广西省北海市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

广西省北海市2021届新高考数学仿真第四次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3A
B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ．10,3A
B ⎛⎤= ⎥⎝⎦
C ．1,3
A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭
D ．(0,)A B =+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B 和A B ，分析选项即可得到答案.
【详解】
根据题意，{}215|log (31)2|
33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭
则15(0,),,33A B A B ⎛⎫
⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,
2．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．
23
π B ．
3
π C ．
6
π D ．
56
π 【答案】A 【解析】 【分析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B. 【详解】
由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin()2sin cos A A B B A ++=，即有
sin (12cos )0A B +=，因为sin 0A >，则1cos 2B =-，而(0,)B π∈，所以23
B π
=.
故选：A 【点睛】
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
3．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆy
bx a =+，则下列说法正确的是( )
A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy
bx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy
bx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,
,300i =），ˆˆi
bx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；
所有样本点都在回归直线ˆˆˆy
bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；
相关系数r 与ˆb
符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆
()()
22
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4
C ．[)2,+∞
D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆
()()
22
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．
【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212
*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则
n S =( )
A ．
()
12
n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】
由于()()()212
*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，
第二项为212114S a a +=++=，所以公比为4
22
=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A ．25
B ．4
C ．2
D ．22
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==
所以2SC DC ==， 所以
2
2
2
2
22,22SA SD
AD
SB SC
BC
=+==+=
所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
7．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记
()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．
1e
C ．
21e
D ．
3
1e 【答案】C 【解析】 【分析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论
()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫
=-+-- ⎪+⎝⎭
,
即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【详解】
由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1
'23h x m x
=
-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >
+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫
+∞
⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<
+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增.
故在123x m =
+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫
=--=-+-- ⎪
++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当2
1t e >
时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递减； 当2
10t e <<
时, ()'0k t >,()k t 在21
0,e
⎛⎫
⎪⎝⎭
递增. 故在2
1t e =
处()h t 取得极大值,为22221111
ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故(),F m n 的最大值为21e
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题. 8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤
B ．0x ∃∈R ，2
00x ≤.
C ．0x ∃∈R ，2
00x >
D ．x ∀∉R ，20x ≤.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，2
00x ≤
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
9．8
21x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240
C ．280
D ．320
【答案】C 【解析】 【分析】
首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中1x -的系数，
二者相乘即可求解. 【详解】
由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为8218
1r
r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则
7
12281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为727
1771r
r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，令3r =，则3735C =，所
以12x y -的系数是358280⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
10．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李 B ．小王
C ．小董
D ．小李
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论. 【详解】
解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”， 而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾； 若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”， 否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”， 所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾； 若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的， 则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，
所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【点睛】
本题考查推理证明的实际应用.
11．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）
A ．{}1
B ．{}1,2
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2
【答案】D
【解析】 【分析】
利用交集的定义直接计算即可. 【详解】
{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =，
故选：D. 【点睛】
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 12．复数12i
z i
=
+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
由复数除法运算求出z ，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论． 【详解】
(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i -+=
===+++-，2155z i =-，对应点为21(,)55
-，在第四象限． 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________． 【答案】
3
π
【解析】 【分析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可． 【详解】
半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为
6
π
，腰为1的等腰三角形， ∴该正十二边形的面积为121n 312i 6
1s S π
=⨯
⨯⨯⨯=，
根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为
2
33
1ππ
=⨯， 故答案为：
3π
．
【点睛】
本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.
14．已知函数()3
2
,f x ax bx cx ++＝若关于x 的不等式()0f x ＜的解集是(
)(),10,2∞⋃﹣﹣，则b c
a
+的值为_____． 【答案】3- 【解析】 【分析】
根据题意可知20ax bx c ++＝的两根为1,2-,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解b c
a
+即可. 【详解】
解：因为函数()()
3
2
2
f x ax bx cx x ax bx c =++=++,
关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),10,2-∞-⋃
20ax bx c ∴++＝的两根为：1﹣和2；
所以有：(
)12b
a +﹣=-且()12c a
⨯﹣=； b a ∴＝﹣且2c a ＝﹣；
23b c a a
a a
+--∴
==-； 故答案为：3﹣ 【点睛】
本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.
15．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.
【答案】14
- 【解析】 【分析】
根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】
解：程序的功能是计算()2log 21,02,0
x
x x y x ⎧+≤=⎨
>⎩，
若输出的实数y 的值为1-，
则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得1
4x =-，
当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14
-. 【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.
16．在矩形ABCD 中，4BC ＝，M 为BC 的中点，将ABM 和DCM △分别沿AM ，DM 翻折，使点
B 与
C 重合于点P .若150AP
D ∠︒＝，则三棱锥M PAD ﹣的外接球的表面积为_____.
