最新-2021学年高中数学选修41课件：第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第2节 精品

(3)要注意“中间量”的运用与转化．
1.如图，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD ＝1∶2∶3，CF＝12 cm，求AE，DG的长．
解析： ∵AE∥CF，∴CAEF＝BACB， ∴AE＝ABB·CCF＝BACB·CF. ∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12 cm， ∴AE＝12×12＝6(cm)． ∵CF∥DG，∴BBDC＝DCGF ，∵CBCD＝23，∴BBDC＝25， ∴DG＝BBDC.CF＝52×12＝30(cm)．
∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠E， ∴∠ABE＝∠E.∴AB＝AE. ∵BE∥AD，∴DBDC＝AACE＝AACB.
1．如何理解定理中“对应线段”？ “对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段． 2．怎样才能写出正确的比例线段？ 平行线分线段成比例定理变式较多，学生在写对应线段时 易出现错误，其时也很简单．关键是掌握“对应”两字，简单
No.2 课堂学案
平行线分线段成比例定理
如图所示，已知直线l截 △ABC三边所在的直线分别于E、F、D三 点，且AD＝BE.
求证：EF∶FD＝CA∶CB．
[思路点拨] 借助平行线分线段成比例定理即可证得．
[解题过程] 证法一：如图，
过 D 作 DK∥AB 交 EC 于点 K，则FEDF＝BEKB，ACDA＝BBCK， 即CBCA＝ABDK. ∵AD＝BE， ∴CBCA＝BBKE，∴FEDF＝CCAB.
No.3 课后练习
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数学 选修4-1
第一讲 相似三角形的判定及有关性
预习学案
课堂学案
课后练习
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数学 选修4-1
第一讲 相似三角形的判定及有关性
预习学案
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下课
证法二：如图，过 E 作 EP∥AB，交 CA 的延长线于点 P.
∵AB∥EP， ∴CBEB＝CAPA，. ∵AD＝BE，∴ABPE＝AADP，∴CCAB＝FEDF.
证法三：如图，过 D 作 DN∥BC，交 AB 于 N.
平行线分线段成比例定理的推论
如图，M是▱ABCD的边AB的中点，直线l过M分别 交 AD ， AC 于 E ， F ， 交 CB 延 长 线 于 N ， 若 AE ＝ 2 ， AD ＝ 6. 求 AF∶AC的值．
[思路点拨]
AD∥BC， AM＝MB
→
AE＝BN
→
AF∶AC的值
[解题过程] ∵AD∥BC， ∴FACF＝NAEC，∴AFA＋FFC＝AEA＋ENC. ∵BANE＝AMMB＝1，∴AE＝BN. ∴AACF＝AE＋BANE＋BC＝2AEA＋E BC. ∵AE＝2，BC＝AD＝6， ∴AACF＝2×22＋6＝15， 即 AF∶AC＝1∶5.
如图甲，α∥β∥γ，l1、l2 是异面直线，l1 交 α、β、γ 分别为点 A、B、C，l2 交 α、β、γ 分别为点 D、E、F.求证：BACB ＝DEFE.
[思路点拨] 由于A、B、C与D、E、F分别在异面直线l1与 l2上，因此要证明这一比例成立，就需要作出一直线，使它与 l1、l2都共面，建立一个中间比．
[解题过程] 证明：如图乙，在直线 l2 上取一点 G，过点 G 作 l3∥l1.设 l3 与平面 α、β、γ 分别相交于 P、Q、R，则 l1 与 l3 确定一个平面 APRC，l3 与 l2 确定一个平面 GRF.在平面 APRC 中，连接 AP、BQ、CR，则 AP∥BQ∥CR.∴BACB＝PQQR.在平面 GRF 中，连接 PD、QE、RF，则 PD∥QE∥RF.∴PQQR＝DEFE.∴BACB ＝DEFE.
2．平行线分线段成比例定理的推论 (1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的__对__应__线__段__成比例． (2)图形语言：如图l1∥l2∥l3，
AE
AE
EC
则有：＝__A__C______，＝__E_C_______，＝__A__C______.
1．如图，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )
解析： ∵E 为 AB 的中点，EF∥BD，∴F 为 AD 的中点． ∵E 为 AB 的中点，EG∥AC，∴G 为 BD 的中点， 若 EG＝5 cm，则 AD＝10 cm. 又 CD＝12AD＝5 cm，∴AC＝15 cm. 若 BD＝20 cm，则 EF＝12BD＝10 cm.
