【精品】高三人教A版数学一轮复习练习：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节(1)

第四章 第2节
[基础训练组]
一、选择题
1．(导学号14577385)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →
，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →
等于( )
A ．(－2,7)
B ．(－6,21)
C ．(2，－7)
D ．(6，－21)
解析：B [BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →
＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．]
2．(导学号14577386)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，1
2x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )
A ．4
B ．8
C ．0
D ．2
解析：A [a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，1
2x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，故有⎝⎛⎭
⎫8－2x ，1
2x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
8－2x ＝λ(16＋x )，12
x －2＝λ(x ＋1)⇒x ＝4(x ＞0)．]
3．(导学号14577387)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
解析：D [设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．]
4．(导学号14577388)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →
，则λμ＝( )
A ．－3
B ．3
C ．－4
D ．4
解析：A [建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →
＝(1,0)，
由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，μ＝3，
所以λμ＝－3.故选A.]
5．(导学号14577389)(2017·高考全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →
，则λ＋μ 的最大值为( )
A ．3
B ．2 2 C. 5
D ．2
解析：A [如图，建立平面直角坐标系
设A (0,1)，B (0,0)，D (2,1)，P (x ，y ) 根据等面积公式可得圆的半径是
25
，即圆的方程是(x －2)2＋y 2＝45
AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z
＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14
＋1≤2
5
，解得
1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故选A.]
6．(导学号14577390)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝ _______ .
解析：因为向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，所以12＝－2m ，解得m ＝－6. 答案：－6
7．(导学号14577391)已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，
则实数a ＝ ________ .
解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →
＝(1－x,4－y ) .
∵AC →＝2CB →
，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )y －1＝2(4－y )，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝3.
∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝1
2ax 上，
∴3＝12a ·3，∴a ＝2.
答案：2
8．(导学号14577392)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝ ________ .
解析：因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 所以a 2
＋b 2
－c 2
＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
，
结合余弦定理知，cos C ＝1
2，又0°<C <180°，∴C ＝60°.
答案：60°
9．(导学号14577393)如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →
； (2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →
.
由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →
. ∴OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ，
DC →＝OC →－OD →
＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .
(2)如题图，EC →∥DC →
.
又∵EC →＝OC →－OE →
＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →
＝2a －53b ，
∴
2－λ2＝－1－53
，∴λ＝4
5
. 10．(导学号14577394)(2018·郴州市一模)在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，c cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .
(1)求角A 的大小；
(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π
3－2B 的值域． 解：(1)由m ∥n ，得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，
∴(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0,2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin (A ＋C ) ＝sin (π－B )＝sin B .
在锐角三角形ABC 中，sin B ＞0， ∴cos A ＝12，故有A ＝π
3
.
(2)在锐角三角形ABC 中，∠A ＝π3，故π6<B <π
2
，
∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋32sin 2B －1
2 cos 2B ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2B －π
6. ∵π6<B <π2，∴π6<2B －π6<5π
6， ∴12<sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6≤1，3
2
<y ≤2， ∴函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域为⎝⎛⎦
⎤3
2，2. [能力提升组]
11．(导学号14577395)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，12
B.⎝⎛⎭⎫0，1
3 C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 D.⎝⎛⎭
⎫－1
3，0 解析：D [依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC
→
－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.
又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →
不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－1
3，0.] 12．(导学号14577396)(理科)(2018·湘潭市三模)在直角梯形 ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 中点为P (如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值是( )
A.
22 B.324 C. 2
D.34
解析：B [建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，E (1,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，
所以ED →＝(－1,1)，AF →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AP →＝λED →＋μAF →
＝⎝⎛⎭⎫－λ＋32μ，λ＋12μ. 又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 中点为P ，所以，点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫
22
，22，AP →
＝⎝⎛⎭⎫22
，22，
所以－λ＋32μ＝22，λ＋12μ＝22，所以λ＝24，μ＝2
2，
所以λ＋μ＝32
4
.故选B.]
12．(导学号14577397)(文科)(2018·广安市、遂宁市、内江市、眉山市一诊)如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝( )
A ．3 B.5
2 C ．2
D ．1
解析：B [由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →
＝(－1,1)．
∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵点P 为CD 的中点，∴AP →
＝⎝⎛⎭⎫12，1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝12，μ＝1，，∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝32，μ＝1，
∴λ＋μ＝52
.故选B.]
13．(导学号14577398)(2018·郑州市一模)已知向量α，β是平面内两个互相垂直的单位向量，若(5α－2γ)·(12β－2γ)＝0，则|γ|的最大值是 ____ .
解析：设α＝(1,0)，β＝(0,1)，γ＝(x ，y )， ∴5α－2γ＝5(1,0)－2(x ，y )＝(5－2x ，－2y )， 12β－2γ＝12(0,1)－2(x ，y )＝(－2x,12－2y )． ∵(5α－2γ)·(12β－2γ)＝0， ∴－2x (5－2x )－2y (12－2y )＝0，
∴x 2－52x ＋y 2－6y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －542＋(y －3)2＝⎝⎛⎭⎫1342，∴γ在以⎝⎛⎭⎫54，3为圆心，13
4为半径的圆上，所以|γ|的最大值是
⎝⎛⎭⎫542＋32＋134＝132
.
答案：13
2
14．(导学号14577399)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →
＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝－2b ，
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →
的坐标．
解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →
＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →
＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．
又∵CN →＝ON →－OC →
＝－2b ，
∴ON →＝－2b ＋OC →
＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN →
＝(9，－18)．。