湖北省2020-2021学年高一下学期7月期末数学试题(含答案)

机密★启用前
2021年7月湖北省高一统一调研测试
数学试卷
本试卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
3i
6i
-=（ ） A.63i -+
B.63i --
C.63i +
D.63i -
2.在由编号为00，01，02，…，39的40个个体组成的总体中，利用如下的随机数表从第1行第11列开始横向依次选取5个个体组成样本，则选取的第5个个体编号为（ ） 7 8 1 6 6 5 7 2 0 8 0 2 6 3 1 4 0 7 0 2 3 2 0 4 9 2 4 3 4 9 3 5 8 2 0 0 3 6 2 3 2 9 7 6 3 4 1 3 2 4 8 1 4 2 4 1 2 4 2 4 A.14
B.02
C.32
D.04
3.已知向量()1,a m =，()2,4b =，若//a b ，则a b =+（ ）
A.3 C.4.新产业工人是推进我国工业化、城镇化发展的主力军，为经济发展做出了重要贡献，近年来国家愈加重视新产业工人群体，出台了各种政策保障新产业工人的合法权益.下图是国家统计局发布的2016-2020年新产业工人规模及增速统计图，则下列说法错误的是（ ）
A.2020年全国新产业工人总量28560万人，规模约为上年的98.2%
B.2017年全国新产业工人增速最大，为1.7%.
C.2016-2019年全国新产业工人总量逐年增加
D.2016-2020年全国新产业工人增速逐年增长
5.设α，β为空间内两个不同的平面，l 为空间内的一条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A.若//αβ，l β⊥，则//l α B.若//l α，αβ⊥则l β⊥ C.若l β⊥，αβ⊥，则//l α
D.若//l α，l β⊥，则αβ⊥
6.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6
C π
=，a =c =ABC △的面积
为（ ）
B. C.
4
D.
2
7.已知a ，b 是不共线的向量，7MN a b =+，22PN a b λ=-，PQ a b =+，若M ，N ，Q 三点共线，则实数λ的值为（ ） A.10-
B.10
C.5-
D.5
8.某宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示.为了测量宝塔的高度CD ，某数学兴趣小组在宝塔
附近选择楼房AB 作为参照物，楼房高为)
10
1m ，在楼顶A 处测得地面点M 处的俯角为15︒，宝塔顶
端C 处的仰角为30︒，在M 处测得宝塔顶端C 处的仰角为60︒，其中B ，M ，D 在一条直线上，则该宝塔的高度CD =（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9.下列叙述正确的是（ ）
A.抽样调查具有花费少、效率高的特点
B.数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9
C.数据8，9，12，13，15，16，18，20的25%分位数为10.5
D.若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x ，则平均数和方差都发生变化 10.下列命题是真命题的是（ ）
A.若复数()i ,z m n m n =+∈R 为纯虚数，则0m ≠，0n ≠
B.若复数()i ,z m n m n =+∈R 为虚数，则0n ≠
C.若复数1i z =--，则z 对应的平面向量为()1,1OZ =--
D.若复数z 满足2
z ∈R ，则z 的实部与虚部至少有一个为0
11.已知平面四边形ABCD ，O 是ABCD 所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（ ） A.若AB DC =，则ABCD 是平行四边形 B.若AB AD AB AD +=-，则ABCD 是矩形
C.若2OA OB OA OB OC -=+-，则ABC △为直角三角形
D.若动点P 满足()0sin sin AB AC OP OA m m AB ABC AC ACB ∠∠⎛⎫
⎪=++> ⎪⎝⎭
，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心
12.如图1，正方形ABCD 的边长为2，点E 为CD 的中点，将DAE △沿AE 所在直线进行翻折，得到四棱锥
S ABCE -，如图2，则在翻折的过程中，下列命题正确的是（ ）
图1
图2
A.点S 在某个圆上运动
B.存在某一翻折位置使得//AE 平面SBC
C.存在某一翻折位置使得SA ⊥平面SBC
D.当二面角S AE B --的平面角为
23
π
时，四棱锥S ABCE -
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知某工厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的螺帽，且这三种型号螺帽的周产量之比为2:4:5，现在用分层抽样的方法从某周生产的螺帽中抽取若干个进行质量检查，若抽取Ⅲ型号螺帽25个，则这三种型号螺帽共抽取的个数为 .
14.利用斜二测画法得到ABC △的直观图为A B C '''△，若//A B y '''轴，//B C x '''轴，1A B B C ''''==，则
ABC △的面积为 .
