新人教A版选修2-32019-2020年高中数学模块综合评价(二)(含解析)

模块综合评价(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
解析：由题意4项工作分配给3名志愿者，分配方式只能为(2，1，1)，所以安排方式有C 2
4·A 3
3＝36(种)．
答案：D
2．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2
)，则P (ξ＜3)等于( ) A.15 B.14 C.13
D.12
解析：由正态分布的图象知，x ＝μ＝3为该图象的对称轴， 则P (ξ＜3)＝1
2.
答案：D
3．一个坛子里有编号1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的编号是偶数的概率为( )
A.122
B.111
C.322
D.211
解析：从坛子中取两个红球，且至少有1个球的编号为偶数的取法可以分两类：第一类，两个球的编号均为偶数，有C 2
3种取法；第二类，两个球的编号为一奇一偶，有C 13C 1
3种取法，因此所求的概率为C 2
3＋C 13C 1
3C 2
12＝211
. 答案：D
4．二项式(x ＋1)n
(n ∈N *
)的展开式中x 2
的系数为15，则n ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
解析：二项式的展开式的通项是T r ＋1＝C r n x r ，令r ＝2，得x 2的系数为C 2n ，所以C 2
n ＝15，即n 2
－n －30＝0，解得n ＝－5(舍去)或n ＝6.
答案：C
5．已知离散型随机变量X 的分布列如下：
由此可以得到期望E (X )A ．E (X )＝1.4，D (X )＝0.2 B ．E (X )＝0.44，D (X )＝1.4 C ．E (X )＝1.4，D (X )＝0.44 D ．E (X )＝0.44，D (X )＝0.2 解析：由x ＋4x ＋5x ＝1得x ＝0.1，
E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，
D (X )＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44.
答案：C
6．观察两个变量(存在线性相关关系)得到如下数据：
A.y ^＝1
2x ＋1
B.y ^＝x
C.y ^
＝2x ＋13
D.y ^
＝x ＋1
解析：根据表中数据得：x —
＝1
8
×(－10－6.99－5.01－2.98＋3.98＋5＋7.99＋8.01)＝0，
y —
＝18
×(－9－7－5－3＋4.01＋4.99＋7＋8)＝0，
所以两变量x ，y 的线性回归方程过样本点的中心(0，0)，只有B 项适合． 答案：B
7．设A ＝37
＋C 2
7·35
＋C 4
7·33
＋C 6
7·3，B ＝C 1
7·36
＋C 3
7·34
＋C 5
7·32
＋1，则A －B 的值为( ) A ．128
B ．129
C ．47
D ．0
解析：A －B ＝37
－C 1
7·36
＋C 2
7·35
－C 3
7·34
＋C 4
7·33
－C 5
7·32
＋C 6
7·3－1＝(3－1)7
＝27
＝128，
故选A.
答案：A
8．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是( )
A ．0.01×0.992
B ．0.012
×0.99 C ．C 1
30.01×0.992
D ．1－0.993
解析：设A ＝“三盒中至少有一盒是次品”，则— A ＝“三盒中没有次品”，又P (—
A )＝0.993
，所以P (A )＝1－0.993
.
答案：D
9．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
答案：D
10．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为( )
A.17
B.132
C.434
D.542
解析：设A 表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A 1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A 2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A ＝A 1＋A 2，且A 1，A 2互斥，
P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 56·C 1
4C 610＋1C 610＝5
42.
答案：D
11．下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^
＝－0.7x ＋a ^，则a ^
＝( )
A ．10.5
B ．5.15
C ．5.2
D ．5.25
解析：样本点的中心为(2.5，3.5)，将其代入线性回归方程可解得a ^
＝5.25. 答案：D
12．在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是( )
A.13
B.49
C.23
D ．1
解析：由题意可得随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，每一局中甲胜的概率为
3
3×3＝13，平的概率为13，输的概率为13
， 因此，每一局中甲胜的概率为P ＝1
3，
由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，得E (ξ)＝3×13＝1. 答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则x ＝________.
