自主招生试题分类汇编07 解析几何

历年自主招生试题分类汇编——解析几何
题5（2012年北约）已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC
∆面积的最小值。

解： AB 所在的直线方程为20x y -+=，圆心()1,0C ，半径为1r =
C 到直线AB
C 上的点到直线AB 1-，
∴
min
1132ABC
S ∆⎫
=
⋅=-⎪⎭
评析：此题涉及到直线，圆与三角形的面积等概念，应充分挖掘圆的几何性质，使问题得到
简化，以考查学生思维的灵活性。

2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求.
6. （2011年北约）1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与
12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.
【解】设圆心12,C C 的半径分别为12,r r ; (1)若12r r =.
①若两圆相离,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线;
②若两圆相切,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线(即两圆的内分切线)和直线12C C ,去掉切点;
③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线和以12,C C 为焦点,长轴长为
12r r +的椭圆,去掉交点.
(2)若12r r ≠
①若两圆外离,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内);
②若两圆外切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和直线12C C ,去掉切点;
③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.
④若两圆内切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆和直线12C C ,去掉切点;
⑤若两圆内含,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆. 依据椭圆、双曲线的定义即可证明,这儿不再赘述.
3．（2010年北约）AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）
【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线
BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ， 且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，
于是AC 的方程为2222x x y y =--；①
BD 的方程为1122x x y y =--． ②
联立,AC BD 的方程，解得12
1221(,1)2()
y y E x x x x ---．
对于①，令0y =，得2
2
2(,0)2y C x -；
对于②，令0y =，得1
1
2(
,0)2y D x -． 于是22
12121212
22112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121
(1)2
ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则
2222111111
()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++
1111
()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③
0s >，则有
331111111
(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s
∆=++=++++++
6个 9个
124
3
691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅
≥3218)3=⋅(= ④
又由当12x a x b s ===-==
∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311
()(2)2g s s s s
=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当21
3
s <时()0g s '>．
则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 5. （2014年华约）已知椭圆22
221x y a b +=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,
切点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.
【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方
程为2
(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b b
x y a θθ
==, 于是33
1||||2|sin 2|EOF
E F b b S x x a a
θ∆=⋅=≥,
当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 3. （2013年华约）点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且
A B 、在y 轴同侧.
(1)求AB 中点M 的轨迹C ;
(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,
则1212121122()
,,,222
x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-=
==, 由2
||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,
于是得2
2
21(0)y x k k
-=>,于是AB 中点M 的轨迹C 是焦点为(,
实轴长为2的双曲线.
(2)将2
2(0)x py p =>与22
21(0)y x k k
-=>联立得222
20y pk y k -+=,
由曲线C 与抛物线相切,故242
440p k k ∆=-=,即1pk =,
所以方程可化为22
20y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得
横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,
两切点为),()D k E k ,又因为x
y p
'=
,于是
在)D k 处的切线方程为y k x -=
,即1y x p
=-;
同理在()E k 处的切线方程为1
y x p p
=-
-. （6）（2012年华约）椭圆长轴长为4，左顶点在圆()2
2
(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，
则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
(A) 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 11,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ (C) 11,82⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(D) 13,24⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
解：设左顶点为[)42cos ,0,212sin x t
t y t
π=+⎧∈⎨
=+⎩，则对称中心为()62cos ,12sin t t ++，令
62cos ,12sin u x t
v y t =--⎧⎨
=--⎩
则在uv 坐标系中，其左准线为62cos u t =--，因此24111
62c o s ,3c o s 42a c t e c c a t ⎡⎤-=-=--⇒==∈⎢⎥+⎣
⎦
.选B. （12）（2012年华约）已知两点()()2,0,2,0A B -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且
2
2PA PB PH ⋅=
① 求动点P 的轨迹C 的方程
② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 于点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。

解：设P(x,y),则H(0，y),由22AP BP PH ⋅=2222,(x-2,y)2x ,-4x y y x +⋅==得（）即 （1）令CD:)0(2≠+=m my x 代入42
2
=-x y ，整理得084)1(2
2
=---my y m 因为直线在x 轴下方交P 点轨迹于C(11,y x )，D(22,y x )两点所以上式有两个负根，由
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧〉--=
〈〈⇒-=+〉-+=∆≠-018
210140)1(3216012212212
22m y y m m m y y m m m
根据韦达定理，得CD 中点M 的坐标为
)12,12()2,2(
222121m
m m y y x x M --=++ 代入直线MQ 的方程y+2=kx,(k 为其斜率)得
2
212212m k m m -=+-
所以，k=)1,12(4
5
)21(122-∈+
--=++-m m m ,(1)2〈〈m . 8、（2011年华约）AB 为过抛物线y 2
= 4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为
( )
A B C D 533
解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2
= 4x 联立，解
得A B (3+ (3- ，，于是
CA CB k k =
=
，tan 1CA CB CA CB
k k ACB k k -∠==+，答案A
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD = 45°，EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD ，BF = BC ，求∠AEB 。

tan tan DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠=
==。

类似的，有 tan tan BEF EBC ∠=∠=，2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，
tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A
14、（2011年华约）已知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别为C 的左右焦点.P
为C 右支上一点，且使2
1212=,3
F PF F PF π∠∆又的面积为.
(I)求C 的离心率e ；
(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立。