15.已知圆柱的高为2，侧面积为4π，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为 . 16.已知点M 是边长为4的正方形ABCD 内部（包括边界）的一动点，点P 是边CD 的中点，则MP MB -的最大值是 ；()
MP MA MB ⋅+的最小值是 .（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
质检员为了检测某批1000件产品的质量，随机抽取了100件，检测这些产品的质量指标值（单位：g ），依据检测结果将质量指标值按[)75,85，[)85,95，[)95,105，[)105,115，[]115,125分组，得到如下的频率分布直方图.
（1）求这100件产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）已知质量指标值在区间[)85,115内的为合格品，之外的为不合格品，一件合格品能获利50元，一件不合格品损失30元，试估计这批产品能获利多少元?
18.（本小题满分12分）
已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且2
86z i =+，z 是z 的共轭复数. （1）求复数z ； （2）若232z
m z
-++
<-+，求实数m 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2BC =，BE CE ==
（1）若平面CDE ⋂平面ABE l =，证明：//AB l ； （2）若AC BD ⊥，且四棱锥E ABCD -的体积为
4
3
，求四棱锥E ABCD -的侧面积.
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱台AEB DFC -中，上底面AEB 为等腰直角三角形，AE EB ⊥，AE EF ⊥，EF FC ⊥，M
在DF 上，1
12
DM MF AE EF ====. （1）证明：平面ABM ⊥平面DFC ；
（2）求点D 到平面BMC 的距离.
21.（本小题满分12分）
如图，ABC △中，2AB =，BC =4
ABC π
∠=
，BA a =，BC b =，点D ，E 满足BD BC λ=，
CE CA λ=，()0,1λ∈，AD 与BE 交于点M .
（1）当1
2
λ=
时，请用a ，b 表示向量AM ，并求AM AB ⋅的值； （2）用a ，b 表示向量BM .
22.（本小题满分12分）
在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且111
tan tan tan B C A
+=
. （1）求cos A 的最小值；
（2）记ABC △的面积为S ，点P 是ABC △内一点，且PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，证明：
①222
4tan S
A b c a
=+-； ②tan 2tan A θ=.
2021年7月湖北省高一统一调研测试
数学参考答案
1.【答案】B 【解析】
()()()
()36i i 36i 63i 63i i i i -⋅--==-+=--⋅-，故选B.
2.【答案】D
【解析】依据选取规则可得选取的5个样本编号为：02，14，07，32，04，所以选取的第5个个体编号为04，故选D. 3.【答案】C
【解析】因为//a b ，所以1420m ⨯-=，解得2m =，所以()3,6a b +=
，所以a b +==故选C. 4.【答案】D
【解析】由统计图易知选项A ，B ，C 均正确，D 项错误，2016-2020年全国新产业工人增速有增有减.故选D. 5.【答案】D
【解析】直线l 垂直于两平行平面α，β中的β，则l α⊥，故A 不正确；//l α，αβ⊥，则l ，β的位置关系不能确定，可能//l β，故B 不正确；l β⊥，αβ⊥，则l ，α的位置关系不确定，可能l α⊂，故C 不正确；由//l α可知在平面α内可作l '使得//l l '，则l β'⊥，从而αβ⊥，故D 正确. 6.【答案】A 【解析】因为6
C π
=
，a =
c =
所以由余弦定理可得
2
2
2cos
6
b π
=+-，解得4
b =或1b =-（舍去），所以ABC △
的面积为11sin 4sin 226
ab B π
=⨯=. 7.【答案】A
【解析】由22PN a b λ=-，PQ a b =+，可得()22213QN PN PQ a b a b a b λλ=-=---=--，因为
M ，N ，Q 三点共线，所以//MN QN ，所以存在唯一的实数k ，使得MN kQN =，即()7213a b k a kb λ+=--，所以()21731
k k λ⎧-=⎨
-=⎩，解得1
3k =-，10λ=-.故选A. l-3k=1 8.【答案】C
【解析】因为(
)sin15sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304
︒=︒-︒=︒︒-︒︒=
且)
101m AB =，
所以
)
101sin15AB
AM =
==︒
.在AMC △中，易知30ACM ∠=︒
，由正弦定理可得
sin 45240m 1sin 302
AM CM ︒
=
=
=︒
，故sin 6040CD CM =︒==.
