存在，
求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
2020-12月浦东高三第二次六校联考数学试卷（2020.12） 参考答案与评分标准 一、填空题
1、12；
2、0；
3、()3,1-；
4、811015--⎛⎫ ⎪
⎝⎭
；5、1
4-；6、1792；7、12； 8、2；9、36；10、2；11、
1
105
；12、1；
13、【理科】1；【文科】2；14、【理科】n ；【文科】1
4
n +． 二、选择题
15、A ；16、C ；17、D ；18、D ． 三、解答题
19、解：（1）12z z
=sin 22x m
m x
λ=⎧⎪⇒⎨
=⎪⎩……………………………………1分
sin 222sin 23x x x πλ⎛
⎫⇒=-=- ⎪⎝
⎭，………………………………………3分
所以函数()f x 的最小正周期为
22
π
π=，………………………………………4分 因为22,2322x k k π
ππππ⎡
⎤-
∈-+⎢⎥⎣⎦
，……………………………………………5分 所以()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦。

（单调区间写成开区间不扣分）…………………………………………………………………………6分 （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
时，22,333x π
ππ⎡⎤-
∈-⎢⎥⎣⎦
，…………………………………7分
所以sin 2,132x π⎡⎤⎛
⎫-∈-
⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，…………………………………………………11分 因此函数()f x
的值域为2⎡⎤⎣⎦。

…………………………………………12分
20、解：（1）()13122f a a a =-
=⇒=或1
2
-（舍）
，…………………………1分 当0x >时，()21()22222102
x
x x
x f x =+≤⇒-⨯+≤，
21x ⇒=0x ⇒=，
因为0x >，所以无解，…………………………………………3分
当0x =时，0
00
(0)21202
f x =-=≤⇒=，……………………………………4分 当0x <时，1
1()2222
x x x f x +--=-
=≤， 0x ⇒≤，
因为0x <，所以0x <，…………………………………………6分
综上所述，不等式的解集为(],0-∞。

…………………………………………7分
（2）因为0t >，所以1()22t
t f t =+
，221(2)22t t
f t =+， 2211(2)()4224022t t t t f t mf t m ⎛⎫
++=+
+++≥ ⎪⎝
⎭
恒成立，……………………8分 令()[)1
202,2
t
t u t =+>∈+∞，………………………………………………9分 则222211224242022t
t t t m u mu u mu ⎛⎫+
+++=-++=++≥ ⎪⎝
⎭恒成立， [)()22,m u u u ⎛
⎫⇔≥-+∈+∞ ⎪⎝
⎭恒成立，
[)()max 22,m u u u ⎡⎤
⎛⎫⇔≥-+∈+∞ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，…………………………………………11分
因为2y u u ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
在[)2,+∞上单调递减，……………………………………12分 所以[)()max
22,3u u u ⎡⎤
⎛⎫-+
∈+∞=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………………………13分 综上所述，3m ≥-。

……………………………………………………………14分
21、解：（1）当020x ≤≤时，()60v x =………………………………………1分 当20200x ≤≤时，设()()0v x kx b k =+≠，则()()202060
2002000
v k b v k b =+=⎧⎪⎨
=+=⎪⎩………3分
1200
,33
k b ⇒=-=
，……………………………………………………………5分 因此()60,020200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪
=-⎨<≤⎪⎩。

…………………………………………6分
（2）当020x ≤≤时，()60f x x =………………………………………………7分 当20x =时，()f x 取得最大值为1200，………………………………………9分
当20200x <≤时，()()22
200110000100333
x x f x x -==--+，……………11分 当100x =时取得最大值为
10000
33333
≈，……………………………………13分 综上所述，当车流密度100x =时，车流量达到最大值3333。

……………14分
22、解：【理科】
（1）11a =，…………………………………………………………………2分
22a =；……………………………………………………………4分
（2）当2n ≥时，23333
123n n S a a a a =++++L ，
2333311231n n S a a a a --=++++L ，
两式作差可得()()()322
1111n n n n n n n n n n a S S S S S S a S S ----=-=-+=+
2
1n n n a S S -⇒=+，………………………………………………6分 同理2
11n n n a S S ++=+，
两式作差可得()()22
1111n n n n n n n n a a S S S S a a ++-+-=-+-=+，
()112n n a a n +⇒-=≥，…………………………………………7分
由（1）可知211a a -=，所以11n n a a +-=对任意*
n N ∈都成立，……………8分
所以数列{}n a 为等差数列，……………………………………………………9分 首项11a =，公差为1，所以n a n =；…………………………………………10分 （3）()
12
n n n S +=
，……………………………………………………………11分 ()()()(
)()12
1
22
1211
1
222222
2n n n n n n n n n n n n T T n n n ++++++++++-=
-=+-=-…………12分 当1n =时，110n n n n T T T T ++->⇔>， 当2n =时，110n n n n T T T T ++-=⇔=，
当3n ≥时，110n n n n T T T T ++-<⇔<，…………………………………………14分 所以数列{}n T 的最大项为2T ，…………………………………………………15分 因此()2max 3
4
n m T T ≥==。