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
解答：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中
，
21212
=3
F P F F P F a π
∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE = PF 2，E F 1 =2a ，F 1 F 2 = 2c ，求c a
. 设PE = PF 2 = EF 2 = x ，F F 2
x ，
1221211(222F PF S PF FF x a x ∆==+= ，
224120x ax a +-=，2x
a =/ ΔE F 1 F 2为等腰三角形，122
3EF F π∠=，于是2c =，c
e
a
==.
(I)由122cot 2F PF Q S b ∆= 22cot 2
Q b =，即223b a =，2222
4c a b a =+=
2e ∴=
(II)双曲线方程：22
221x y a b
-=，先研究290QF A ∠=︒时，(2,3)Q a a ，得245QAF ∠=︒，
因此，若存在λ，也应有2λ=.
下面求(,)M x y 的轨迹，M 满足222MF A MAF ∠=∠.
22tan ,tan 2y y y MAF MF A x a c x a x ∠=∠==+--，由2
2tan tan 21tan a
a a
=-得： 2
221y
y x a a x y x a +=-⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
化简为：222330x a y --=，即222213x y a a -=与双曲线议程完全一致.
∴存在2λ=，使222QF A QAF ∠=∠恒成立.
注：（1）此结论对于离心率e 是其它值的情形不不一定存在λ，使22QF A QAF λ∠=∠； （2）此题应先从特殊情形时，寻找出λ的值，再行证明； （3）也可以分析Q 点在∞远处的极限情形，即：
AQ 渐近线，260QAF ∠→︒，2QF 渐近线，2120QF A ∠→︒，2λ∴=.
8．（2010年华约）设双曲线2212:(2,0)4
x y C k a k a -
=>>，椭圆22
22:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C
的一条准线上截得线段的长为
（ D ）
（A
）（B ）2 （C
）（D ）4
12．（2010年华约）设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为
12,d d
，已知12d d +=． （Ⅰ）判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程．
解：（Ⅰ）设222
001122111(,),(,),(,),444
A x x
B x x
C x x 则2001(,)4
D x x -
由'
12y x =可知的斜率01,2
k x =-
因此可以设直线BC 方程为01
.2
y x x b =-+
把2
14
y x =代入，整理得20240,x x x b +-=
所以1202x x x +=-
因为,AB AC 都不平行于y 轴， 所以直线,AB AC 斜率之和为
222210*********
11()()44(2)0AB AC x x x x k k x x x x x x x --+=+=++=-- 可知直线,AB AC 的倾角互补，而AD 平行于x 轴， 所以AD 平分.CAB ∠
作,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足 则ADE ADF 可得DE DF =
由已知DE DF +=，
可得,DE =
，所以45DAE DAF ∠=∠=
所以90,CAB ∠=ABC 为直角三角形
（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为
22000011(),,44y x x x y x x x -
=---=- 把214
y x =分别代入，得2222
0000440,440,x x x x x x x x +--=--+=
所以002, 2.AB AC =+=- 由已知可知1
240,2
AB AC =， 所以
20184240,2
x ⨯-=解得8,x =±， 所以(8,16)A 或(8,16)A -
当取(8,16)A -时，求得(4,4)B ，又BC 斜率01
4,2
x -
=， 所以直线BC 方程为44(4)y x -=-,即4120.x y --= 同理，当取(8,16)A 时，直线BC 方程为4120.x y ++=
7. （2014年卓越联盟）已知双曲线22
221x y a b
-=的两条渐近线斜率之积为3-.
(1)若,A B 在双曲线上,且过点(0,5),1,AB D a k AD DB λ==,求λ;
(2)A 关于x 轴的对称点为,AB M l 与x 轴交于,MB P l 与x 轴交于Q ,求证:2||||OP OQ a ⋅=.
【解】(1)由题知2
23b a
-=-,
即b ,所以双曲线方程为22233x y a -=,
又直线:5AB y x a =+代入双曲线方程得225140x ax a --=,得17,x a =或22x a =-; 又因(,5)(,5)A A B B AD DB x a y x y a λλ=⇔--=-,所以27A A B B x x x x λλ-=⇔=-
=或72
. (2)若(2,3),(7,12)B a a A a a -,则(7,12)M a a -,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,
又直线5:(2)33MB l y x a a =-++,得(,0)5
a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=; 若(7,12),(2,3)B a a A a a -,则(2,3)M a a --,又:5AB y x a =+,得(5,0)P a -,
又直线5
:(2)33MB l y x a a =+-,得(,0)5
a Q -,所以2||||OP OQ a ⋅=; 1、
（2013年卓越联盟）已知抛物线2
2y px =（0p >）的焦点是双曲线22
18x y p
-
=的一个焦点，则双曲线的渐近线方程是 ．
答案:y x =±．
设椭圆()22
2124
x y a a +=>
，斜率为k 的直线l 过点()0,1E ，且与椭圆相交于C 、D 两点． ⑴ 求椭圆方程；
⑵ 若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值；
⑶ 设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k ，恒有2AC AD k k ⋅=-．
答案:⑴（本小问3分）
由已知得离心率e ==，2b =
，从而a = 所以椭圆的方程为22
164
x y +=．
⑵（本小问5分）
直线l 的方程为1y kx =+，设()11C x y ，，()22D x y ，，
由方程组22
164
1x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 得()
2223690k x kx ++-=． 于是122623k x x k +=-
+，由直线l 与x 轴交于点G ，知0k ≠，10G k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，．
又GC DE =，可得()112211x y x y k ⎛⎫
+=-- ⎪⎝⎭，，
，故121x x k +=- 所以261
23k k k
-
=-
+
，解得k =． ⑶ （本小问5分）
因为()02A -，，得1
12AC y k x +=，222AD y k x +=，又122
9
23x x k
-=+， 于是AC AD k k ⋅()()1212
22y y x x ++=
()()
1212
33kx kx x x ++=
()2121212
39
k x x k x x x x +++=
2
2
22
18923923k k k k -++=+-+2=-
（1）（2012年卓越联盟）若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率
为 ____ 。