答案： 15 10
[规律方法] 运用平行线分线段成比例定理的推论来证明 比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截 边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．
2.如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E， F 分别在 AB，CD 上且 EF∥BC，若EABE＝23，AD＝8 cm，BC＝ 18 cm，求 EF 的长．
左上 右上 左上 右上 记忆方法：左下＝右下；左全＝右全，当然根据需要可做适当 的变形．
3．平行线分线段成比例定理的作用及方法有哪些？ 平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论 基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的 比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的 比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比 例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍 数关系． 4．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或 计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意 在求解过程中运用等比性质、合比性质等．
[规律方法] 如何证明空间几何中的比例式问题？ (1)认真读图，作出辅助线，将空间问题转化为平面问题； (2)通过中间比证明； (3)化为平面问题后，同一平面内，平面几何中的相关定理 都适用．
3.求证：三角形的内角平分线分对边所得 的两条线段和这个角两边对应成比例．
解析： 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC．
第二节 平行线分线段成比例定理
课标定位
1．通过探究，发现和验证平行线分线段成比例定理． 2．掌握平行线分线段成比例定理及其推论.
1．平行线分线段成比例定理及其推论的考查(重点)． 2．常添加的辅助线是过分点的平行线(易错点).
预习学案
某同学的身高为1.60 m，由路灯下向前步行4 m，发现自 己的影子长为2 m，那么你知道这个路灯的高是多少吗？
∵ND∥EB，∴DEBN＝DEFF， ∵DN∥BC，∴DBCN＝ACDA，即CCAB＝DADN. ∵AD＝EB，∴DADN＝DEBN，∴FEDF＝CCAB.
[规律方法] 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比 例式应注意什么？
(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关 系；
(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的 辅助线可能很多，要注意围绕待证式；
1．平行线分线段成比例定理 (1)文字语言：三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例． (2)图形语言： 如图 l1∥l2∥l3，
则有：BACB＝__DE_FE____，AACB＝__DD_EF____，BACC＝__D_E_FF____. 变式有：DABE＝BECF，DABE＝DACF，BECF＝DACF.
求证：DBDC＝AACB.
证明：证法一：过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E. ∴∠1＝∠3. ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3， ∴DE＝AE. ∵DE∥AB，∴EACC＝DABE＝AAEB， ∴AACB＝EACE，而DBDC＝EACE， 所以DBDC＝AACB.
证法二：过点 B 作 BE∥AD 交 CA 的延长线于点 E.
A．DADC＝DAFE
B．CCEB＝BAFB
C．CADD＝DCEF
D．BAFF＝DBCF
解析： 由 DF∥BC 可以得到DBCF＝AAFB，故DBCF≠ABFF. 答案： D
2．如图，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，则 GH 的长是 ()
A．GH＝2.5 C．GH＝65
B．GH＝56 D．GH＝25
解析： ∵AB∥GH，∴GABH＝CBCH， ∵GH∥CD，∴GCDH＝BBHC，∴GABH＋GCDH＝CBCH＋BBHC＝1，∴ GH＝65.
答案： C
3．如图，在△ABC 中，E 是 AB 的中点，EF∥BD，EG∥ AC 交 BD 于 G，CD＝12AD，若 EG＝5 cm，则 AC＝________cm； 若 BD＝20 cm，则 EF＝________cm.
4.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， E 为底边 BC 上的任意一点，过 E 作与 AD 平行的直线，分别交直线 AB、CA 于 F、G， 求证：BBEF＝CCGE.
证明： ∵EF∥AD，∴BBEF＝BADB. 又∵AD 平分∠BAC，∴AACB＝DBDC， 即BADB＝DACC.∴BBFE＝DACC， ∵AD∥EG，∴DACC＝CCGE，∴BBEF＝CCGE.
解析： 作 AG∥DC 分别交 BC，EF 于 G，H，
∴AD＝HF＝GC＝8 cm.BG＝18－8＝10(cm)． ∵AEEB＝23，∴AABE＝25，∴EBHG＝AABE＝25. ∴EH＝25×BG＝25×10＝4(cm)． ∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12(cm)．
平行线分线段成比例定理的拓展补充