2020-2021年高中数学 相似三角形的判定及有关性质 1.3.1 相似三角形的判定练习(含解析)新人教

1.相似三角形的判定
课时过关·能力提升
基础巩固
1给出下列四个命题:
①三边对应成比例的两个三角形相似;
②一个角对应相等的两个直角三角形相似;
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似.
其中正确的命题是()
A.①③
B.①④
C.①②④
D.①③④
①和③都是判定定理,都正确;②中,若相等的角是直角,则不一定相似;④中,若相等的角中,在一个三角形中是顶角,在另一个三角形中是底角,则不一定相似,故选A.
2如图,点P为△ABC中的AB边上一点(AB>AC),下列条件中不能保证△ACP与△ABC相似的是()
A.∠ACP=∠B
B.∠APC=∠ACB
C.AA
AA =AA
AA
D.AA
AA =AA
AA
选项的条件缺少对应边的夹角∠B=∠ACP,故不能保证△ACP与△ABC相似.
3如图,已知在△ABC中,DE∥BC,点F是BC上一点,AF交DE于点G,则与△ADG相似的是()
A.△AEG
B.△ABF
C.△AFC
D.△ABC
ABF中,DG∥BF,则△ADG∽△ABF.
4下列命题中,是真命题的为()
A.锐角三角形都相似
B.直角三角形都相似
C.等腰三角形都相似
D.等边三角形都相似
60°,所以任意两个等边三角形都是有“两角对应相等”的三角形.故等边三角形都相似.故选D.
5如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,要使△ABC∽△CDB,BD应满足()
A.BD=A2
A B.BD=A
A2
C.BD=A2
A D.BD=A
A2
∠ABC=∠CDB=90°,
∴当AA
AA =AA
AA
时,△ABC∽△CDB,
即当A
A =A
AA
时,△ABC∽△CDB,∴BD=A2
A
.
6如图,锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O,图中与△ODB相似的三角形有() A.4个 B.3个
C.2个
D.1个
ODB相似的三角形有△AEB,△OEC,△ADC,共有3个.
7以下列条件为依据,能判定△ABC∽△A'B'C'的一组是()
A.∠A=45°,AB=12 cm,AC=15 cm;∠A'=45°,A'B'=16 cm,A'C'=25 cm
B.AB=12 cm,BC=15 cm,AC=24 cm;A'B'=20 cm,B'C'=25 cm,A'C'=32 cm
C.AB=2 cm,BC=15 cm,∠B=36°;A'B'=4 cm,B'C'=5 cm,∠A'=36°
D.∠A=68°,∠B=40°;∠A'=68°,∠B'=40°
A中,∠A=∠A',但AA
A'A'≠AA
A'A'
,则△ABC与△A'B'C'不相似;选项B中,AA
A'A'
=
AA A'A'≠AA
A'A'
,则△ABC与△A'B'C'不相似;选项C中,AA
A'A'
≠AA
A'A'
,∠B与∠B'不一定相等,则
△ABC与△A'B'C'不相似;选项D中,∠A=∠A',∠B=∠B',则△ABC∽△A'B'C'.
8如图,O是△ABC内一点,且AB∥A'B',BC∥B'C'.求证:AC∥A'C'.
AB∥A'B',∴AA'
AA =AA'
AA
.
又BC∥B'C',∴AA'
AA =AA'
AA
.
∴AA'
AA =AA'
AA
.∴AC∥A'C'.
9如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线.求证:AD2=DC·AC.
36°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的平分线,所以∠CBD=36°,则可推出△ABC∽△BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.
∠A=36°,AB=AC ,
∴∠ABC=∠C=72°.
又BD 平分∠ABC ,
∴∠ABD=∠CBD=36°. ∴AD=BD=BC ,且△ABC ∽△BCD. ∴BC ∶AB=CD ∶BC.∴BC 2=AB ·CD.
又BC=AD ,AB=AC ,
∴AD 2=AC ·CD.
10已知△ABC ,延长BC 到点D ,使CD=BC.取AB 的中点F ,连接FD 交AC 于点E. (1)求AA
AA 的值;
(2)若AB=a ,FB=EC ,求AC 的长.
如图,过点F 作FM ∥AC ,交BC 于点M.
∵F 为AB 的中点, ∴M 为BC 的中点,FM=1
2AC.
