四川省射洪县2018_2019学年高一数学下学期期末能力素质监测试题文(英才班,含解析)

四川省射洪县2018-2019学年高一数学下学期期末能力素质监测试题
文（英才班，含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题，共36分）和第Ⅱ卷（非选择题，共64分）两部分。

考试时间为60分钟。

满分为100分。

第Ⅰ卷（选择题共36分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。

3、考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A. 62
23+
B. )
62
25+
C. 10
D. 12
【答案】B 【解析】 【分析】
作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积. 【详解】由三视图得知该几何体直观图如下图所示：
由直观图可知，底面ABCD 是边长为2的正方形，其面积为224=； 侧面PCD 是等腰三角形，且底边长2CD =，底边上的高为2，其面积为1
2222
⨯⨯=， 且22125PC PD =+=
侧面PAD 是直角三角形，且PDA ∠为直角，5PD =，2AD =，
其面积为1
2552
⨯=PBC PAD ∆≅∆，PBC ∆5
侧面积PAB 为等腰三角形，底边长2AB =，223PA PB PD AD ==
+=，底边上的高为
2
2
222AD h PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
1222222⨯⨯=因此，该几何体的
表面积为42552262
25++=+，故选：B.
【点睛】本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
2.已知1a =r ，3b =r
，)
3,1a b +=
r r ，则a b +r r 与a b -r r
的夹角为（ ）
A.
6
π B.
3π C.
23
π D.
56
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设a b +r r 与a b -r r
的夹角为θ，计算出()()
a b a b +-r r r r 、a b +r r 、a b -r r 的值，再利用公式
()(
)
cos a b a b
a b a b
θ+-=+⋅-r r r r r r r r 结合角θ的取值范围可求出θ的值.
【详解】设a b +r r 与a b -r r
的夹角为θ，则()()
22222132a b a b a b a b +-=-=-=-=-r r r r r r r r ，
)
a b +=r r Q ，()2314a b ∴+=+=r r ，另一方面()
222242a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅r r r r r r r r ，
0a b ∴⋅=r r
，2a b ∴+=r r ，
2a b -=
===r r ，
因此，()()
21cos 222a b a b a b a b
θ+--===-⨯+⋅-r r r r r r r r ，0θπ≤≤Q ，因此，23π
θ=，故选：C.
【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题的关键就是计算出
(
)()
a b a b +-r r r r 、a b +r r
、a b -r r 的值，考查计算能力，属于中等题.
3.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2
－z ＝0，则当z
xy
取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A. 0
B.
98
C. 2
D.
94
【答案】C 【解析】
由题得z+3xy=x 2+4y 2≥4xy(x,y,z>0), 即z≥xy,
z
xy
≥1.当且仅当x=2y 时等号成立, 则x+2y-z=2y+2y-(4y 2
-6y 2
+4y 2
) =4y-2y 2
=-2(y 2
-2y) =-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.
当y=1时,x+2y-z 有最大值2.故选C.
4.化简2222
1
sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβ+-
=（ ） A.
12
1
C.
34
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角降幂公式代入进行计算，可得出所求结果. 【
详
解
】
由
题
意
可
得
22221
sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβ
+-()()()()1cos 21cos 21cos 21cos 2cos 2cos 24
4
4
αβαβαβ
--++=+-22cos 2cos 22cos 2cos 21
42
αβαβ+-=
=，故选：A.
【点睛】本题考查二倍角降幂公式的应用，意在考查利用二倍角降幂公式在化简求值中的应用，考查计算能力，属于中等题.
5.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，26·4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则
12
12n S S S n
+++L 取最大值时，n 的值为（ ） A. 8 B. 9
C. 17
D. 8或9
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等比数列的性质求出3a 、5a 的值，可求出1a 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出
n a ，由此得出n b ，并求出数列{}n b 的前n 项和n S ，然后求出
12
12n S S S n
+++L ，利用二次函数的性质求出当
12
12n S S S n
+++L 取最大值时对应的n 值. 【详解】由题意可知35a a >，由等比数列的性质可得352635
3
55
4a a a a a a a a
+=⎧⎪
==⎨⎪>⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，
所以21414101a q a q q ⎧=⎪=⎨⎪<<⎩
，解得11612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，115111622n n n n a a q ---⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭，2log 5n n n b a ∴=-=，
则数列{}n b 为等差数列，()2
45922
n n n n n S +--∴==
， 92
n S n n -∴=，()2129417117289212244216
n n n n n S S S n n -⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭∴+++===--+ ⎪⎝⎭L ， 因此，当8n =或9时，
12
12n S S S n
+++L 取最大值，故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前n 项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.
6.已知锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2
()b a a c =+，则2sin sin()
A
B A -的
取值范围是（ ）
A. （
B. 1
2（
C. 12（
D. （ 【答案】B 【解析】 【分析】
利用余弦定理化简2
()b a a c =+后可得2sin a c a B =-，再利用正弦定理把边角关系化为角
的三角函数的关系式，从而得到2B A =，因此
2sin sin sin()
A
A B A =-，结合A 的范围可得所求的取值范围.
【详解】2
2
2
2
2cos ,2cos ,2sin ,b a c ac B ac c ac B a c a B =+-∴=-∴=-Q
()()sin sin 2sin cos sin 2sin cos sin A C A B A B A B B A ∴=-=+-=-，
因为ABC ∆为锐角三角形，所以,2A B A B A =-∴=，
0,02,032
2
2
A B A A B A π
π
π
ππ<<
<=<
<--=-<
Q ，
64
A ππ
∴<< ，故
()2sin 1sin (,sin 22A A B A =∈-,选B. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
第Ⅱ卷（非选择题共64分）
注意事项：
1、请用0.5毫米黑色签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2、试卷中横线的地方，是需要你在第Ⅱ卷题卡上作答的内容或问题。

