线性代数第三章

11 + 22 + …+ ss = 0
与 1 ， 2 ，…， s 线性无关矛盾,故
1 s1
1
s
2
1
2 s s 1 s
即 β 可以由1 ， 2 ，…， s的线性表示. 若存在1，2，… ，s和 t1，t2，… ，ts
使得 β = 11 + 22 + …+ ss
= t11 + t22 + …+ tss 则11 + 22 + …+ ss ＝ t11 + t22 + …+ tss
(1) , V， 有 + V (2) V ，k R， 有 k V
则称 V 是一个向量空间.
例1 (1) 全体 n 维向量构成一个向量空间，称 为 n维向量空间：记作 Rn ;
(2) V = {0}，由于 0 + 0 = 0，k·0 = 0， V = {0} 构成一个向量空间，称为零空间.
3. 线性方程组Ax=0的解集合S构成一个向量空
p73li7
间,其中A为已知m×n矩阵,x为n维未知列向量.
首先S非空,由于齐次线性方程组总有0解.
另外, x,yS,kR,由Ax=0,Ay=0,有
A(x+y)=Ax+Ay=0, A(kx)=0 从而S关于加法和数乘封闭,故S构成一个向量空间.
解空间
11 + 22 + …+ mm = 0
不妨设 m 0，则
m m1
1
2 m
2 mm 1 m 1
即: m是1 ， 2 ，…， m－1的线性组合.
充分性：
设 m 是其余向量的线性组合，即存在 数1，2，… ，m－1 ，使得
m = 11 + 22 + …+ m－1m－1 有 11 + 22 + …+ m-1m－1 + (－1) m ＝ 0
（3）向量组中的任一向量可由这组向量线性表 示（表出）。
定义2:设1,2，…,m 是m个n维向量,若存在 m 个 不全为0的数1,2,… ,m，使得
11 + 22 + …+ mm = 0
则称向量组1 ， 2 ，…， m 线性相关，
否则，称它们线性无关.
注：1 ， 2 ，…， m 线性无关，即
11 + 22 + …+ mm = 0
定理3:若s个向量1，2 ，…，s 向量线性无关,
p75
而s+1个向量1，2 ，…，s ,β向量线性
相关，则 向量β可以由向量组
1，2 ，…，s
线性表示,且表示法唯一.
证：设1 ， 2 ，…， s , β 线性相关,则存在一组不 全为零的数1，2，… ，s+1 ,使得
11 + 22 + …+ ss + s+1 β = 0 若 s+1 =0，则
( k 11 k 22 k m m )
(k 1 )1 (k 2 )2 (k m )m L
L 是一个向量空间
完
1. 对于向量 1, 2, ,m R n则
L { k 1 1 k 2 2 k m m |k i R i 1 , 2 , , m }
称为由 1, 2, … , m 生成的向量空间，记为 L (1, 2, … , m )
也不是一个向量空间
定义5设V是一个向量空间,V1 V,若V1也是一
个向量空间(即对向量的线性运算封闭),则 称 V1 是 V 的一个子空间.
一个向量空间 V 至少有两个子空间： V 及零子空间 {0},称为平凡子空间.
例2 设 1, 2, ,mRn
L { k 1 1 k 2 2 k m m |k i R i 1 , 2 , , m }
4. 设W1,W2是向量空间V的两个子空间,则V的子
p73li6
集 {|W 1且 W 2}W1W2 和
{ | 1 2 ,其 1 W 1 中 ,2 W 2 } W1W2
都是向量空间V的子空间.
完
第二节 线性相关性
学习要求 线性相关与无关 向量组线性相关性与矩阵的秩 向量组线性的极大无关组与秩
定义3 设 V 是 n 维向量的集合,如果
(1) , V,有 + V,称集合
(2) (3)V 关于向量的加法封闭.
(2) V ，k R,有 k V,称集合V
(3)关于向量的数乘封闭.
向量空间的定义
定义4 设 V 是 n 维向量的非空集合,如果 V 对向量 的两种运算封闭,即 V 满足:
证明：L 构成一个向量空间.
证： , L， R
k 11 k 22 k mm
k 1 1 k 2 2 k m m
( k 1 1 k 2 2 k m m ) ( k 1 1 k 2 2 k m m )
( k 1 k 1 )1 ( k 2 k 2 )2 ( k m k m )m L
的线性相关性相同。
向量组的等价
如果向量组 1,2,,s 中任一向量都可由向量组 1,2, ,t 线性表示，则称向量组 1,2,,s
可由向量组 1,2, ,t 线性表示。
注：如果两个向量组可以互相线性表示，则称它 们等价。
（1）反身性 （2）对称性 （3）传递性
练习 设向量组 1,2, ,n
若前n-1个向量线性相关，后n-1向量线 性无关 ，则
从而(1-t1 )1 + (2-t2 )2 + …+ (s- ts )s ＝0
也有
11 + 22 + …+ rr = 0
11 + 22 + …+ rr + 0·r+1 + … + 0·m = 0
1，2，… ，r , 0, …, 0 不全为0
故 1 ， 2 ，…， m 线性相关
完
推论1： 包含零向量的向量组一定线性相关.
推论2： 若m个向量1 ， 2 ，…， m 线性无关，
则其中任一部分也线性无关. (整体无关 部分无关)
故 1 ， 2 ，…， m线性相关
完
推论： 两个非零向量1 ,2 线性相关 1 = k2,(其中 k 0) 即1 ,2 对应坐标成比例.
定理2： 若m个向量1 ， 2 ，…， m 中有一部分 p75 向量线性相关，则这m个向量也线性相关.