【答案】68π. 【解析】 【分析】
计算ADP △外接圆的半径r ，并假设外接球的半径为R ，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，
然后根据PM ⊥面PAD ，2
2
2PM 2R r ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
即可得解. 【详解】
由题意可知，MP PA MP PD PD PA P ⊥⊥⋂，，＝， 所以可得PM ⊥面PAD ，
设ADP △外接圆的半径为r ， 由正弦定理可得
AD 2sin APD
r =∠，即
4
2sin150r =︒，4r =， 设三棱锥M PAD ﹣外接球的半径R ，
因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，
则2
2
2
PM 116172R r ⎛⎫=+=+= ⎪
⎝⎭
， 所以外接球的表面积为2468S R ππ＝＝. 故答案为：68π. 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()|1||42|f x x x =+--. （1）求不等式1
()
(1)3
f x x -的解集； （2）若函数()f x 的最大值为m ，且2(0,0)a b m a b +=>>，求21
a b
+的最小值. 【答案】（1）[1,4]（2）3 【解析】 【分析】
（1）化简得到5,1,
()33,12,5, 2.x x f x x x x x -<-⎧⎪
=--⎨⎪-+>⎩
，分类解不等式得到答案.
（2）()f x 的最大值(2)3m f ==，23(0,0)a b a b +=>>，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】
（1）5,1,()14233,12,5, 2.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪
=+--=--⎨⎪-+>⎩
因为1()(1)3f x x -，故1,15(1)3x x x <-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩或12,133(1)3x x x -⎧⎪⎨
--⎪⎩
或2,
15(1),3x x x >⎧⎪⎨-+≥-⎪⎩ 解得12x 或24x <，故不等式1
()
(1)3
f x x -的解集为[1,4]. （2）画出函数图像，根据图像可知()f x 的最大值(2)3m f ==.
因为23(0,0)a b a b +=>>，所以
211211221(2)5(225)3333
a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，故
21
a b
+的最小值是3.
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18．如图，EFGH 是矩形，ABC ∆的顶点C 在边FG 上，点A ，B 分别是EF ，GH 上的动点（EF 的长度满足需求）.设BAC α∠=，ABC β∠=，ACB γ∠=，且满足sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+.
（1）求γ；
（2）若5FC =，3CG =，求53
AC BC
+的最大值. 【答案】（1）2
π
γ=（22
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理和余弦定理化简sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+，根据勾股定理逆定理求得γ. （2）设CAF θ∠=，由此求得53
,AC BC 的表达式，利用三角函数最值的求法，求得53AC BC
+的最大值. 【详解】
（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由sin sin sin (cos cos )αβγαβ+=+，
根据正弦定理和余弦定理得22222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫
+-+-+=+ ⎪⎝⎭
.
化简整理得222+=a b c .由勾股定理逆定理得2
π
γ=.
（2）设CAF θ∠=，02
π
θ<<
，由（1）的结论知BCG θ∠=.
在Rt ACF ∆中，sin AC FC θ⋅=，由5FC =，所以5
sin AC θ=. 在Rt BCG ∆中，cos BC CG θ⋅=，由3CG =，所以3
cos BC
θ=.
所以
53sin cos 4AC BC πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝
⎭， 由
3444
π
π
π
θ<+
<
，
所以当42ππθ+=，即4π
θ=时，53AC BC
+.
【点睛】
本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识. 19．已知动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设A ，B 是轨迹C 在()0x ≥上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且3
π
αβ+=
时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）2
4y x =或()00y x =<；（2）证明见解析，定点4,3⎛- ⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）设(,)M x y ||1x =+，对x 的正负分情况讨论，从而求得动点M 的轨迹
C 的方程；
（2）设其方程为y kx b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到4
tan
3
4b k
π
=
-，所以
44
b k k =
+=，所以直线AB 的方程可表示为4y kx k =+，即(4)y k x =+，所
以直线AB 恒过定点(-．
【详解】
（1）设(),M x y ，
动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1，
()
2
211x y x ∴
-+=
+，0x ≥时，解得2
4y x =，
0x <时，解得0y =.
∴动点M 的轨迹C 的方程为24y x =或()00y x =<
（2）证明：如图，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且120x x ≠， 所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+， 将y kx b =+与2
4y x =联立消去x ，得2
440ky y b -+=，
由韦达定理知124
y y k
+=
，124b y y k =，①
显然2
114
y x =，2
224y x =，
3
π
αβ+=
，()()12124tan tan tan
tan 3
1tan tan 16y y y y π
αβαβαβ++∴=+=
=--，
将①式代入上式整理化简可得：4
tan
3
4b k
π
=
-，
所以43443
b k k =
+=+，
此时，直线AB 的方程可表示为43
4y kx k =+
+， 即()43
43
y k x =++
， 所以直线AB 恒过定点434,
3⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题． 20．联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表：
（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标x ，“需求量257-”为纵坐标y ，请完成如下数据处理表格：
（2）根据回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？
参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 12
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y
nx y b
x
nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）见解析；（2）能够满足. 【解析】 【分析】
（1）根据表中数据，结合以“年份—2014”为横坐标x ，“需求量257-”为纵坐标y 的要求即可完成表格； （2）根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断. 【详解】
（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下：
（2）由题意可知，变量y 与x 之间具有线性相关关系， 由（1）中表格可得，0=x ， 3.2y =，
()()()()()222222
4212110021942950 3.2260ˆ 6.5404202450b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-+-+++-⨯，ˆˆ 3.2b a y x =-=.由上述计算结果可知，所求回归直线方程为ˆ 6.5 3.2y
x =+， 利用回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为：
()6.520202014 3.2257299.2⨯-++=（万吨），
因为299.2300<，故能够满足该地区的粮食需求. 【点睛】
本题考查了线性回归直线的求法及预测应用，属于基础题.