9.【答案】AC
【解析】由于抽样调查只抽取一部分个体进行调查，所以A 正确；因为数据2，3，9，5，3，9的中位数为
35
42
+=，所以B 错误；由于825%2⨯=，所以该组数据的25%分位数是第2项与第3项数据的平均数，即为10.5，故C 正确；若将一组数据中的每个数都加上相同的一个正数x ，则易知平均数增加x ，方差是不变化
的，故D 错误.综上，选AC. 10.【答案】BCD
【解析】因为复数i z m n =+为纯虚数，所以0m =，0n ≠，所以A 是假命题；因为复数i z m n =+为虚数，所以0n ≠，故B 为真命题；由复数与平面向量一一对应可知命题C 为真命题；设i z a b =+，则由
2222i z a b ab =-+∈R ，可得0ab =，所以z 的实部与虚部至少有一个为0，故D 为真命题.
11.【答案】ACD
【解析】由AB DC =，可得四边形ABCD 有一组对边平行且相等，故ABCD 是平行四边形，所以A 正确；由AB AD AB AD +=-，平方可得0AB AD ⋅=，即AB AD ⊥，但ABCD 不一定是矩形，所以B 错误；由2OA OB OA OB OC -=+-，可得BA OA OC OB OC =-+-，即BA CA CB =+，所以ABC △为直角三角形，所以C 正确；作AE BC ⊥于E ，由于sin sin AB B AC C AE ==，所以
()sin sin AB AC m OP OA m OA AB AC AB ABC AC ACB AE ∠∠⎛⎫ ⎪=++=++ ⎪⎝⎭
，即()
m AP AB AC AE =+，故P 的轨迹一定通过ABC △的重心，所以D 正确.综上选ACD.
12.【答案】AD
【解析】过点D 作DH AE ⊥，垂足为H ，延长交BC 于点N ，在翻折过程中始终有SH AE ⊥，NH AE ⊥，所以点S 在以H 为圆心，SH 为半径的圆上运动，故A 正确；四边形ABCE 为梯形，所以AE 与BC 必然相交于一点，即AE 与平面SBC 相交，故B 错误；设SA ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，所以SA SC ⊥，又
SA SE ⊥，SE SC S ⋂=，所以SA ⊥平面
SCE ，所以平面//SCE 平面SBC ，这与平面SBC ⋂平面SCE SC =矛盾，故假设不成立，即C 错误；
由二面角的定义可知二面角S AE B --
的平面角为SHN ∠，
即
23SHN π∠=
，所以其补角为3π
，由正方形ABCD 的边长为2，易得DH SH ==，所以S ABCE -的高为sin
3
25SH π
=
=
.故选AD. 13.【答案】55
【解析】由题意可得抽取Ⅰ，Ⅱ两种型号的螺帽个数分别为225105⨯=，4
25205
⨯=，所以这三种型号螺帽共抽取的个数为10202555++=. 14.【答案】1
【解析】由斜二测画法规则可知AB BC ⊥，2AB =，1BC =，所以ABC △的面积为
1
1212
⨯⨯=.
15.【答案】
3
【解析】设圆柱的底面圆半径为r ，球的半径为R ，故圆柱侧面积224r ππ⨯=，解得1r =，所以
R ==343R π=.
16.【答案】 8-
【解析】25MP MB MP MB BP -≤-==当点M 与点B 重合时等号成立；取AB 中点Q ，连接PQ ，取PQ 的中点为N ，连接MN ，则()()
22
MP MQ MN NP MN NQ MN PN ⋅=+⋅+=- .又因为点M 为正方
形
ABCD
内部（包
括
边界
）一动点，所以
()
()()2
2
2
22248
MP MA MB MP MQ MN PN
MN ⋅+=⋅=-=-≥-，当点M 与点N 重合时，取得最小
值8-.故第一空答案为8-.
17.解：（1）由频率分布直方图，估计这种产品质量指标值的平均数为
800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）由题意得合格产品所占比例的估计值为0.260.380.220.86++=，
所以估计这批产品能获利10000.865010000.143043000420038800⨯⨯-⨯⨯=-=（元）. 18.解：（1）由题意可设复数i z a b =+，其中0a >，0b >， 则2
2
2
2i 86i z a b ab =-+=+，
所以22826a b ab ⎧-=⎨=⎩
，解得31a b =⎧⎨=⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）.
所以3i z =+.