………………………………………………………16分 【文科】（1）11a =，……………………………………………………………2分
22a =．…………………………………………………………4分
（2）2
2n n n S a a =+，
2
1112n n n S a a +++=+，
两式作差可得()2
2
2
2
1111112220n n n n n n n n n n n S S a a a a a a a a a ++++++-==+--⇔--+=
()()1110n n n n a a a a ++⇔+--=……………………………………6分 因为0n a >，所以10n n a a ++>
110n n a a +⇒--=， ……………………………………………8分
所以数列{}n a 为等差数列，……………………………………………………9分 首项11a =，公差为1，所以n a n =；…………………………………………10分 （3） ()
12n n n S +=
，…………………………………………………………11分 ()()()()11
11211
2222n n n n
n n n n n n T T n cn c c c
+++++++-=
-=
+-⋅⋅⋅，………………………12分 数列{}n T 为单调递增数列当且仅当1020n n T T n cn +->⇔+->……………13分
22
1n c n n
+⇔<
=+恒成立，……………………………………………………14分 即1c ≤，…………………………………………………………………………15分 显然0c >，所以综上所述(]0,1c ∈。

…………………………………………16分 23、解：（1）当[]0,1x ∈时，总有2
()0g x x =≥满足①……………………………1分
当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，
()()()()2
2222
1212112212122g x x x x x x x x x x g x g x +=+=++≥+=+满足②………3分
所以函数()g x 为G 函数；………………………………………………………4分 （2）因为函数()h x 是G 函数，根据①有(0)101h a a =-≥⇒≥，……………6分 根据②有()()()1
2
121212212121x x x x h x x h x h x a a a ++≥+⇔⋅-≥⋅-+⋅-
()()()()121212122221x x x x h x x h x h x a ++≥+⇔+-≤
()()12
121211x x a ⎡⎤⇔---≤⎣⎦…………………………………………………7分
因为12120,0,1x x x x ≥≥+≤，
所以[]1210,1x
-∈，[]2210,1x
-∈，其中121x
-和221x
-不能同时取到1，
于是()()[)()()
(]121221210,1121210,1x
x
x
x
--∈⇒---∈，……………………9分
所以()()12112121x x a ≤---，即()()12
min
1
112121x x a ⎡⎤⎢⎥≤=---⎢⎥⎣⎦，……………10分 于是1a =…………………………………………………………………………11分
另解：因为函数()h x 是G 函数，根据①有(0)101h a a =-≥⇒≥，…………6分 根据②有()()()1
2
121212212121x x x x h x x h x h x a a a ++≥+⇔⋅-≥⋅-+⋅-
()()()()121212122221x x x x h x x h x h x a ++≥+⇔+-≤………………………………8分
取121,0x x ==得1a ≤…………………………………………………………10分 于是1a =…………………………………………………………………………11分 （3）【理科】根据（2）知1a =，原方程可以化为42x
x
m -=，……………12分
由02110101
x x x ⎧≤-≤⇒≤≤⎨≤≤⎩，……………………………………………………14分 令[]21,2x t =∈，则2
42x x m t t =-=-，………………………………………15分
由图形可知：当[]0,2m ∈时，方程有一解；…………………………………16分
当()(),00,m ∈-∞+∞时，方程无解；…………………………17分
因此，方程不存在两解。

………………………………………………………18分 【文科】根据（2）知1a =，原方程可以化为42x
x
m -=，…………………12分
由02110101x x x ⎧≤-≤⇒≤≤⎨≤≤⎩
，……………………………………………………14分
令[]21,2x t =∈，…………………………………………………………………15分
则2
211
4224
x x m t t t ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，……………………………………………16分
因此，当[]0,2m ∈时，方程有解。

……………………………………………18分。