(部分相关
整体相关)
证：不妨设前 r 个向量 1 ， 2 ，…， r 线性相关， 即存在不全为0的数 1，2，… ，r ，使得
结束
在三维的空间解析几何中,我们学习了两个向量共 线和三个向量共面的概念.把这些概念推广一下， 就是我们这章里重要的概念----线性相关与线性无 关.
一、线性相关与无关
定义1 :对于 m+1 个 n 维向量1 ， 2 ，…， m
p74
和 ，若存在m个数1,2,… ,m ,使得：
= 11 + 22 + …+ mm 则称向量 能用向量组1 ， 2 ，…， m线性 表示 ，或称是1,2 ,…,m 的线性组合,1， 2，… ,m 称为组合系数.
1 = 2 = … = m= 0
例1 设1 = (1, 1, 1)，2 = (1, 2, 3)，3 = (1, 3, 6) 讨
论其线性相关性.
解:设有一组数 1，2，3 使 11 + 22 + 33 = 0
即( 1+ 2 + 3 , 1+ 22 + 33 , 1+ 32 + 63 )
= (0, 0, 0)
(1)加法： + = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn) (2)数乘： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称 为向量的线性运算.
向量的线性运算满足八条运算律
设 、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量， k、 l 是任意实数.
其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
的第 i 个分量或坐标.
零向量 0 = ( 0, 0, … , 0 )
负向量 对 = ( a1, a2, … an ) 称 ( －a1, －a2, …, －an ) 为 的负向量.记为－ .
－ = (－a1, －a2, …, －an )
1 －22 = 0
解得：
3 = －1
2
1 2
1
取 1= 2 , 得非零解
1= 2， 2 = 1, 3 = －2 所以，向量组1, 2 , 3 线性相关.
完
练习 判断下列向量组的线性相关性 (1)112, 2 23, 3 31.
(2)112, 2 23, 3 31.
注： （1）线性相关
(2)1,2,3 的线性相关性与 1,2,3
(3) V1 = { ( 0, a2, … , an ) | ai R, i = 2, 3, … n } 是一个向量空间,且V1 Rn,称为 Rn 的一个 子空间.
完
(4) V2 = { ( 1, a2, … , an ) | ai R, i = 2, 3, … n } 不是一个向量空间。
(5 )V 3 { a ,a (2 ,a 3 , ,a n )|a R }
(1 ) 1 可由 2,3, ,n1 线性表示。
( 2 ) n 不能由 1,2, ,n1 线性表示。
定理1 向量组1 ， 2 ，…， m ( m 2 ) 线性相关
该向量组中至少有一个向量是其余 m－1个向量的线性组合.
p75
证：必要性
设1 ， 2 ，…， m 线性相关，则存在一组不 全为零的数1，2，… ，m ，使得
(1) + ＝ + (2) ( + ) + ＝ + ( + ) (3) + 0 ＝ (4) + (－ ) ＝ 0
(5) k ( + ) ＝ k + k (6) ( k + l ) = k + l (7) ( k l ) = k ( l ) (8) 1· =
二、 向量空间
行向量 = ( a1, a2, …, an )
列向量
a1
a2
(a1,
a2 ,
,
an )T
an
规定：两个向量 = ( a1, a2, … an ), = (b 1, b 2, … b n )
相等，记 = ai = bi ( i = 1, 2, … , n)
线性运算
定义2 设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n ) 是实数
1+ 2 + 3 = 0 有: 1+ 22 + 33 = 0
1+ 32 + 63 = 0
n个方程n个 变量的方程组
因为系数行列式
11 1 | A| 1 2 3 1 0
13 6
所以方程组只有唯一的一组零解，
1= 2 = 3 ห้องสมุดไป่ตู้ 0， 故 1, 2 , 3 线性无关.
完
例2 考察 n 维向量组 1(1 ,0 ,0 , ,0 ) R n, 2(0 ,1 ,0 , ,0 ), , n(0,01 ,0, ,1),
解：设有一组数1，2，… ，n,使得
1 1 2 2 n n 0
即 ( 1, 0, … , 0 ) + ( 0, 2, … , 0 ) + … + ( 0, 0, … , n ) = (1，2，… ，n ) = 0
1= 2 = … = n = 0 所以 1,2,,n 线性无关
完
例3 讨论向量组
称 1, 2, … , m 为这个子空间的一组生成元.
特殊地 L{k|kR}L()
1
mn矩阵A1
2
n2
m
2. 对于m×n矩阵A的列向量组1, 2, … , n Rm.
称 L (1, 2, … , n )为A的列空间.记为R (A).
A的行向量组1, 2, … , m Rn，称 L (1, 2, … , m )为 A 的行空间.
向量空间是空间解析几何的推广,反过来, 三维的空间解析几何又是向量空间的生动 的图文并茂的具体化.因此学习的时候, 我们总是可以将问题具体化,以便加深我们 的理解与记忆.
一、 n 维向量的定义与运算
定义 由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量.
= ( a1, a2, … an )
1= ( 1, －1, 1), 2= ( 2, 0, －2), 3= ( 2, －1, 0)
的线性相关性.
解：设有一组数1， 2， 3 , 使 11 + 22 + 33 = 0
即 ( 1+ 22 + 23 , －1－3 , 1－22 ) = (0, 0, 0)
1+ 22 + 23 = 0 有 －1 －3 = 0
(1) 1= ( 1, 0, －1) , 2= (0, 3, 4), (1,6,7)
则 122
(2 ) 1 (1 ,0 ,0 , ,0 ) R n , 2(0 ,1 ,0 , ,0 ) R n,
,n (0 ,0 ,0 , ,1 ) R n , 则
( a 1 ,a 2 , ,a n ) a 1 1 a 2 2 a n n