《概率论与数理统计》随机变量与其分布

(2) 0 F ( x) 1, lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
x
(3) F(x)右连续，即 lim F ( x) F ( x0 )
x x0
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X
的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数
例2

p
i 1
i
pi 0, i 1, 2,
1
0
1
X ~
0.16 a
10

非负性
归一性
1
a
2
2
2a
10
3

0.3

a 0.9, a 0.6
32
第2章
02 离散型随机变量的概率分布
随机变量及其分布
利用分布律求概率
P a X b
PX x p
本章内容
01
随机变量
02 分布函数
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
在实际问题中， 随机试验的结果可以用数量来表示， 由此
就产生了随机变量的概念.
为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规
律，有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果。
11
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
随机变量 ( random variable )
X ( )
0, 正品
这种对应关系
66
第2章
随机变量及其分布
结论
通过随机变量这个桥梁，可以把随机试验的结果与实
数对应起来，建立一种映射关系，这样就能够使用高
等数学的方法来研究随机试验，从而更充分的认识随
机现象的统计规律.
本章将介绍随机变量的概念，离散型和连续型随机变
量的分布.
7
7
第2章
为乘客的候车时间，其分布函数为
0, x 0,
x

F ( x) ,0 x 10,
10
1, x 10.
( 2) P{1 X 9}；
(3) P{ X 5}
求 (1) P{ X 3}；
3
4
解 P{ X 3} F (3)
P{1 X 9} F (9) F (1)
设S是试验E的样本空间，若
S
则称
ω.
S
按一定法则
实数 X ( )
为S上的随机变量.
X(ω)
R
12
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
随机变量通常用
X,Y,Z 或 , ,等表示
随机事件可以通过随机
变量的关系式表达出来
例1 某人每天使用移动支付的次数——随机变量X
{某天至少使用1次移动支付} { X 1}
4 3
R
当 x R 时， F ( x) 1；
3
0, x 0,
x
x 3

3
综上所述，X的分布函数为 F ( x) ( ) ,0 x R, ( )
R
R
1, x R.
23
第2章
02 分布函数
随机变量及其分布
例6 通过某公交站牌的汽车每10分钟一辆，随机变量X
a xi b
i
i
i
分布律与分布函数的关系
F ( x) P{ X x} pk
xi x
pi P{ X xi } F ( xi ) F ( xi 0)
33
第2章
02
随机变量及其分布
离散型随机变量的概率分布
例3 设有10件产品，其中有2件次品，现从中任取3件，
是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.
20
第2章
02 分布函数
随机变量及其分布
a be 3 x , x 0
例3 设随机变量X的分布函数为 F ( x)
x0
0,
求a，b.
解 由F(+∞)=1及F(x)右连续，可得
a 1

a b 0 可得a=1，b=-1.
某地区某一时刻的气温；
进行气象观测时的测量误差；
某人每天使用移动支付的次数；
抽查10个产品其中的次品数；
……
5
第2章
随机变量及其分布
2、有些试验结果看起来与数值无关，但我们可以引
进变量来表示它的各种结果，即把试验结果数量化.
例2 检测一件产品可能出现的两个结果，可以用一个
离散变量来描述
解
1, 次品
14
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
随机变量的分类
随
机
变
量
离散型 注 所有取值可以一一列举
非离散型
连续型 注 取值充满某个区间
概率可用积分体现
其他类型
15
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
随机变量的统计规律
无论是离散型随机变量， 还是连续型随机变量以及其
他类型的随机变量， 都需要一种统一的描述工具.
x
b
] a ，即 a 1.
1 F () lim F ( x) lim [a
2
x
x
(1 x)
又因为F(x)是右连续的，即 lim F ( x) a b c ，故 b 1.
x 0
因此， 常数a，b，c的值分别为1，-1和0.
22
22
第2章
随机变量及其分布
例1
某品牌电脑的使用寿命；
自动取款机的排队时间；
某地区某一时刻的气温；
进行气象观测时的测量误差等.
上述随机试验的结果是某一个范围内的数值
，其概率无法用第1章的知识求解. 那么用
什么方法来研究这类随机试验呢？
33
第2章
随机变量及其分布
用什么方法克服上述缺陷？
随机变量
为X的分布函数.
X x
x

如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)
的值就表示X落在区间 (, x] 的概率.
18
第2章
02 分布函数
随机变量及其分布
用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：
P{a X b} P{ X b} P{ X a} F (b) F (a )
用 X 表示其中的次品数，求其分布律和分布函数.
X
0
1
2
P
7
15
7
15
1
15
超几何公式
C2k C82 k
P( X k )
, k 0,1, 2
3
C10
34
第2章
随机变量及其分布
02 离散型随机变量的概率分布
超几何分布
例4 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，现从中任取 n
件，用 X 表示其中的次品数，求其分布律.
1 e 3 x ,
F ( x)
0,
x0
x0
21
第2章
02 分布函数
随机变量及其分布
b

