基于模型降阶的压电柔性结构动力响应分析
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收稿日期：2008-01-21；修改日期：200804-23 基金项目：河北省自然科学基金项目(E2008000731)；河北省教育厅科学研究计划项目(2006107) 作者简介：张京军(1963―)，男，河南虞城人，教授，博士，硕导，从事智能结构振动主动控制研究(E-mail: santt88@)； *何丽丽(1981―)，女，河北保定人，硕士生，从事智能结构振动主动控制研究(E-mail: helili0910@)； 高瑞贞(1979―)，男，河北保定人，讲师，硕士，从事智能结构振动主动控制研究(E-mail: ruizhenemail@).
弹性模量 7.5842×10 N/m
10 2
密度 2743kg/m
3
泊松比 0.27
表 2 压电材料性质 Characters of the piezoelectric material
压电应力常数(c/m2) e33 23.3 e31 −6.5 e15 17 c11 12.6 c12 7.95 柔度系数(×1010N/m2) c13 8.41 c33 11.7 c44 23 c66 23.3
压电智能悬臂梁物理模型简图fig1physicalmodelpiezoelectricsmartcantileverbeam铝材料性质tablealuminummaterial弹性模量密度泊松比solid45758421010压电材料性质tablepiezoelectricmaterialpzt5h密度kgm相对介电常数压电应力常数cm柔度系数1010e33e31e15c11c12c13c33c44c66solid57700169753146826233651712679584111723233统前25阶模态圆频率tablefirst25anteriormodalfrequencies27169477943215752378336345375913圆频率301875261039125817332615369049651011121314151617187505932911405137551640819394227492651830751圆频率6436807697711141413362158351876222122259391920212223242535507408574688553693614037016380160圆频率30261351474067346928540206207771252压电驱动器压电传感器悬臂梁2412简化d优化准则目标函数在实际系统中使用压电元件实现振动主动控制同时存在数目优化和位置优化的问题
24
工
程
力
学
1.2
简化 D 优化准则目标函数 在实际系统中，使用压电元件实现振动主动控
T 够获得最大电荷输出的地方。因此 γ k φ i 的含义可以
等效为压电片的输出电荷。 根据文献[5]给出的公式 可知：
制同时存在数目优化和位置优化的问题。但目前对 于传感器/驱动器数目的研究还不充分， 技术思路还 不明确， 这主要是因为传感器/驱动器的数目对于不 同的控制器和控制要求来说，是难以确定的。而对 于位置优化的问题，国内外学者则进行了大量的研 究，针对压电柔性结构，本文采用把压电传感器/ 驱动器集成在主结构同一部位的两侧而构成模态 传感执行器来实现振动主动控制。因为已有的研 究[10
S 33
相对介电常数
ε / ε0
1697.53
ε / ε0
1468.26
Table 3
阶数 圆频率 阶数 圆频率 阶数 圆频率 贴前 贴后 贴前 贴后 贴前 贴后 2.7 3.0 10 750.5 643.6 19 3550.7 3026.1 2 16.9 18.7 11 932.9 807.6 20 4085.7 3514.7
β
[5]
ω = ∑ηiφ i
i =1 N
N
(4)
其中： ηi 表示第 i 阶模态广义坐标； φ i 表示第 i 阶 模态振型。 将式(4)代入式(3)中， 并假设 得到：
Abstract:
The paper builds the model of piezoelectric flexible structures and calculates the mode frequencies
using ANSYS software, and then, extracts the required modes by the method of model reduction based on the spatial H2 norms of modes. The optimal location of the piezoelectric patch is determined by applying the D-optimal design principle, which avoids the location’s randomicity as well as reduces the number of sensors/actuators needed to keep the controlling effect. Finally, the paper takes a piezoelectric cantilever beam as an example and calculates the step response curve of the system. The results show that this method generates better predictions than the ordinary modes truncation. Key words: piezoelectric flexible structures; modes truncation; model reduction; D-optimal design principle; ANSYS software 近年来，压电智能结构与振动主动控制技术的 结 合 为 柔 性结 构 的 振 动控 制 开 辟 了一 条 新 的 途 径 。