解析：由随机变量概率分布列的性质可知：x 2
＋x ＋4＝1且0≤x ≤1，解得x ＝12.
答案：1
2
14．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个
面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
解析：设ξ表示两次向上的数之积， 则P (ξ＝1)＝13×13＝1
9
，
P (ξ＝2)＝C 12×13×1
6＝19
， P (ξ＝4)＝16×16＝136
， P (ξ＝0)＝34
，
所以E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＝49.
答案：4
9
15．设(2x －1)5
＋(x ＋2)4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
＋a 5x 5
，则|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝________．
解析：由(2x －1)5
＋(x ＋2)4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
＋a 5x 5
可得常数项a 0＝(－1)5
＋24
＝15，
x 2项的系数为a 2＝C 35×22×(－1)3＋C 24×22
＝－16，
x 4项的系数为a 4＝C 15×24×(－1)1＋C 04×20＝－79，则|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝15＋16＋79＝
110.
答案：110
16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(— x ，—
y )；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2
＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．
解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误． 答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)两台车床加工同一种机械零件如下表：
(1)取得合格品的概率；
(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．
解：(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A ，因为在100个零件中，有85个为合格品，
则P (A )＝85
100
＝0.85.
(2)从100个零件中任取一个零件是第一台加工的概率为P 1＝40100＝2
5，第一台车床加工
的合格品的概率为P 2＝3540＝7
8
，
所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P ＝P 1·P 2＝25×78＝7
20
.
18．(本小题满分12分)已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n
的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b )2n
的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．
解：因为⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n
的展开式中的偶数项的二项式系数和为 2
n －1
，
又(a ＋b )2n
的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1
，
所以有2
n －1＝2
2n －1
－120，解得n ＝4，
故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x )2
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13x 2＝63
x .
19．(本小题满分12分)一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：
期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率； (2)求η的分布列及期望E (η)．
解：(1)因为服从ξ～B (3，0.4)，运用概率公式P ＝C k 3(0.4)k (1－0.4)3－k
，
所以P ＝C 2
3(0.4)2
×(1－0.4)＝0.288.
(2)因为采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250；采用4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
所以可以取值为200元，250元，300元． 根据表格知识得出：
P (η＝200)＝P (ξ＝1)＝0.4，
P (η＝250)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P (η＝300)＝1－P (η＝200)－P (η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.
故η的分布列为：
E (η)20．(本小题满分12分)某商城在2019年前7个月的销售额y (单位：万元)的数据如下表，已知y 与t 具有较好的线性关系．
(1)求y (2)分析该商城2019年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^
＝，
a ^
＝y —
－b ^
t —
.
解：(1)由所给数据计算得
t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y ＝17
(58＋66＋72＋88＋96＋104＋118)＝86，
（t i －t —
）2
＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(t i －t —)(y i －y —
)＝(－3)×(－28)＋(－2)×(－20)＋(－1)×(－14)＋0×2＋1×
10＋2×18＋3×32＝280，
b ^＝
＝280
28
＝10， a ^
＝y —
－b ^
t —
＝86－10×4＝46. 所求回归方程为y ^
＝10t ＋46.
(2)由(1)知，b ^
＝10>0，故前7个月该商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万元． 将t ＝8，代入(1)中的回归方程，y ^
＝10×8＋46＝126. 故预测该商城8月份的销售额为126万元．
21．(本小题满分12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是8
15.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
.
解：(1)
由已知数据得K2的观测值k＝
16×14×16×14
≈1.158＜2.706. 所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝C28
C214＝
4
13
，P(X＝1)＝
C16C18
C214
＝
48
91
，
P(X＝2)＝C26
C214＝
15 91
.
所以X的分布列为
X的数学期望为E(X)＝0×
13＋1×
91
＋2×
91
＝
7
.
22．(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解：(1)由柱形图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为：
(2)由
故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.。