,x 0
a
2
(1 x)
例4 设随机变量X的分布函数为 F ( x)
c, x 0

求常数a，b，c的值？
解 根据分布函数F(x)的三条基本性质，可得：
0 F () lim F ( x) c ，即 c 0.
第2章
02 分布函
例5 在半径为R，
的长度，求X的分布函数：
解 球X的分布函数F(x)=P{X≤x}表示点P落入以O为球
心、 x为半径的球内的概率.
由几何概率模型可以求得：
4 3
x
当 x 0 时， F ( x) 0； 当 0 x R 时，F ( x) 3
因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特
性就可以得到全面的描述.
结论
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以
用数学分析的工具来研究随机变量.
19
第2章
02 分布函数
随机变量及其分布
分布函数的性质
(1) F(x)单调不减，即 x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
则称 X 为离散型随机变量.
29
本讲内容
01
离散型随机变量
02
离散型随机变量的概率分布
第2章
02 离散型随机变量的概率分布
随机变量及其分布
离散型随机变量的概率分布
定义 设X为离散型随机变量，X所有可能的取值为
xi , i 1, 2,3,... ，称 P{ X xi } pi , i 1, 2,3,...
对一个样本空间，当建立了随机变量后， 我们感兴趣
的随机变量落在某区间或等于某特定值的概率. 为此
给出分布函数的概念.
16
本章内容
01
随机变量
02 分布函数
第2章
02 分布函数
随机变量及其分布
分布函数
设X为随机变量， x是任意实数，称函数
F ( x) P{ X x}, x
{某天1次也没有使用} { X 0}
13
01 随机变量
第2章
随机变量及其分布
随机变量通常用
X,Y,Z 或 , ,等表示
随机事件可以通过随机
变量的关系式表达出来
例2 某品牌电脑的使用寿命——随机变量Y
{电脑的寿命大于2万小时} {Y 20000}
{电脑的寿命最多10万小时} {Y 100000}
我们发现，在实际问题中，随机事件与实数之间存在着
某种客观联系，即随机试验的结果可以用数量来表示.
为更好地揭示随机现象的规律性并利用高等数学工具描
述其规律，有必要引入随机变量来描述随机试验的不同
结果.
4
第2章
随机变量及其分布
1、有些试验结果本身与数值有关
例1
某品牌电脑的使用寿命；
自动取款机的排队时间；
为随机变量X的概率分布，也称为分布律或分布列．
概率分布也可以用表格的形式表示：
X
x1
x2
P
p1
p2
…
…
xi
pi
…
…
x1
p
1
x2 ... xi ...

p2 ... pi ...
31
第2章
02 离散型随机变量的概率分布
随机变量及其分布
分布律的性质
注 用性质可以判断是否为分布律.
36
第2章
02
随机变量及其分布
离散型随机变量的概率分布
解
F ( x) P{ X x}
0
x0
7
0 x 1
15
7 7

1 x 2
15 15
x2
1
37
第2章
随机变量及其分布
02 离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量 F( x) 是分段阶梯函数,
F( x)
在 xk 处发生间断, 在间断点处有跃度 pk .
1
•
•
o•
0
•
o
o
•
1
•
2
x
38
第2章
02 离散型随机变量的概率分布
随机变量及其分布
X
0
1
2
P
7
15
7
15
1
15
F ( x)
0
x0
7
0 x 1
15
7 7

1 x 2
15 15
x2
1
39
第2章
02 离散型随机变量的概率分布
随机变量及其分布
8
P{ X 1} P{ X 2}
10
5
1 1
P{ X 5} 1 P{ X 5} 1 F (5) 1
2 2
24
第2章
02 分布函数
随机变量及其分布
用分布函数表示概率
P{a X b} F (b) F (a )
P{ X a} 1 P{ X a} 1 F (a)
15
8
F (2) F (0)
15
14
P{ X 1} P{ X 0}
15
14
F (2 0) F (0 0)
k
M
nk
N M
n
N
C C
P{ X k}
C
, k 0,1, 2,
, l.
l min( M , n)
35
第2章
随机变量及其分布
02 离散型随机变量的概率分布
例3 设有10件产品，其中有2件次品，现从中任取3件，
用X表示其中的次品数，求其分布律和分布函数.
X
0
1
2
P
7
15
7
15
1
15
第2章 随机变量及其分布
第2讲 离散型随机变量及其概率分布
本讲内容
01
离散型随机变量
02
离散型随机变量的概率分布
01
第2章
离散型随机变量
随机变量及其分布
离散型随机变量
例1
抽查10个产品其中的次品数；
某机场候机室中一天的旅客数量;
某人每天使用移动支付的次数；
……
定义
若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个,
随机变量及其分布
预备知识——高等数学（微积分）
极限 F () lim F ( x) 1
x
积分 P a X b

b
a
导数 F ( x) f ( x)

f ( x )dx
级数
k
k!
e
k 0
88
概率论与数理统计（慕课版）
第2章 随机变量及其分布
第1讲 随机变量与分布函数
概率论与数理统计（慕课版）
第2章 随机变量及其分布
本章导学
第2章
随机变量及其分布
在第1章中，我们研究了随机事件的概念及其概率的
计算，当时对于随机事件， 主要运用了语言描述的方
法来表示.
这种方法存在缺陷：
1.只考虑了随机试验中个别事件的概率，没有从整体
上把握随机现象的统计规律， 具有一定的局限性；
2.没有摆脱初等数学的范畴.
P{ X a} ?
P{a X b} ?
P{a X b} ?
离散型
连续型
P{a X b} ?
25
第一讲
随机变量与分布函数
知识点解读—随机变量与分布函数
重点：理解随机变量的概念，理解分布函数的概
念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概
率.
26
概率论与数理统计（慕课版）