在结构的振动主动控制中，基于模型设计的 控制器其复杂程度与性能在很大程度上取决于模 型的阶数与准确程度 。理想的智能材料柔性结构 是一个无限维、模态密集、共振频率相对较低的空 间分布系统，而就柔性结构控制的工程实现而言， 必须采用有效的降阶方法来获取阶数较低，又有足
[2] [1]
够精度的适合控制的模型。为此，模型降阶是柔性 结构振动主动控制中的关键环节。目前，从模态分 析的角度来看，对系统进行直接模态截断是比较常 用的方法，然而这种方法一方面会导致控制溢出， 另一方面高频模态的截断会对系统的零点产生影 响，不利于对系统进行全局控制。文献[2]采用基于 模态空间 H2 范数的方法对压电柔性梁结构动力学 模型进行降阶，但并未考虑压电元件在柔性梁上的
工
程
力
学
23
最优位置。对于压电智能柔性结构而言，随着驱动 器块的配置位置不同，结构的降阶模型中应保留的 模态也会随之发生变化。因此，驱动器在柔性梁上 的最优布置位置也是振动主动控制中的又一关键 环节。 文献[3]以压电元件处于不同位置时控制系统 反馈增益的范数为依据，选择压电元件的最优位 置，该方法只能保证控制系统耗能最小，但结构的 振动控制效果并非最优。 文献[4]利用数学规划法设 计压电元件的最优位置，该方法在计算中忽略了压 电材料与主结构间的机电耦合性。Bayard 等[5]针对 压电元件的优化布置问题提出了 D 优化设计准则， 其本质就是将压电元件布置在结构模态应变最大 位置处。国内学者利用该准则也做了许多有益的探 索，古渊等[6]利用该准则分析了二维柔性板的振动 控制中其压电元件的优化布置问题，然而他们利用 该准则时没有考虑到不同模态在结构响应中所占 的比例是不同的，也就是直接采用的模态截断法， 提取其前几阶模态。 本文针对配置一对压电传感/驱动器，输出为 无限维空间分布的柔性悬臂梁结构，应用 ANSYS 软件[7]对压电智能梁建模并进行模态分析，计算其 模态圆频率，按基于 H2 范数的空间模型降阶方法 提取所需模态。 应用 D 优化设计准则确定压电元件 的最优位置，避免了布置的随机性，有效的减少了 传感器/驱动器的个数而不会影响控制效果。最后 以压电悬臂梁为例给出了系统的阶跃响应曲线，说 明了此方法较常规的模态截断法更具优越性，获得 的降阶模型更逼近原系统，适用于结构全局振动 控制。
压电驱动器 悬臂梁
压电传感器
图 1 压电智能悬臂梁物理模型简图 Fig.1 Physical model of the piezoelectric smart cantilever beam Table 1
铝 SOLID45
表 1 铝材料性质 Characters of the aluminum material
―11]
q = d31 E pe Aλk
(3)
其中： t ⎛ ω (i ) +ω (k ) − 2ω ( j ) ω (m) +ω ( n) − 2ω ( j ) ⎞ + λk = p ⎜ ⎟， 2⎝ (dx) 2 ( dy ) 2 ⎠ 表示结构上一点的应变，它是通过结构挠度的二阶 差分来求得的。结构的挠度可以由结构各阶振型表 达为：
第 26 卷第 7 期 2009 年 7 月
Vol.26 No.7 July 2009
工
程
力
学 22
ENGINEERING M009)07-0022-06
基于模型降阶的压电柔性结构动力响应分析
张京军，*何丽丽，高瑞贞
(河北工程大学土木工程系，河北，邯郸 056038)
表 3 统前 25 阶模态圆频率 The first 25 anterior modal frequencies of the system
3 47.7 52.6 12 1140.5 977.1 21 4688.5 4067.3 4 94.32 103.9 13 1375.5 1141.4 22 5369.3 4692.8 5 157.5 125.8 14 1640.8 1336.2 23 6140.3 5402.0 6 237.8 173.3 15 1939.4 1583.5 24 7016.3 6207.7 7 336.3 261.5 16 2274.9 1876.2 25 8016.0 7125.2 8 453.7 369.0 17 2651.8 2212.2 9 591.3 496.5 18 3075.1 2593.9
Table 2
PZT-5H SOLID5 密度(kg/m3) 7700
S 11
1 压电元件位置优化