二、填空题（每题6分，共18分，请把答案填在答题卡内横线上）。

7.在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin
2
n n n a a π++-=，记n
S
为数列{}n a 的前n 项和，则
2019S =_________.
【答案】1010 【解析】 【分析】
根据数列{}n a 的递推公式求出该数列的前几项，找出数列的周期性，从而求出数列{}n a 的前
2019项和2019S 的值.
【详解】Q 对任意的n *∈N ，()11sin 2
n n n a a π++-=，()11sin
2
n n n a
a π++∴=+.
则11a =，21sin 1a a π=+=，323sin
1102
a a π
=+=-=，43sin 20a a π=+=，545sin
0112
a a π
=+=+=，65sin 31a a π=+=，所以，()4n n a a n N *+=∈. 201945043=⨯+Q ，且4123411002S a a a a =+++=+++=，
2019412350450421101010S S a a a ∴=+++=⨯+++=，故答案
：1010.
【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查数列周期性的应用，解题时要结合递推公式求
出数列的前若干项，找出数列的规律，考查推理能力和计算能力，属于中等题.
8.4cos50tan40-=o o ______．
【解析】
【详解】4sin 40cos 40sin 404cos50tan 40cos 40
--=o o o
o
o
o
2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40
--=o o o o o
o
, 1sin102cos 40⎫-⎪
⎝⎭=
o o o
==
考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.
9.在平行四边形ABCD 中，A ∠=
3
π
，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ， N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足BM BC D
CN
C =，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是______． 【答案】[2,5] 【解析】 【分析】
以A 为原点AB 为x 轴建立直角坐标系，表示出MN 的坐标，利用向量乘法公式得到表达式，最后计算取值范围.
【详解】以A 为原点AB 为x 轴建立直角坐标系 平行四边形ABCD 中，A ∠= 3
π
，边AB ，AD 的长分别为2，1 设
(01)BM BC CD
CN
λλ==≤≤
则5(0,0),(2),(22
2A M N λ
λ+
-
225(2)(225(1)622AM AN λλλλλ⋅=+-=--+=-++u u u u r u u u r g
当0λ=时，有最大值5 当1λ=时，有最小值2 故答案为[2,5]
【点睛】本题考查了向量运算和向量乘法的最大最小值，通过建立直角坐标系的方法简化了技巧，是解决向量复杂问题的常用方法.
三、解答题（本大题共3小题，共46分。

应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）。

10.已知函数()()
2
1
2cos 1sin 2cos 42
f x x x x =-⋅+
. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若()0,απ∈，且482
f απ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭，求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.
【答案】（1）最小正周期为2π，单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
（2）2. 【解析】 【分析】
（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数()y f x =的解析式化为
()f x =
sin 424x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，然后解不等式()32422
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；
（2）由482
f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得出角α的值，再利用两角和的正切公式可计算出tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的
值.
【详解】（1）
()()211
2cos 1sin 2cos 4cos 2sin 2cos 422
f x x x x x x x
=-+=+Q
()12222sin 4cos 4sin 4cos 4sin 4cos cos 4sin 2222244x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=
+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin 424x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭。

∴函数()y f x =的最小正周期为242
T ππ
=
=， 令()32422
4
2k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+
∈，解得()5216216
k k x k Z ππππ
+≤≤+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
； （2）2482f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ，即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈Q ，3444πππα∴-<-<. 42ππα∴-=，故34πα=，因此3tan
tan
1343tan 2333131tan tan 43
ππ
παππ+-+⎛⎫+=
==- ⎪+⎝
⎭-+.
【点睛】本题考查三角函数基本性质，考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.
11.如图，在平面四边形ABCD 中，已知2
A π
∠=，2π
3
B ∠=
，6,AB =在AB 上取点E ，使得1BE =，连接,EC ED ，若23
CED π
∠=
，7CE = 。

（1）求sin BCE ∠ 值；
（2）求CD 的长。

【答案】（1）21
14
；（2）7CD =. 【解析】
试题分析：（1）在BEC ∆中，直接由正弦定理求出sin BCE ∠；（2）在Rt AED ∆中，2
A π
∠=
，
5AE =，可求出27ED =，在
CED ∆中，直接由余弦定理可求得CD .
试题解析：（1）在BEC ∆中，据正弦定理，有sin sin BE CE
BCE B
=∠.
∵23
B π
∠=
，1BE =，7CE =， ∴•sin 21
sin 147
BE B BCE CE ∠=
==
. （2）由平面几何知识，可知DEA BCE ∠=∠，在Rt AED ∆中，∵2
A π
∠=，5AE =，
∴2357
cos 1sin 12814
DEA DEA ∠=-∠=-
=
. ∴
27
cos 57
EA ED DEA =
==∠. 在CED ∆中，据余弦定理，有
22212?•cos 7282727492CD CE DE CE DE CED ⎛⎫
=+-∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
∴7CD =
点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
12.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =-，且满足11
12
n n S a n +=++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
- 11 - （Ⅱ）若3log (1)n n b a =-+，设数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】（Ⅰ）31n n a =-+（Ⅱ）详见解析
【解析】
【试题分析】（1）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求解；（2）依据题设条件运用列项相消求和法进行求解：
（Ⅰ）12a =-，由1112n n S a n +=++（*n N ∈），得112
n n S a n -=+（2n ≥）， 两式相减得132n n a a +=+．
由132n n a a +=+，得()1311n n a a +-=-,又1130a -=-≠，
所以{}1n a -是以3-为首项，3为公比的等比数列()1133
3n n n a --=-⋅=-，
故31n n a =-+． （Ⅱ）()3313n
n n b log a log n =-+==， ()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ ()()323342124
n n n +=
-<++．。