又CD=BC ,∴AA
AA =2
3.
由FM ∥AC ,得∠CED=∠MFD ,∠ECD=∠FMD ,
∴△FMD ∽△ECD. ∴AA AA =AA AA =2
3. ∴EC=2
3FM=2
3×1
2AC=1
3AC.
∴AA AA
=
AA -AA AA
=
AA -1
3AA AA =2
3.
(2)∵AB=a ,∴FB=1
2AB=1
2a.
又FB=EC ,∴EC=1
2a.
∵EC=13AC ,∴AC=3EC=3
2a.
能力提升
1如图,已知点C ,D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,且△ACP ∽△PDB ,则∠APB 等于( ) A.60° B.120°
C.135°
D.150°
△ACP ∽△PDB ,
∴∠APC=∠PBD ,
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠PBD+60°+∠DPB=(∠PBD+∠DPB )+60° =∠CDP+60°=60°+60°=120°.
★
2已知在△ABC 中,D 是AB 上一点,在边AC 上找一点E ,使得△ADE 与△ABC 相似,则这样
的点最多有( ) A .0个
B .1个
C .2个
D .无数个
,DE 1∥BC ,则△ADE 1∽△ABC ;在AC 上若存在点E 2,使∠AE 2D=∠B ,又∠A=∠A ,则△ADE 2∽△ACB ,故这样的点最多有两个.
3如图,已知每个大正方形均由边长为1的小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )
ABC的三边长分别为√2,2,√10,A中三角形三边长分别为1,√2,√5,
∵√2
1=
√2
=√10
√5
,∴选A.
可以判断选项B,C,D中的三角形与△ABC均不相似.
4已知在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC边的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E,则下面结论中正确的是()
A.△AED∽△ACB
B.△AEB∽△ACD
C.△BAE∽△ACE
D.△AEC∽△DAC
∠BAC=90°,D是BC中点,
∴DA=DC=DB.∴∠DAC=∠C.
又AE⊥AD,∴∠EAB+∠BAD=90°,∠CAD+∠BAD=90°,
∴∠EAB=∠DAC.∴∠EAB=∠C.
又∠AEB=∠CEA,∴△BAE∽△ACE.
5如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,若AC=6,AD=3,则AB=.
ACD和△ABC中,
∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC.
∴AA
AA =AA
AA
.∴6
AA
=3
6
,∴AB=12.
6如图,BD⊥AE,∠C=90°,若AB=4,BC=2,AD=3,则DE=,CE=.
Rt△ACE和Rt△ADB中,∠A是公共角,
∴△ACE∽△ADB,∴AA
AA =AA
AA
.
∴AE=AA·AA
AA =AA·(AA+AA)
AA
=4×(4+2)
3
=8.
则DE=AE-AD=8-3=5.
在Rt△ACE中,
CE=√AA2-AA2=√82-(4+2)2=2√7.
2√7
7如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
求证:(1)△ABE∽△ADF;
(2)△EAF∽△ABC.
由题意可知,∠D=∠B,∠AEB=∠AFD=90°,∴△ABE∽△ADF.
(2)∵△ABE∽△ADF,
∴AA
AA =AA
AA
,∠BAE=∠DAF.
又AD=BC,∴AA
AA =AA
AA
.
∵AF⊥CD,CD∥AB,∴AB⊥AF.
∴∠BAE+∠EAF=90°.
又AE⊥BC,∴∠BAE+∠B=90°.
∴∠EAF=∠B,∴△ABC∽△EAF.
★8如图,在△ABC中,AD,CE是两条高,连接DE,如果BE=2,EA=3,CE=4,在不添加任何辅助线和字母的条件下,写出三个正确的结论(要求:分别为边的关系、角的关系、三角形相似等),并对其中一个结论予以证明.
,所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度.由AE=3,CE=4,可知CA=5,AC=AB,△ABC是一个等腰三角形,再寻找条件就比较容易了.
AB=AC;②∠B=∠ACB;
③△CEB∽△ADC.
下面仅证明△CEB∽△ADC.
∵CE⊥AE,AE=3,CE=4,
∴AC=√32+42=5.
又AB=AE+BE=5,
∴AC=AB.∴∠B=∠ACB.
又∠CEB=∠ADC=90°,
∴△CEB∽△ADC.。