1.1 模型和理论 本文将矩形压电传感器和驱动器对称粘贴在 柔性悬臂梁的上下两侧，如图 1 所示。有限元模型 的优点在于便于实现数值化处理，而且适合对任意 形状的结构和各向异性的压电材料进行建模。文 献[8]对含压电材料的智能结构进行了研究， 考虑到 压电效应的影响，采用了一种带有电势自由度的特 殊单元来模拟压电材料。这些特殊单元已经广泛应 用于一些商用有限元软件中，如 ANSYS 软件等。 本文应用 ANSYS 软件，采用 solid 45 三维单元离 散梁结构，solid 5 三维单元离散压电材料，其各自 的材料性质见文献[9]，如表 1 和表 2 所示。对智能 结构建模并进行模态分析，获得其前 25 阶模态圆 频率，如表 3 所示。
摘
要：用 ANSYS 软件对压电柔性结构建模，并计算其模态圆频率，按基于 H2 范数的空间模型降阶方法提取所
需模态，应用 D 优化设计准则确定压电元件的最优位置，避免了布置的随机性，有效的减少了传感器/驱动器的 个数而不会影响控制效果。最后以压电悬臂梁为例给出了系统的阶跃响应曲线，说明了此方法较常规的模态截断 法更具优越性。 关键词：压电柔性结构；模态截断；模型降阶；D 优化准则；ANSYS 软件 中图分类号：TU311.3 文献标识码：A
THE DYNAMICAL RESPONSE ANALYSIS OF PIEZOELECTRIC FLEXIBLE STRUCTURES BASED ON MODEL REDUCTION
ZHANG Jing-jun , *HE Li-li , GAO Rui-zhen
(College of Civil Engineering, Hebei University of Engineering, Handan, Hebei 056038, China)
表明，采用这种方式能够实现同位控制，保
证受控系统为最小相位系统，防止由于模态截断而 导致的观测溢出和控制溢出问题，保证系统的稳定 性。因此，在压电元件位置优化时，只需考虑传感 器的位置即可。 D 优化设计准则[6]是把 Fisher 信息矩阵行列式 的最大值作为目标函数的一种优化方法。实际上， 传感器的作用就是用于状态参数估计，由数理统计 知识可知，Fisher 信息矩阵 F 的行列式 det(F)是与 参数无偏估计的方差下限成反比的。因此，det(F) 越大，所估计参数的方差就越小，在最小方差无偏 估计的意义上就越好。Bayard 等 的研究表明，在 结构模态阻尼很小的情况下，D 优化设计准则能够 进行简化，使传感器位置的设计与控制输入问题解 耦，只需利用结构的模态信息，就能最优的确定传 感器的位置，使设计问题大大简化。由于压电元件 采用的是对称布置方式，只要确定传感器的位置就 可以确定驱动器的位置。在微小阻尼的条件下，D 优化准则的数学模型可写为： max(det( F ))
收稿日期：2008-01-21；修改日期：200804-23 基金项目：河北省自然科学基金项目(E2008000731)；河北省教育厅科学研究计划项目(2006107) 作者简介：张京军(1963―)，男，河南虞城人，教授，博士，硕导，从事智能结构振动主动控制研究(E-mail: santt88@)； *何丽丽(1981―)，女，河北保定人，硕士生，从事智能结构振动主动控制研究(E-mail: helili0910@)； 高瑞贞(1979―)，男，河北保定人，讲师，硕士，从事智能结构振动主动控制研究(E-mail: ruizhenemail@).
弹性模量 7.5842×10 N/m
10 2
密度 2743kg/m
3
泊松比 0.27
表 2 压电材料性质 Characters of the piezoelectric material
压电应力常数(c/m2) e33 23.3 e31 −6.5 e15 17 c11 12.6 c12 7.95 柔度系数(×1010N/m2) c13 8.41 c33 11.7 c44 23 c66 23.3
压电智能悬臂梁物理模型简图fig1physicalmodelpiezoelectricsmartcantileverbeam铝材料性质tablealuminummaterial弹性模量密度泊松比solid45758421010压电材料性质tablepiezoelectricmaterialpzt5h密度kgm相对介电常数压电应力常数cm柔度系数1010e33e31e15c11c12c13c33c44c66solid57700169753146826233651712679584111723233统前25阶模态圆频率tablefirst25anteriormodalfrequencies27169477943215752378336345375913圆频率301875261039125817332615369049651011121314151617187505932911405137551640819394227492651830751圆频率6436807697711141413362158351876222122259391920212223242535507408574688553693614037016380160圆频率30261351474067346928540206207771252压电驱动器压电传感器悬臂梁2412简化d优化准则目标函数在实际系统中使用压电元件实现振动主动控制同时存在数目优化和位置优化的问题
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1.2
简化 D 优化准则目标函数 在实际系统中，使用压电元件实现振动主动控