（2）由3i z =+可得3i z =-，
所以()()1i i 223i 1i 1i 223i 1i 1i i i
z z --+-+--=====--+-++++，
于是232z
m z
-++
<-+可化为i 3m -<3，
解得m -<<m 的取值范围是(-. 19.（1）证明：因为底面ABCD 是矩形，所以//AB DC ，
又AB ⊄平面CDE ，且CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ， 因为AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ⋂平面CDE l =，所以//AB l . （2）解：因为AC BD ⊥，所以矩形ABCD 为正方形，
因为2BC =，BE CE ==
BCE △是等腰直角三角形，
设BC 边上的高为h ，则1h =，设四棱锥E ABCD -的高为h '， 因为四棱锥E ABCD -的体积为
43，所以14
2233
h ⨯⨯'=，即1h '=，故1h h '==， 所以侧面BCE ⊥底面ABCD ，
而AB BC ⊥，所以AB BE ⊥，所以AE ==，
同理DC CE ⊥，DE =
.
ADE △中，易得AD
于是四棱锥E ABCD -的侧面积为
111
2221222
⨯+⨯=. 20.（1）证明：因为三棱台AEB DFC -中，AE EF ⊥，所以MF EF ⊥，
因为MF AE =，所以//AM EF ，所以AM DF ⊥. 又EF FC ⊥，所以AM FC ⊥，
而DF FC F ⋂=，所以AM ⊥平面DFC .
又AM ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面DFC .
（2）解：由题意可得2AM =，AB =，1DM =，由（1）中可知AM AB ⊥，
所以在Rt MAB △中，MB =
=
=
因为三棱台AEB DFC -中，AE EB ⊥，所以DF FC ⊥，
所以在Rt MFC △中，CM ==
由B 作FC 的垂线，易得BC =，在等腰CMB △中，易得边MB 上的高为2
. 设点D 到平面BMC 的距离为d ，
则D BMC B DMC V V --=三棱雉三棱雉，即11111223232
d ⨯=⨯⨯⨯⨯，
解得d = 21.解：（1）当12
λ=
时，点D ，E 是BC ，AC 的中点，所以点M 是ABC △的重心. 易知12AD BD BA a b =-=-+， 所以2212133233
AM AD a b a b ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭.
又因为2AB =，BC =，4B π
=，
所以cos ,26a b a b a b ⋅==⨯=， 所以()
222121212263333333AM AB a b a a a b ⎛⎫⋅=-+⋅-=-⋅=⨯-⨯= ⎪⎝⎭. （2）因为BD BC λ=，所以AD BD BA b a λ=-=-.
因为CA BA BC a b =-=-，且CE CA λ=，
所以()()1BE BC CE b CA b a b a b λλλλ=+=+=+-=+-.
设()
AM xAD x b a x b xa λλ==-=-， ()()11BM yBE y a b y a y b λλλλ⎡⎤==+-=+-⎣⎦，
注意到()1BM BA AM a x b xa x a x b λλ=+=+-=-+， 于是可得()()11y a y b x a x b λλλ+-=-+，
所以()11y x y x λλλ=-⎧⎨-=⎩
，解得211x λλλ-=-+，21y λλλ=-+， 所以()22
22111
BM y a y b a b λλλλλλλλλ-=+-=+-+-+. 22.（1）解：因为111tan tan tan B C A +=，所以cos cos cos sin sin sin B C A B C A
+=， 所以2cos sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin B C B C A A A B C B C
+==，
由正弦定理可得2
cos a A bc
=， 而由余弦定理得2222
cos 2b c a a A bc bc
+-==， 所以222
3a b c =+. 因为22
22
2223cos 233
b c b c b c A bc bc ++-+==≥，当且仅当b c =时，等号成立， 所以cos A 的最小值为23. （2）证明：设PA x =，PB y =，PC z =，PAB △，PBC △，PCA △的面积分别为1S ，2S ，3S ， ①因为222
cos 2b c a A bc
+-=， 所以222
2cos bc A b c a =+-， 而1sin 2
S bc A =
， 所以222sin 2sin 4tan cos 2cos A bc A S A A bc A b c a ===+-. ②由（1）中可得222
3a b c =+， 所以222242tan S S A b c a a
=
=+-， 在PAB △，PBC △，PCA △中，同理可得： 312222222222
444tan S S S c x y a y z b z x θ===+-+-+-， 所以()22214tan S c x y θ=+-，()22224tan S a y z θ=+-，()22234tan S b z x θ=+-，
所以()()222212344tan 4tan S S S S a b c a θθ=++=++=， 即2
tan S a θ=， 所以tan 2tan A θ=.。