【解答】根据条件知a =
，c =
，c e a =
= （10）（2012年卓越联盟）设抛物线22(0)y px p =>的焦点是F ，A ，B 是抛物线上互异的两点，直线AB 与x 轴不垂直，
线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(,0)D a ，记||||m AF BF =+。

（Ⅰ）证明a 是p 与m 的等差中项；
（Ⅱ）设3m p =，直线l 平行y 轴，且l 被以AD 为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线l 方程。

解答：（Ⅰ）如图，根据条件知，抛物线准线:,,022p p j x F ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，设线段AB 中点为C ，过
A 作AP j ⊥于P ，过
B 作BQ j ⊥于Q ，过
C 作CR j ⊥于R ，
设22
(2,2),(2,2),A A B B A pt pt B pt pt ，则()22(),()A B A B C p t t p t t ++，
易知
2222()22(1)2
A B A B p
CR p t t m p AF BF p AP BQ p CR p p t t =++
⇒+=++=++=+=++，于是， 又()22
221
22B A AB CD A B A B B A
pt pt k k t t t t pt pt -=
=⇒=-++-， 易知直线()2
2
:()()A B A B A B CD y t t x p t t p t t ⎡⎤=-+-+++⎣⎦，
从而知22()A B a p t t p =++，于是22
22(1)A B a p t t =++
综上所述知，a 是p 与m 的等差中项.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当3m p =时，D 坐标为(2,0)p ，令2
(2,2)A A A pt pt
则以AD 为直径的E ，圆心坐标为()2
(1),A A E p t pt +
，半径r =设直线:l x k =，做EG l ⊥于G ，则2(1)A t E p G k +=-，于是知直线l 被E 所截得的线段长度为：
=由于此截得的线段长度恒为定值，所以32302k p k p -=⇒=
，于是3
:2
l x p =. (5) （2011年卓越联盟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物
线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为 ( A ) (A )y 2
=16x
(B )y 2=8x
(C )y 2
=-16x
(D )y 2
=-8x
(13) （2011年卓越联盟）已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =
x 相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．
【解】设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>
>,因为它与直线y x =,
所以方程组22
221,x y a b y x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
只有一解
,整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=.
所以2222222(23)4((3)0,a a b a a b =--+-=得223a b +=.
又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,a b -=联立上式解得222,1a b ==
所以椭圆方程为2
212
x y +=. (2)若
PQ 斜率不存在(或为0)时,则||||
22
PMQN PQ MN S ⋅==四边形.
若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则MN 为1k
-
. 所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y
联立方程2
21,2.x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
化简得2222(21)4220k x k x k +++-=. 则22121222422,2121
k k x x x x k k --+==++
所以12|||PQ x x =-=
同理可得||MN =所以22242
2242421||||(1)21124444()2(2)(21)2522252PMQN k PQ MN k k k S k k k k k k ⋅+++====-++++++四边形 24222
1114()4()12410424410k k k k k =-=-++++
因为22144101018k k ++≥=（当且仅当21k =时取等号） 所以,21
1(0,],1184410k k ∈++也所以211164()[,2]1294410k k -∈++ 所以综上所述,PMQN S 四边形的面积的最小值为169
,最大值为2.。