T 够获得最大电荷输出的地方。因此 γ k φ i 的含义可以
等效为压电片的输出电荷。 根据文献[5]给出的公式 可知：
制同时存在数目优化和位置优化的问题。但目前对 于传感器/驱动器数目的研究还不充分， 技术思路还 不明确， 这主要是因为传感器/驱动器的数目对于不 同的控制器和控制要求来说，是难以确定的。而对 于位置优化的问题，国内外学者则进行了大量的研 究，针对压电柔性结构，本文采用把压电传感器/ 驱动器集成在主结构同一部位的两侧而构成模态 传感执行器来实现振动主动控制。因为已有的研 究[10
S 33
相对介电常数
ε / ε0
1697.53
ε / ε0
1468.26
Table 3
阶数 圆频率 阶数 圆频率 阶数 圆频率 贴前 贴后 贴前 贴后 贴前 贴后 2.7 3.0 10 750.5 643.6 19 3550.7 3026.1 2 16.9 18.7 11 932.9 807.6 20 4085.7 3514.7
β
[5]
ω = ∑ηiφ i
i =1 N
N
(4)
其中： ηi 表示第 i 阶模态广义坐标； φ i 表示第 i 阶 模态振型。 将式(4)代入式(3)中， 并假设 得到：
Abstract:
The paper builds the model of piezoelectric flexible structures and calculates the mode frequencies
using ANSYS software, and then, extracts the required modes by the method of model reduction based on the spatial H2 norms of modes. The optimal location of the piezoelectric patch is determined by applying the D-optimal design principle, which avoids the location’s randomicity as well as reduces the number of sensors/actuators needed to keep the controlling effect. Finally, the paper takes a piezoelectric cantilever beam as an example and calculates the step response curve of the system. The results show that this method generates better predictions than the ordinary modes truncation. Key words: piezoelectric flexible structures; modes truncation; model reduction; D-optimal design principle; ANSYS software 近年来，压电智能结构与振动主动控制技术的 结 合 为 柔 性结 构 的 振 动控 制 开 辟 了一 条 新 的 途 径 。在结构的振动主动控制中，基于模型设计的 控制器其复杂程度与性能在很大程度上取决于模 型的阶数与准确程度 。理想的智能材料柔性结构 是一个无限维、模态密集、共振频率相对较低的空 间分布系统，而就柔性结构控制的工程实现而言， 必须采用有效的降阶方法来获取阶数较低，又有足
[2] [1]
够精度的适合控制的模型。为此，模型降阶是柔性 结构振动主动控制中的关键环节。目前，从模态分 析的角度来看，对系统进行直接模态截断是比较常 用的方法，然而这种方法一方面会导致控制溢出， 另一方面高频模态的截断会对系统的零点产生影 响，不利于对系统进行全局控制。文献[2]采用基于 模态空间 H2 范数的方法对压电柔性梁结构动力学 模型进行降阶，但并未考虑压电元件在柔性梁上的
工
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最优位置。对于压电智能柔性结构而言，随着驱动 器块的配置位置不同，结构的降阶模型中应保留的 模态也会随之发生变化。因此，驱动器在柔性梁上 的最优布置位置也是振动主动控制中的又一关键 环节。 文献[3]以压电元件处于不同位置时控制系统 反馈增益的范数为依据，选择压电元件的最优位 置，该方法只能保证控制系统耗能最小，但结构的 振动控制效果并非最优。 文献[4]利用数学规划法设 计压电元件的最优位置，该方法在计算中忽略了压 电材料与主结构间的机电耦合性。Bayard 等[5]针对 压电元件的优化布置问题提出了 D 优化设计准则， 其本质就是将压电元件布置在结构模态应变最大 位置处。国内学者利用该准则也做了许多有益的探 索，古渊等[6]利用该准则分析了二维柔性板的振动 控制中其压电元件的优化布置问题，然而他们利用 该准则时没有考虑到不同模态在结构响应中所占 的比例是不同的，也就是直接采用的模态截断法， 提取其前几阶模态。 本文针对配置一对压电传感/驱动器，输出为 无限维空间分布的柔性悬臂梁结构，应用 ANSYS 软件[7]对压电智能梁建模并进行模态分析，计算其 模态圆频率，按基于 H2 范数的空间模型降阶方法 提取所需模态。 应用 D 优化设计准则确定压电元件 的最优位置，避免了布置的随机性，有效的减少了 传感器/驱动器的个数而不会影响控制效果。最后 以压电悬臂梁为例给出了系统的阶跃响应曲线，说 明了此方法较常规的模态截断法更具优越性，获得 的降阶模型更逼近原系统，适用于结构全局振动 控制。
