高中数学人教A版选修-创新应用教学案第三章

运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依 据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及 其对应的复数．注意向量 AB―→对应的复数是 zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
练一练 2．复平面内三点 A、B、C，A 点对应的复数为 2＋i，向量 量 对应的复数为 3－i，求点 C 对应的复数． 解：∵ 对应的复数为 1＋2i， 对应的复数为 3－i， ∴ ＝ － 对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
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课下能力提升(九)
学业水平达标练]
题组 1 复数的加、减运算
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A．－1＋i B．1－i
C．i
D．－i
解析：选 A (1－i)－(2＋i)＋3i
＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
2．若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数 z1＋z2 所对应的点在实轴上，则 a＝( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1
(1)求 表示的复数； (2)求 表示的复数； (3)求 B 点对应的复数． [尝试解答] (1)∵ ＝－ ， ∴ 表示的复数为－(3＋2i)， 即－3－2i.
(2)∵ ＝ － ， ∴ 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ， ∴ 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
∴Error! 即Error!
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i
4．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
2
2．归纳总结，核心必记
是复数 z －z 所对应的平面向量．
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(1)复数的加、减法运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，那么， z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (2)复数加法的运算律
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之 后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无 括号，可以从左到右依次进行计算．
练一练
1．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
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练一练 3．设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，求|z1－z2|. 解：法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2， 又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， 可得 2ac＋2bd＝0. ∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2 ＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2， ∴|z1－z2|＝ 2. 法二：作出 z1、z2 对应的向量 OZ1―→、OZ2―→，使 OZ―→1＋OZ―→2＝OZ―→. ∵|z1|＝|z2|＝1，又 OZ1―→、OZ2―→不共线(若 OZ1―→、OZ2―→共线，则|z1＋z2|＝2 或 0，与|z1＋z2|＝ 2矛盾)． ∴平行四边形 OZ1ZZ2 为菱形． 又|z1＋z2|＝ 2， ∴∠Z1OZ2＝90°， 即四边形 OZ1ZZ2 为正方形， 故|z1－z2|＝ 2.
则| |＝________.
解析：由题意 ＝ － ，
∴ 对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，
∴| |＝2. 答案：2 8．复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形 的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解：复数 z1，z2，z3 所对应的点分别为 A，B，C，设正方形的第四个顶点 D 对应的复数 为 x＋yi(x，y∈R)．
对应的复数为 1＋2i，向
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又∵ ＝ ＋ ， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[思考] 在复平面内，z1，z2 对应的点分别为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C，O 为坐标原 点，则
(1)四边形 OACB 是什么四边形？ 提示：平行四边形． (2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则该四边形 OACB 的形状是什么？ 提示：矩形． (3)若|z1|＝|z2|，则四边形 OACB 的形状是什么？ 提示：菱形． (4)若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 又是什么形状？ 提示c，d)分别与复数 z ＝a＋bi，z ＝c＋di 对应，如图所示．则
1
2
，z1＋z2 各为何值？它们之间有什么对应关系？ － 与 z －z 之间又有什 12
提示： ＋ ＝(a＋c，b＋d)，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，故 ＋
z 所对应的平面向量． －
———————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————
1．本节课的重点是复数的加法和减法运算，难点是复数加、减法运算的几何意义及其 应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)复数的加法、减法运算，见讲 1； (2)复数加法、减法运算的几何意义，见讲 2； (3)复数加法、减法运算几何意义的应用，见讲 3. 3．对复数的加法、减法运算应注意以下几点： (1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算； 特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致． (2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中 仍然成立． (3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
对任意 z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
是复数 z1＋
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②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数加、减法的几何意义
如图，设在复平面内复数 z1，z2 对应的向量分别为 ， ，以 OZ ，OZ 为邻边作
1
2
平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是 ，与 z1－z2 对应的向量是 .
z1>z2.
[课前反思] (1)复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
； (2)复数的加、减法的几何意义是什么？
.
2
[思考] 若 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则 z1＋z2，z1－z2 为何值？ 名师指津：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
讲一讲 1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． [尝试解答] (1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i) ＝(－1＋1)＋( 2＋ 2)i ＝2 2i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i ＝－a＋(4b－3)i.
(2)原式＝(－1＋i)＋ 0＋12＋(1＋i)
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＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i. 题组 2 复数加、减运算的几何意义 5．已知 z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数 z＝z2－z1 对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 B ∵z＝z2－z1＝1＋5i－(3＋i) ＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.
[问题思考]
(1)在实数范围内 a－b>0⇔a>b 恒成立，在复数范围内是否有 z1－z2>0⇒z1>z2 恒成立呢？
提示：若 z1，z2∈R，则 z1－z2>0⇒z1>z2 成立．否则 z1－z2>0 如 z1＝1＋i，z2＝i，虽然 z1－z2＝1>0，但不能说 1＋i 大于 i. (2)复数|z1－z2|的几何意义是什么？ 提示：表示复数 z1，z2 对应的两点 Z1 与 Z2 间的距离．
(1)|z－z0|表示复数 z，z0 的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数 差的形式．
(2)|z－z0|＝r 表示以 z0 对应的点为圆心，r 为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式 入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
解析：选 C ∵z1＝2＋i，z2＝3＋ai， ∴z1＋z2＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i. 又∵z1＋z2 所对应的点在实轴上， 故 1＋a＝0，即 a＝－1.
3．设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，则 z1－z2＝________. 解析：∵z1＋z2＝5－6i， ∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
讲一讲 3．已知 z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值． [尝试解答] 由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数 z 对应的点 Z 与 复数－3＋4i 对应的点 C 之间的距离等于 1，故复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 C(－3,4)为圆 心，半径等于 1 的圆． 而|z|表示复数 z 对应的点 Z 到原点 O 的距离， 又|OC|＝5， 所以点 Z 到原点 O 的最大距离为 5＋1＝6，最小距离为 5－1＝4. 即|z|max＝6，|z|min＝4.
第 1 课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P56～P57 的内容，回答下列问题． (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，则 z1＋z2 为何值？ 提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)对于复数 z1，z2，z3，关系式 z1＋z2＝z2＋z1 和(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)成立吗？ 提示：成立．
因为 ＝ － ，
所以 所以 相等，
对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为 ＝ － ， 对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为 ＝ ，所以它们对应的复数
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即Error!解得Error! 故点 D 对应的复数为 2－i. 题组 3 复数加、减运算几何意义的应用 9．若|z－1|＝|z＋1|，则复数 z 对应的点 Z( ) A．在实轴上 B．在虚轴上 C．在第一象限 D．在第二象限 解析：选 B 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得： x＝0. 10．A，B 分别是复数 z1，z2 在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三 角形 AOB 一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选 B 根据复数加(减)法的几何意义，知以 OA―→，OB―→为邻边所作的平行 四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形 OAB 为直角三角形．
6．在复平面内，O 是原点， ， ， 对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那 么 对应的复数为________．
解析：∵ ＝－( － ＋ )， ∴ 对应的复数为－[－2＋i－(3＋2i)＋(1＋5i)] ＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i] ＝－(－4＋4i)＝4－4i. 答案：4－4i 7．在复平面内，复数 1＋i 与 1＋3i 分别对应向量 和 ，其中 O 为坐标原点，
( ) ( ) (2)
11 3＋2i
＋(2－i)－
43 3－2i
.
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
( ) ( ) (2)
11 3＋2i
＋(2－i)－
43 3－2i
( ) ( ) ＝
1＋2－4
3
3
＋
1－1＋ 3 i＝1＋i. 22
3
讲一讲 2．已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i.