21．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若
1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈ 【答案】（1）1
10（2）（i ）()1
11k
p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.
【解析】 【分析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可； （2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到
()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得
()11k
p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断
()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则()23
23
55
A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为1
10
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,
()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦
,
若()()12E E ξξ=,则()11k
k k k p =+--,则()1
1k
p k
-=
, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k
p f k k ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥）
（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k
<-, 31p =
-,1k
k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1
ln 3
f x x x =-（0x >）, 则()113
f x x '=
-,令()0f x '=,则13x =,
∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,
4
1.33333
≈, 4ln 43
∴>
, 又ln5 1.6094≈,
5
1.66673
≈, 5
ln 53
∴<,
∴k 的最大值为4 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性 22．已知函数4()1,()1()x
a f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝
⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.
（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()
()
f x y
g x =
在区间[]
4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. 【答案】（1）4y ex e =-；（2）(5,)+∞；（3）4-. 【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）2'
2
(4)340()
x
x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦
=
≥-在
[]4,5上恒成立，只需2
(4)340x
a x a -+++，注意到[4,5]a ∉；
（3）()
2440x x x e a -+-=在(0,)+∞上有两根，令()
2()44x
m x x x e a =-+-，求导可得()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0
m a m a =->⎧⎨=-<⎩且()1
2
111(0,2),44x x x x e a ∈-+=，2(2,3)x ∈，
()()11131x h x x e =--，求出()1h x 的范围即可.
【详解】
（1）因为4()1x f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以'
244()1x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，
当1x =时，'(1)3,(1)f e f e =-=，
所以切线方程为(3)(1)y e e x --=-，即4y ex e =-. （2）()(4)()x
f x x e y
g x a x -==-，2'2
(4)34()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=
-. 因为函数()()
f x y
g x =
在区间[]
4,5上单调递增，所以[4,5]a ∉，且'
0y ≥恒成立， 即2(4)340x a x a -+++，
所以224(4)43405(4)5340a a a a ⎧-+⨯++≤⎨-+⨯++≤⎩，即4
92a a ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩
，又(,4)(5,)a ∈-∞+∞，
故5a >，所以实数a 的取值范围是(5,)+∞.
（3）()2'
2
44(4)()()()(),()x x x x e a x e a x h x f x g x h x x x
-+--+-=+==. 因为函数()()()h x f x g x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点，
所以方程()'
0h x =在(0,)+∞上有两不等实根，即()
2440x
x x e a -+-=.
令()
2()44x m x x x e a =-+-，则()'2()2x
m x x x e =-，由()0m x '
>，得2x >，
所以()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，
所以(0)40(2)0
m a m a =->⎧⎨=-<⎩，解得04a <<且()1
2
111(0,2),44x x x x e a ∈-+=.
又由33(3)280m e a a a =->-=->，所以2(2,3)x ∈， 且当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()()0h x h x '
>，单调递增，
当()12,x x x ∈时，()()'
0h x h x <，单调递减，12,x x 是极值点，
此时()()()()()1
11
121111
11
111
1
444431x
x x
x x e x x e x x e a x h x x e x x -+-+--+-=
=
=--
令()(3)1((0,2))x n x x e x =--∈，则'()(2)0x n x x e =-<， 所以()n x 在()0,2上单调递减，所以()1(0)4h x h <=-. 因为()1h x m <恒成立，所以4m ≥-. 若124m -<<-，取114
m
x =-
-，则14 4m x =--， 所以()()1111343x
h x m x e x -=-++.
令()(3)43(0)x H x x e x x =-++>，则'()(2)4x H x x e =-+，''()(1)x H x x e =-. 当(0,1)x ∈时，()''
0H
x <；当(1,)x ∈+∞时，()''0H x >.
所以''min ()(1)40H x H e ==-+>，
所以()(-3)43x H x x e x =++在(0,)+∞上单调递增，所以()()00H x H >=， 即存在114
m
x =-
-使得()1h x m >，不合题意. 满足条件的m 的最小值为-4. 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为1,22,x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），在以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程是
4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.
【答案】（1）l
20y -+=，C ：()()2
2
228x y -+-=；（2
）【解析】 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】
（1）由题意可得直线l
20y -+=
，由4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，所以曲线C ：()()22
228x y -+-=.
（2）由（1）知，圆()2,2C
，半径r =∴圆心到直线l
的距离为：d =
=
∴AB ===【点睛】
本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．。