压电驱动器 悬臂梁
压电传感器
图 1 压电智能悬臂梁物理模型简图 Fig.1 Physical model of the piezoelectric smart cantilever beam Table 1
铝 SOLID45
表 1 铝材料性质 Characters of the aluminum material
―11]
q = d31 E pe Aλk
(3)
其中： t ⎛ ω (i ) +ω (k ) − 2ω ( j ) ω (m) +ω ( n) − 2ω ( j ) ⎞ + λk = p ⎜ ⎟， 2⎝ (dx) 2 ( dy ) 2 ⎠ 表示结构上一点的应变，它是通过结构挠度的二阶 差分来求得的。结构的挠度可以由结构各阶振型表 达为：
第 26 卷第 7 期 2009 年 7 月
Vol.26 No.7 July 2009
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ENGINEERING M009)07-0022-06
基于模型降阶的压电柔性结构动力响应分析
张京军，*何丽丽，高瑞贞
(河北工程大学土木工程系，河北，邯郸 056038)
表 3 统前 25 阶模态圆频率 The first 25 anterior modal frequencies of the system
3 47.7 52.6 12 1140.5 977.1 21 4688.5 4067.3 4 94.32 103.9 13 1375.5 1141.4 22 5369.3 4692.8 5 157.5 125.8 14 1640.8 1336.2 23 6140.3 5402.0 6 237.8 173.3 15 1939.4 1583.5 24 7016.3 6207.7 7 336.3 261.5 16 2274.9 1876.2 25 8016.0 7125.2 8 453.7 369.0 17 2651.8 2212.2 9 591.3 496.5 18 3075.1 2593.9
Table 2
PZT-5H SOLID5 密度(kg/m3) 7700
S 11
1 压电元件位置优化
1.1 模型和理论 本文将矩形压电传感器和驱动器对称粘贴在 柔性悬臂梁的上下两侧，如图 1 所示。有限元模型 的优点在于便于实现数值化处理，而且适合对任意 形状的结构和各向异性的压电材料进行建模。文 献[8]对含压电材料的智能结构进行了研究， 考虑到 压电效应的影响，采用了一种带有电势自由度的特 殊单元来模拟压电材料。这些特殊单元已经广泛应 用于一些商用有限元软件中，如 ANSYS 软件等。 本文应用 ANSYS 软件，采用 solid 45 三维单元离 散梁结构，solid 5 三维单元离散压电材料，其各自 的材料性质见文献[9]，如表 1 和表 2 所示。对智能 结构建模并进行模态分析，获得其前 25 阶模态圆 频率，如表 3 所示。
摘
要：用 ANSYS 软件对压电柔性结构建模，并计算其模态圆频率，按基于 H2 范数的空间模型降阶方法提取所
需模态，应用 D 优化设计准则确定压电元件的最优位置，避免了布置的随机性，有效的减少了传感器/驱动器的 个数而不会影响控制效果。最后以压电悬臂梁为例给出了系统的阶跃响应曲线，说明了此方法较常规的模态截断 法更具优越性。 关键词：压电柔性结构；模态截断；模型降阶；D 优化准则；ANSYS 软件 中图分类号：TU311.3 文献标识码：A
THE DYNAMICAL RESPONSE ANALYSIS OF PIEZOELECTRIC FLEXIBLE STRUCTURES BASED ON MODEL REDUCTION
ZHANG Jing-jun , *HE Li-li , GAO Rui-zhen
(College of Civil Engineering, Hebei University of Engineering, Handan, Hebei 056038, China)
表明，采用这种方式能够实现同位控制，保
证受控系统为最小相位系统，防止由于模态截断而 导致的观测溢出和控制溢出问题，保证系统的稳定 性。因此，在压电元件位置优化时，只需考虑传感 器的位置即可。 D 优化设计准则[6]是把 Fisher 信息矩阵行列式 的最大值作为目标函数的一种优化方法。实际上， 传感器的作用就是用于状态参数估计，由数理统计 知识可知，Fisher 信息矩阵 F 的行列式 det(F)是与 参数无偏估计的方差下限成反比的。因此，det(F) 越大，所估计参数的方差就越小，在最小方差无偏 估计的意义上就越好。Bayard 等 的研究表明，在 结构模态阻尼很小的情况下，D 优化设计准则能够 进行简化，使传感器位置的设计与控制输入问题解 耦，只需利用结构的模态信息，就能最优的确定传 感器的位置，使设计问题大大简化。由于压电元件 采用的是对称布置方式，只要确定传感器的位置就 可以确定驱动器的位置。在微小阻尼的条件下，D 优化准则的数学模型可写为： max(det( F ))